28 giugno 2018, es.1) Programmazione lineare

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1 8 giugno 018, es.1) Programmazione lineare Discutere il seguente problema di Programmazione lineare: trovare il massimo di p(x 1, x, x, x 4 ) = x x + 8 x + x 4 con i vincoli x k 0 (1 k ) e x + x + x 4 = 10 5 x x - x + x 4 10 x x + 4 x + x 4 = 4 Può essere utile osservare che, indicate con A k (1 k 5) le prime 5 colonne, e con B la quinta colonna della matrice - risulta A 1 = -A + A 4 + A 5 ; A = A 4 + A 5 ; B = A + 4 A A 5. Aggiungiamo la variabile di scarto x 5, per scrivere il sistema dei vincoli nella forma x + x + x 4 = 10 5 x x - x + x 4 + x 5 = 10 x x + 4 x + x 4 = 4 Seguendo le indicazioni del testo scegliamo come prima base dello spazio A * generato dalle colonne di A, matrice dei coefficienti del sistema scritto sopra, l insieme B 1 = {A, A 4, A 5 }; con questa scelta si ottiene la prima tabella del simplesso come segue: A 1 A A A 4 A 5 B x v1 = x c v1 = c = x v = x 4 c v = c 4 = x v = x 5 c v = c 5 = (z 1 - c 1 ) (z - c ) (z - c ) (z 4 - c 4 ) (z 5 - c 5 ) (z) Abbiamo z 1 - c 1 = - < 0, z - c = -9 < 0, e le due colonne sovrastanti contengono termini positivi. Allora bisogna operare la trasformazione pivotale facendo entrare nella base uno dei vettori A 1 o A, scegliamo A perché z - c = -9 è minore di z 1 - c 1 = -. Il criterio di uscita impone di calcolare β = 4 ; β = 9 ; il minimo di questi due valori è β = 4, quindi il vettore α, α, α, che esce da B 1 è A v = A 4. Con semplici calcoli si ottiene la nuova tabella del simplesso relativa alla base B = {A, A, A 5 } : A 1 A A A 4 A 5 B x v1 = x c v1 = c = x v = x c v = c = 15 x v = x 5 c v = c 5 = (z 1 - c 1 ) (z - c ) (z - c ) (z 4 - c 4 ) (z 5 - c 5 ) (z) Siccome adesso tutti gli z j - c j sono 0, l algoritmo è terminato; la funzione obiettivo ha massimo nella regione ammissibile, il massimo vale z = 44 ed è assunto per (x 1, x, x, x 4, x 5 ) = 0, 4,, 0,

2 aro_ nb 8 giugno 018, es.) Distribuzioni Sia f : R R una funzione sommabile in R; per x R e n N, sia f n (x) = f (n x). Sia poi T n la distribuzione T fn. a) Dimostrare che la successione (T n ) converge a 0 in ' (R) (suggerimento: detta φ una funzione test, nell integrale che esprime T n, φ effettuare il cambiamento di variabile n x = t ). b) Supponiamo ora, in aggiunta alle ipotesi di (a), f continua in 0, e per n N, sia S n la distribuzione associata alla funzione x f x n. Mostrare che la successione (S n) converge in ' (R) alla distribuzione associata alla funzione costante f (0). a) Sia φ una funzione test; si ha allora T n, φ = R f (n x) φ(x) dx = 1 n R f (t) φ t n dx 1 n max φ R f (t) dt e quest ultima espressione tende a 0 quando n +. b) La continuità di f in 0 significa che per ogni ε > 0 esiste δ > 0 tale che: se x < δ allora f (x) - f (0) < ε. Sia φ una funzione test, supp φ [-M, M]. Allora S n, φ - T f(0), φ = M -M f x - f (0) φ(x) dx max φ M n -M f x - f (0) dx. n Se n > M allora per ogni x [-M, M] è x < δ e quindi f x - f (0) < ε cosicché l ultima espressione scritta δ n n sopra si maggiora con M max φ ε. Ciò prova quanto richiesto. Altrimenti, avremmo potuto dimostrare, con un ragionamento molto simile a quello esposto sopra, che la successione di funzioni (g n ), g n (x) = f x converge uniformemente sui compatti di R alla funzione costante f (0), che n è una condizione sufficiente per la convergenza in ' (R). 8 giugno 018, es.) Confronto tra due funzioni e verifica di un limite a) Mostrare che per ogni x > 0 è e - 1 x < x (può essere utile studiare la funzione f (x) = x e 1 x in ] 0, + [ ). b) Utilizzando eventualmente il risultato di (a), verificare in base alla definizione di limite che lim x 0 + x -1 e - 1 x = 0. a) Sia, per x > 0 [ ] = e Allora [] -e + e [[] ] Il valore trovato è punto di minimo assoluto per f ; il minimo vale e

3 aro_ nb Allora per ogni x > 0 è x e 1 x e 4 > 1, e quindi x > e - 1 x come volevamo dimostrare b) Si vuole mostrare che (*) ε > 0 δ > 0 tale che : se 0 < x < δ allora x -1 e - 1 x < ε Fissiamo dunque ε > 0. La disuguaglianza provata in (a) assicura che per ogni x > 0, e - 1 x < x ; allora per gli stessi x è anche x -1 e - 1 x < x -1 x = x. Perciò se 0 < x < ε allora anche x -1 e - 1 x < ε. La (*) risulta quindi provata ponendo δ = ε. 8 giugno 018, es.4) Un numero molto grande Stabilire, servendosi in modo opportuno della calcolatrice: a) Quante sono le cifre della scrittura in base 10 del numero: N = b) Quante sono le cifre della scrittura di N in base. a) Il logaritmo in base 10 di 1 45 è: [ ] e quindi il log 10 (N) è * [ ] Perciò < N < ; ciò significa che la scrittura decimale di N ha cifre. b) Si ragiona come per (a), ma occorre conoscere il logaritmo in base di N; è log N = log 10 N log 10, cioè * [ ] / [ ] Perciò 9 7 < N < 9 74 ; ciò significa che la scrittura decimale di N ha 9 74 cifre. 8 giugno 018, es.5) Gli investimenti di Gastone. Gastone, avendo vinto un premio a una lotteria, desidera investire l importo ricevuto, e considera due alternative: 1) investire in un titolo di stato che tra un anno gli restituirà il capitale, più 000 ) Investire in azioni; in questo caso la previsione di guadagno tra un anno è una variabile aleatoria con distribuzione uniforme tra -000 e (Cioè, la densità di probabilità del guadagno X espresso in K, è la funzione con valore costante 1 tra - e 10, 0 altrove). 1 a) Stabilire quale alternativa è più conveniente per Gastone, prima in base alla speranza matematica, poi in base alla funzione utilità u(x) = x - x applicata ai guadagni espressi in K. 0 b) Se il criterio di scelta applica una funzione utilità u(x) = x - x, stabilire con quale valore di a le due a alternative risultano indifferenti. a) L investimento nel titolo di stato produce un guadagno certo di K ; calcoliamo ora la speranza matematica del guadagno X associato alla scelta dell investimento in azioni:

4 4 aro_ nb E(X) = x dx = 1-4 x x=10 x=- = 4. La speranza matematica è maggiore per questa seconda alternativa: secondo questo criterio è da preferire l investimento in azioni. Se si applica l utilità [_] = - bisogna confrontare u() con E(u(X)). Si ha: [] mentre E(u(X)) vale [] d - Rimane ancora preferibile l investimento in azioni. b) Il confronto avviene come nella seconda parte di (a), tranne che ora il parametro di u(x) è un a imprecisato, mentre prima era 10 (infatti a = 0). Abbiamo dunque [_] = - e quindi [] - mentre E(u(X)) vale [] d - - Le due scelte sono indifferenti se le utilità attese sono uguali. Ricaviamo quindi a uguagliando i due valori calcolati sopra: - == - Osservazione. Il valore trovato per a, 19 cioè 9.5 è leggermente inferiore a 10, applicato in (a); infatti a = 10 dava ancora (con minimo scarto) la preferenza all investimento rischioso; l indifferenza si doveva quindi ottenere per un a leggermente inferiore, che corrisponde a una minore attitudine al rischio.

5 aro_ nb 5 8 giugno 018, es.6) La nuova moto di Valentino. Valentino ha acquistato una nuova moto, che gli è costata Non avendo a disposizione l importo necessario, ha ottenuto un prestito da una Banca, che dovrà rimborsare con 6 rate annuali posticipate di uguale importo, al tasso annuo del 5%. a) Calcolare l importo R di ciascuna rata e il debito residuo dopo il pagamento della seconda rata. b) Trovandosi in difficoltà finanziarie, dopo avere pagato la seconda rata Valentino chiede alla Banca di estinguere il debito rimanente in 10 rate annuali, anziché 4. La Banca accetta, però calcola il nuovo importo in base al tasso di mercato di quel momento, che è 7%. Calcolare l importo di ciascuna delle 10 rate che Valentino dovrà pagare per estinguere il debito. L importo della rata costante per estinguere in n anni il debito di 1 al tasso i è [ ] = Perciò l importo della rata costante per estinguere in 6 anni il debito di al tasso del 5% è * [ ] La rata annuale è quindi R = 000. Poi, è noto che per l ammortamento a rate costanti, n rate al tasso i, il debito residuo nel momento in cui si è pagata la k - esima rata è F k = R i * - ()- 1 - (1 + i) k-n ; ora ci serve F che, con i dati attuali, vale Altrimenti, F si può calcolare direttamente come valore attuale al tasso 5% delle 4 rate rimanenti, nel momento in cui Valentino ha appena pagato la seconda rata: * () - = b) La nuova rata si calcola con la stessa formula ricordata nella prima parte di (a), questa volta con n = 10, i = 0.07, e importo del debito uguale al debito residuo dopo il pagamento della seconda rata, calcolato sopra; il risultato è: * [ ] è l importo di ciascuna delle 10 rate che Valentino dovrà pagare per estinguere il suo debito.