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1 MATEMATICA FINANZIARIA ISTITUZIONI (A - K) Pavia 10/11/2008 COGNOME e NOME: n. di matricola: (Come noto, il risultato finale dell'importo dei capitali, espresso in euro, deve essere arrotondato al centesimo piu prossimo) Questioni di teoria T.1a) Studiare analiticamente, e rappresentare gracamente, la funzione M(t) = C(1 + i) t ; con i 0 e t 0; rispetto alla variabile t: T.1b) Evidenziare gli elementi che rendono la funzione M(t) = C(1 + i) t idonea a rappresentare un regime di capitalizzazione ed esprimersi motivatamente in merito alla scindibilita o meno di tale regime. T.2) Precisato il concetto di rendita, descrivere il signicato nanziario del simbolo a nei come ad esso si perviene. T.3a) Caratterizzare il concetto di operazione nanziaria; e dimostrare T.3b) Caratterizzare il concetto di operazione nanziaria di ammortamento di un prestito; dimostrare la condizione di equita del prestito e caratterizzare quella di chiusura del prestito. T.4) Dopo aver precisato il concetto di criterio di scelta tra progetti economico nanziari, caratterizzare il criterio T IR e le sue proprieta. Esercizio n. 1 Presso un istituto nanziario che eettua le valutazioni al tasso del 6%; annuo, in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, si sono volte le seguenti operazioni: per 5 anni, si sono eettuati versamenti, semestrali, posticipati, ciascuno di importo pari a e ; 00; un anno dopo aver eettuato l'ultimo dei versamenti semestrali e stato eettuato il primo di 3 versamenti annui, ciascuno di importo pari a e 10:000; 00: 1.a) Calcolare l'importo S del capitale disponibile oggi, all'atto dell'ultimo versamento. 1.b) Oggi il capitale S viene prestato al tasso annuo del 6%; nominale convertibile trimestralmente, concordando il rimborso in 6 anni con una rendita, immediata, a rate posticipate, trimestrali, ciascuna di importo R; per i primi 2 anni, e, successivamente, di importo 2R; calcolare R e 2R. Esercizio n. 2 Il 25=6=2004 si sono acquistati BT P con scadenza il giorno 1=2=2008; le condizioni di acquisto sono state le seguenti: corso secco pari a 99; 70 e valore nominale, v:n:; pari a e 100:000; 00; cedole all'1=2 e all'1=8 di ogni anno, al tasso del 4% annuo, nominale convertibile semestralmente, con ritenuta scale sulle cedole pari al 12; 50%; commissione bancaria 0; 30% sul v:n: e spese sse pari a e 5; 00: 2.a) Calcolare il costo d'acquisto C a dei BT P e la spesa C s complessivamente sostenuta per tale acquisto. Nell'ipotesi che le cedole, man mano esigibili, siano accreditate direttamente su un conto corrente bancario, al tasso del 2% annuo, nominale convertibile semestralmente, cos come l'importo rimborsato a scadenza, calcolare quanto segue: 2.b1) gli importi, C l e C n ; della cedola lorda e netta; 2.b2) la somma F complessivamente disponibile su quel conto corrente, alla scadenza dei titoli; 2.b3) il tasso annuo, composto, convenzione esponenziale, dell'investimento cos realizzato. (NB: considera l'anno commerciale con tutti i mesi di 30 giorni).

2 Esercizio n. 3 Quattro anni fa e stato emesso un prestito obbligazionario alle seguenti condizioni: valore nominale v:n: di ogni obbligazione, con v:n: = e ; 00; cedola annua, posticipata, valutata al tasso del 4% annuo, con ritenuta scale del 12; 50%; rimborso alla pari, in 8 anni, con estrazione a sorte (alla ne di ogni anno) di 10:000 obbligazioni per i primi 5 anni, e di obbligazioni per i successivi anni. In relazione al prestito di cui sopra, determinare quanto segue: 3.a) il numero N 0 delle obbligazioni emesse e il numero N V 4 delle obbligazioni viventi oggi; 3.b) l'ammontare P del prestito e l'importo R 4 della quarta rata di rimborso del prestito. In relazione a una obbligazione vivente appena eettuata l'estrazione odierna, calcolare: 3.c) la vita residua, la vita media residua e la vita probabile; 3.d) gli importi K l e K n della cedola lorda e netta; 3.e) l'usufrutto U 4 ; la nuda proprieta P 4 e il valore V 4 eettuando le valutazioni al tasso del 4; 50% annuo composto. Esercizio n. 4 Considerati i seguenti progetti nanziari A e B: anni A: capitali in e 50:000; :000; 00 +; :000; 00 B: capitali in e 50:000; 00 8:000; 00 +; :000; 00 4.a1) determinare l'ordinamento di preferibilita tra i progetti A e B sulla base del criterio REA eettuando le valutazioni al tasso del 3%; annuo composto; 4.a2) senza fare calcoli, scrivere motivatamente l'ordinamento di preferibilita tra i progetti A e B sulla base del criterio REA valutato al tasso del 3%; annuo composto, ma non considerando le poste comuni; 4.b1) caratterizzare, e rappresentare sull'asse dei tempi, il progetto C = 3A + 2B; 4.b2) calcolare il REA C ; valutato al tasso del 3%; annuo composto, applicando le proprieta del REA; 4.c1) con riferimento al progetto A; studiare analiticamente e rappresentare gracamente la funzione REA(i); rispetto al tasso i; annuo composto, con i > 1; 4.c2) evidenziare sul graco di cui sopra, il T IR del progetto A:

3 MATEMATICA FINANZIARIA ISTITUZIONI (Corso A - K) 10/11/2008 RISOLUZIONE Questioni di teoria Per quanto riguarda le domande relative alla teoria, vedasi il manuale consigliato. Risoluzione esercizio n. 1 1.a) Il tasso semestrale i 2 : (1 + i 2 ) 2 = 1 + 0; 06! i 2 = 0; 02956::: ' 2; 96% semestrale; la somma S : S = s 10e0;0296 (1 + 0; 06) :000s 3e0;06 = 1.b) il tasso trimestrale i 4 : i 4 = = 11; ; :000 3; 1836 = = 68:142; :836; 00 = 99:878; ' 99:878; 69; 0; 06 4 = 0; 015 = 1; 50% trimestrale; il valore R e 2R delle rate: S = Ra 8e0; Ra 16e0;015 (1 + 0; 015) 8 Risoluzione esercizio n. 2 99:878; 69 = R (7; ; ; ) 99:878; 69 = R 32; a) Il corso tel quel, tq; puo essere ottenuto come segue: R = 3:066; ' 3:066; 13; 2R = 6:132; 26: j 2 = 4%! i 2 = 2% semestrale lordo! i netto 2 = 0; 02 (1 0; 125) = 0; 0175; tq = 99; ; 00 0; = 101; 1097 ' 101; 11; 180 il costo d'acquisto C a : C a = 100:000; 00 1; 0111 = 101:110; 00; la spesa complessiva C s : C s = 101:110; :000; 00 0; ; 00 = 101:415; 00; 2.b1) l'importo, C l ; della cedola lorda puo essere ottenuto come segue: C l = 100:000; 00 0; 02 = 2:000; 00; l'importo, C n ; della cedola netta puo essere ottenuto come segue: 2.b2) la somma F complessivamente disponibile: con j 2 = 2%! i 2 = 1% semestrale, si ottiene: F = 100:000; :750; 00 s 8e0;01 = C n = 100:000; 00 0; 0175 = 1:750; 00; = 100:000; :750; 00 8; = 100:000; :499; = = 114:499; 92 ; 2.b3) il tasso i; annuo, di investimento: 101:415; 00 (1 + i) = 114:499; 92! (1 + i) 3;5972 = 1; i = 0; ' 3; 43% annuo composto.

4 Risoluzione esercizio n. 3 In relazione al prestito: 3.a) il numero N 0 delle obbligazioni emesse N 0 = 10: = 6; il numero N V 4 delle obbligazioni oggi viventi N V 4 = N 0 10:000 4 = ; 3.b) l'importo P del prestito: P = ; 00 6 = 3:000; 00; l'importo R 4 della quarta rata di rimborso: R 4 = = Q 4 + I 4 = Q 4 + D 3 i = 10:000 ; 00 + (; 00 3) 0; 04 = = 50:000:000; :000:000; 00 = 57:000:000; 00 In relazione a una obbligazione vivente appena eettuata la quarta estrazione: 3.c) la vita residua V R 4 : 8 >< V R 4 = >: q 4 1=1 q 4 2=1 q 4 3=1 q 4 10:000 la vita media residua e 4 : e 4 = = la vita probabile 4 : 4 = 2 anni; 3.d) gli importi K l e K n della cedola lorda e netta: K l = ; 00 0; 04 = 200; 00 = 2; 2 = 2 anni, 2 mesi e 12 giorni; K n = ; 00 0; 04 (1 0; 125) = 175; 00; 3.e) l'usufrutto U 4 ; la nuda proprieta P 4 e il valore V 4 eettuando le valutazioni al tasso del 4; 50% annuo composto: U 4 = 175; 00 1; ; ; ; = 25 = 175; 00 [0; ; ; ; ] = = 175; 00 2; = 354; ' 354; 31; P 4 = ; 00 1; ; ; ; = 25 = ; 00 (0; ; ; ; ) = = ; 00 1; = 5:420; 7601 ' 5:420; 76; V 4 = U 4 + P 4 = 354; :420; 76 = 5:775; 07:

5 Risoluzione esercizio n. 4 4.a1) I due progetti nanziari sono confrontabili perche hanno la stessa posta iniziale e la stessa durata e, poiche le poste presentano una sola inversione di segno, da quello negativo a quello positivo, ciascuno di essi e dotato di un unico T IR; con v = 1; 03 1 si ha: REA A = 50:000; :000; 00v + ; 00v :000; 00v 3 = +1:576; ' +1:576; 47 REA B : 50:000; 00 8:000; 00v + ; 00v :000; 00v 3 = +573; ' +573; 29; REA A > REA B! A (>) B 4.a1) se nelle espressioni del REA dei progetti sottraiamo addendi comuni cambia il valore risultante ma non viene modicato l'ordinamento di preferibilita; 4.b1) il progetto C = 3A + 2B ha le seguenti poste: anni A + 2B: capitali in e 250:000; :000; 00 +1; :000; 00 4.b2) REA C = 3 REA A + 2 REA B = 3 1:576; ; 29 = 5:875; 99; 4.c1) con v = (1 + i) 1 si ha: REA A (i) = 50:000; :000; 00v + ; 00v :000; 00v 3 ; REA A (0) = +; 00; lim (i) = +1 ; lim i! 1 +REAA i!+1 REAA (i) = 50:000; 00 ; REA A (i) 0 = 10:000; 00 v 2 2 ; 00 v :000; 00 v 4 < 0 con i > 1; REA A (i) 00 = +2 10:000; 00 v ; 00 v :000; 00 v 5 > 0 con i > 1; 4.c2) il punto di ordinata nulla del graco del REA A (i) rappresenta il tasso interno di rendimento, i A ; annuo, del progetto A: