t n-1 t n t 3 t 2 0 t 1 R 2 R 3 R n-1 R n R 1 rata pagata o riscossa alla scadenza 3

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1 Rendite Una rendita è una successione di somme (tutte dello stesso segno) che si rendono disponibili a determinate scadenze o epoche. Ciascuna somma versata o riscossa è detta rata. Scadenza 3 terzo periodo 0 t 1 t 2 t 3 t n-1 t n R 0 R 1 R 2 R 3 R n-1 R n rata pagata o riscossa alla scadenza 3

2 Le rendite possono essere classificate in base Importi Numero delle rate A rata costante: gli importi delle rate sono tutti uguali. Es: cedole BTP, mutuo a rata costante e tasso fisso A rata variabile: gli importi delle rate non sono tutti uguali. Es: Finanziamento per acquisto auto con maxi rata iniziale e/ o finale. Affitto di una casa con rivalutazione annuale del canone Temporanea: il numero delle rate è finito. Es: finanziamento per acquisto beni di consumo, cedole BTP. Perpetua: le rate sono numerabili. Es. Rendita italiana

3 Le rendite possono essere classificate in base Periodiche: se le rate sono equintervallate ovvero i periodi della rendita hanno tutti la stessa durata. Es: canone di affitto, stipendio Periodicità t 0 t 1 t 2 t 3 t n-1 t n R 0 R n R 1 R 2 R 3 R n-1 Non periodiche: se le rate non sono pagate o riscosse ad intervalli di tempo uguali. Es: versamenti su conto corrente t 0 t 1 t 2 t 3 t n-1 t n R 0 R 1 R 2 R 3 R n-1 R n

4 Le rendite possono essere classificate in base Posticipata: le rate vengono pagate o riscosse alla fine del periodo di riferimento Es. rata di un mutuo, stipendio t 0 t 1 t 2 t 3 t n-1 t n Scadenza t 0 R 1 R 2 R 3 R n-1 Anticipata: le rate vengono pagate o riscosse all inizio del periodo di riferimento. Es. affitto, versamenti per la costituzione di un capitale t 1 t 2 t 3 t n-1 R n t n R 1 R 2 R 3 R n

5 Le rendite possono essere classificate in base Immediata: il periodo di riferimento della prima rata intercorre tra t 0 e t 1. Se la Decorrenza rendita è posticipata la prima rata è riscossa o pagata a t 1. Se la rendita è anticipata la prima rata è riscossa o pagata a t 0. Es: stipendio, canone di affitto. Immediata e posticipata t 0 t 1 t 2 t 3 t n-1 R 1 R 2 R 3 R n-1 t n R n Immediata e anticipata t 0 t 1 t 2 t 3 t n-1 R 1 R 2 R 3 R n t n

6 Le rendite possono essere classificate in base Decorrenza Differita e posticipata t 0 Differita: il periodo di riferimento della prima rata è posticipato di p periodi. Se la rendita è posticipata la prima rata è riscossa o pagata a t p+1. Se la rendita è anticipata la prima rata è riscossa o pagata a t p. Es: formule del tipo compri oggi, cominci a pagare a rate tra 3 mesi. t 1 t p t p+1 t p+n-1 t p+n R 1 R n-1 R n Differita e anticipata t 0 t 1 t p t p+1 t p+n-1 t p+n R 1 R 2 R n

7 Montante di una rendita ll montante di una rendita è dato dalla somma dei montanti delle singole rate, calcolati in un dato regime di capitalizzazione e riferiti all'istante in cui termina la costituzione della rendita. Esempio: regime di capitalizzazione composta, i=5% annuo 1 gen 1 mar 1 ago 1 set (1+0,05) 1/12 100(1+0,05) 6/12 M=100(1,05) 6/ (1,05) 1/12 +60=463,69>460

8 100(1+0,05) -2/12 Valore attuale di una rendita Il valore attuale di una rendita è dato dalla somma dei valori attuali delle singole rate, calcolati in un dato regime di capitalizzazione e riferiti all'istante in cui termina la costituzione della rendita. Esempio: regime di capitalizzazione composta, i=5% annuo 300(1+0,05) -7/12 60(1+0,05) -8/12 1 gen 1 mar 1 ago 1 set V=100(1,05) -2/ (1,05) -7/12 +60(1,05) -8/12 =448,85<460

9 Valore attuale e montante di una rendita Il montante è sempre maggiore alla somma delle singole rate (uguale se i=0). M > R 1 + R R n se i>0 M = R 1 + R R n se i=0 Il valore attuale è sempre minore della somma delle singole rate (uguale se i=0) V < R 1 + R R n se i>0 V = R 1 + R R n se i=0

