mesi rate ,00247

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1 1. Rappresentare il flusso di cassa e calcolare il montante di una rendita posticipata di 11 rate mensili costanti di 110 euro a un anno e sei mesi dalla decorrenza, vigendo nei primi 11 mesi dell operazione un tasso di mercato del 3% annuo che aumenta al 4% annuo nei mesi successivi. Valutare l operazione in capitalizzazione composta. Flusso di cassa: mesi rate Tasso mensile equivalente al 3% annuo: i 12 = (1 + 0,03) = 0,00247 Montante della rendita in t = 11 (mesi): M t=11 = 110s 11ǀ i 12 = 110 1, = ,1369 = 1225,06 0,00247 Montante della rendita in t = 18 (mesi): M t=18 = M t=11 (1 + 0,04) 7 12 = 1253,41 (qui si è usato il tasso annuo del 4% tenendo presente che il montante M t=11 deve essere capitalizzato per 7 mesi cioè per 7/12 di anno). 2. Un titolo di stato zero-coupon con scadenza annuale e valore nominale di 1000 euro ha un rendimento annuo dell 1,7%. (1) Calcolare il corso del titolo all emissione. [1 punto] (2) Calcolare il prezzo del titolo nell ipotesi che il detentore lo venda dopo 5 mesi e che il tasso di mercato rimanga invariato, cioè sia dell 1,7% annuo. (3) Calcolare il prezzo del titolo nell ipotesi che il detentore lo venda dopo 5 mesi e che il tasso di mercato sia diminuito all 1,1% annuo.

2 (4) Calcolare il prezzo del titolo nell ipotesi che il detentore lo venda dopo 5 mesi e che il tasso di mercato sia aumentato al 2,4% annuo. (5) Tenendo conto dei risultati dei punti (2), (3) e (4), quali considerazioni si possono fare sul piano finanziario? (1) Corso P del titolo: P = ,017 = 983,28 (2) Prezzo P del titolo dopo 5 mesi a tasso invariato (7 mesi alla scadenza): P = 1000 (1+0,017) 7 12 = 990,21 (3) Prezzo P del titolo dopo 5 mesi al tasso del 1,1%: P = 1000 (1+0,011) 7 12 = 993,64 (4) Prezzo P del titolo dopo 5 mesi al tasso del 2,4%: P = 1000 (1+0,024) 7 12 = 986,26 (5) Vendendo il titolo a 5 mesi dall emissione, l investitore ha un vantaggio se il tasso di mercato diminuisce rispetto all epoca dell emissione (infatti P > P ) mentre ha uno svantaggio se il tasso aumenta (infatti P < P ). Sul piano finanziario ciò si spiega perché il valore di rimborso alla scadenza (t=12) rimane di 1000 euro e il valore attuale in t=5 di 1000 euro varia al variare del tasso di mercato, aumenta se il tasso diminuisce, diminuisce se il tasso aumenta. Smobilizzando un investimento a rendimento certo prima della scadenza si è comunque esposti a un rischio di tasso.

3 3. Un portafoglio azionario è composto da due titoli rischiosi i cui rendimenti annui sono rappresentati dalle variabili aleatorie R 1 e R 2. L analisi delle serie storiche dei due titoli consente di desumere i seguenti valori di sintesi relativi alle due variabili (valori attesi, varianze, covarianza): E(R 1 ) = 7% E(R 2 ) = 3% var(r 1 ) = 0,005 var(r 2 ) = 0,002 cov(r 1, R 2 ) = 0,001 Calcolare rendimento atteso, varianza del rendimento e deviazione standard del portafoglio nelle seguenti due possibili scelte dei pesi cioè delle quote di capitale investito in ciascun titolo: prima ipotesi x 1 = 30% x 2 = 70% seconda ipotesi x 1 = 10% x 2 = 90% Dire se i portafogli sono efficienti o se uno domina l'altro. Prima ipotesi, portafoglio P Quote: x 1 = 30%, x 2 = 70% Rendimento atteso del portafoglio: E(R P ) = x 1 E(R 1 ) + x 2 E(R 2 ) = 0,3 0,07 + 0,7 0,03 = 0,042 = 4,2% Varianza del rendimento del portafoglio: var(r P ) = x 1 2 var(r 1 ) + x 2 2 var(r 2 ) + 2x 1 x 2 cov(r 1, R 2 ) = = 0,3 2 0, ,7 2 0, ,3 0,7 0,001 = 0,00185 σ(r P ) = 0,00185 = 0,04301 = 4,30% Seconda ipotesi, portafoglio P Quote: x 1 = 10%, x 2 = 90% Rendimento atteso del portafoglio: E(R P ) = x 1 E(R 1 ) + x 2 E(R 2 ) = 0,1 0,07 + 0,9 0,03 = 0,034 = 3,4% Varianza del rendimento del portafoglio:

4 var(r P ) = x 1 2 var(r 1 ) + x 2 2 var(r 2 ) + 2x 1 x 2 cov(r 1, R 2 ) = = 0,1 2 0, ,9 2 0, ,1 0,9 0,001 = 0,00185 σ(r P ) = 0,00185 = 0,04301 = 4,30% Confronto dei portafogli I due portafogli non sono efficienti, il primo portafoglio domina il secondo infatti ha rendimento atteso maggiore e stessa varianza (quindi stesso rischio). Un investitore dovrebbe scegliere, a parità di rischio, il primo portafoglio. Si osservi che i due titoli che compongono il portafoglio sono efficienti (a rendimento atteso maggiore corrisponde varianza maggiore) ma non tutti i portafogli generabili facendo variare i pesi lo sono, come si è visto. Osserviamo infine che entrambi i portafogli hanno rischiosità inferiore al titolo meno rischioso. Domande 1. In un piano di ammortamento francese: (a) la quota K di capitale è costante (b) la rata R è costante (c) la quota I d interesse è costante [1 punto] [ b] 2. Se il tasso annuo nominale convertibile 4 volte è j 4 = 12%, qual è il tasso trimestrale effettivo? (a) 2,874% (b) 3% (c) 2,8% [1 punto] [ b] 3. Qual è il valore attuale di 1 euro disponibile tra un mese, in cc, al tasso trimestrale i 4? (a) A = 1 (1+i 4 ) 1 3 (b) A = 1 1+ i 4 3 (c) A = 1 (1+i 4 ) 3 [1 punto] [ a]

5 4. Un capitale unitario impiegato per due anni in cc rende un montante pari a 1,5. Qual è il tasso d interesse applicato? (a) 22,474% b) 25% c) 50% [1 punto] [ a] 5. Quale dei seguenti regimi di capitalizzazione è scindibile? (a) regime della capitalizzazione semplice (b) regime della capitalizzazione a interesse anticipato (c) regime della capitalizzazione composta [1 punto] [ c] 6. Completare il seguente piano di ammortamento (K=quota capitale, I=quota interesse, R=rata, E=debito estinto, D=debito residuo): t K I R E D ,4 2 t K I R E D ,4 22, ,6 41, [1 punto]