10 Valore di una rendita al periodo k in generale, il valore di una rendita al periodo k, è uguale alla somma dei valori, al periodo k, delle singole rate, ovvero, le rate con scadenze antecedenti al periodo k sono capitalizzate, mentre quelle con epoca successiva, vengono attualizzate. t 0 t 1 t 2 t k t n-1 t n R 1 R 2 R k R n-1 R n R 0 R k+1

11 Valore di una rendita al periodo k Esempio precedente: 1 gen 1 mar 1 ago 1 set Valore della rendita al 1 agosto V 3 =100(1+0,05) 5/ (1+0,05) -1/12 =461,81 Osserviamo che in base al principio di equivalenza finanziaria V=V 3 (1,05) -7/12 M=V 3 (1,05) 1/12 V=M(1,05) -8/12 M=V (1,05)8/12

12 D ora in poi e salvo diverso avviso consideriamo temporanea di n rate una rendita costante con rate di importo R periodica il regime di capitalizzazione usato è quello composto con convenzione esponenziale, al tasso i>0

13 Relazioni fondamentali M=V(1+i) n V=M(1+i) -n V k =V(1+i) k V k =M(1+i) -(n-k)

14 Rendita immediata posticipata. Montante n-1 n R R R R R R(1+i) R(1+i) n-3 R(1+i) n-2 R(1+i) n-1 M = R + R(1+ i)+...+ R(1+ i) n 2 + R(1+ i) n 1 14

15 Rendita immediata posticipata. Montante M = R + R(1+ i)+...+ R(1+ i) n 2 + R(1+ i) n 1 Moltiplicando ambo i membri dell'uguaglianza per (1+i) si ottiene: M (1+ i) = R(1+ i)+ R(1+ i) R(1+ i) n 1 + R(1+ i) n Facendo la differenza membro a membro tra le le due equazioni si ottiene M (1+ i) M = R(1+ i)+...+ R(1+ i) n R... R(1+ i) n 1 Da cui si ricava M = R (1+ i)n 1 i 15

16 Rendita immediata posticipata. Valore attuale R(1+i) -1 R(1+i) -2 R(1+i) -3 R(1+i) -4 R(1+i) -5 R(1+i) -n n-1 n R R R R R R R R(1+i) -n 16

17 Rendita immediata posticipata. Valore attuale Con analogo procedimento a quello visto per il montante si ha: Possiamo ricavare la formula del valore attuale tenendo conto della formula del montante 17

18 Rendita immediata anticipata. Montante n-1 R R R R R n R(1+i) R(1+i) n-3 R(1+i) n-2 R(1+i) n-1 R(1+i) n 18

19 Rendita immediata anticipata. Montante 19

20 Rendita immediata anticipata. Valore attuale R R(1+i) -1 R(1+i) -2 R(1+i) -3 R(1+i) -4 R(1+i) n-1 R R R R R R R n R(1+i) -n+1 20

21 Rendita immediata anticipata. Valore attuale 21

22 Confronto tra rendita posticipata ed immediata A parità di valore della rata R, numero delle rate n e tasso i, il valore attuale (montante) di una rendita immediata anticipata è uguale al valore attuale (montante) di rendita immediata posticipata moltiplicato per (1+i), ovvero 22

23 Rendita posticipata differita di p periodi p p+1 p+2 p+n-1 p+n R R R R (1+i) -p R n 1 Valore della rendita (1 + i) i alla scadenza p V = n p 1 (1 + i) ( 1+ i) R Valore attuale della i rendita Il montante di una rendita posticipata differita è uguale al montante della rendita posticipata immediata con lo stesso numero di rate, stesso importo R e stesso tasso i. 23

24 Rendita anticipata differita di p periodi p p+1 p+2 p+n-1 p+n R R R R (1+i) -p R(1 + 1 i) (1 + i i) n Valore della rendita alla scadenza p V = (1 + i) 1 R (1 i p+ 1 + i) n Valore attuale della rendita Il montante di una rendita anticipata differita è uguale al montante della rendita anticipata immediata con lo stesso numero di rate, stesso importo R e stesso tasso i. 24

25 Rendita differita di p periodi p p+1 R p+2 p+n-1 p+n R R R Una rendita posticipata differita di p periodi è uguale ad una rendita anticipata differita di p+1 periodi con lo stesso numero di rate, stesso importo R e stesso tasso i. 25