P = ( /4 1) =

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1 ESERCIZI RENDITE R1) Si trovi il montante di una rendita posticipata costituita da 40 rate annue di cui le prime 15 di 2 milioni, le successive 10 di 4 milioni e le restanti di 3 milioni ciascuna. Il tasso tecnico della rendita è del 6 %. R2) Una rendita è costituita da 20 rate annue alternativamente di 15 e di 20 milioni. Nell ipotesi che sia immediata e anticipata, si richiede il montante al 4 % e il valore attuale al 3.75 % R3) Si sono impiegati 50 milioni al 4.25 %. Dopo 6 anni si inizia a prelevare con cadenza trimestrale 5 milioni. Quanti prelievi si possono fare? Qual è l ammontare del deposito subito dopo l ultimo prelievo? R4) Ho diritto a ricevere da un cliente 2 milioni annui per 8 anni ad iniziare da oggi e da un altro cliente 4 milioni annui per 12 anni ad iniziare dal prossimo anno. Cedo questi crediti a una Banca che li valuta al tasso annuo del 3.75 %. Quanto ricevo? R5) Una rendita di 20 rate posticipate di cui le prime 10 sono di 8 milioni e le successive di 16 milioni ha lo stesso valore di una rendita di 20 rate costanti di 11 milioni ciascuna. Si trovi il tasso. R6) Su un fondo il cui tasso di rendimento annuo è del 7 % vengono depositati 130 milioni con l intento di prelevare mensilmente in via posticipata 4 milioni. Dopo quanto tempo avviene l ultimo prelievo? A quanto ammonta la consistenza del deposito 2 mesi e 10 giorni dopo che è stato effettuato l ultimo prelievo? R7) Un risparmiatore vuole disporre di 150 mila euro fra esattamente 12 anni. A tal proposito programma di effettuare 3 versamenti di importo costante - il primo in data odierna, il secondo fra 4 anni e il terzo fra 7 anni - presso una società finanziaria che remunera i depositi a un tasso costante annuo del 4 %. Si trovi l ammontare di ciascun versamento. 1

2 Nell ipotesi che il tasso di remunerazione non rimanga costante ma passi dal 4 al 7 % non appena il montante delle somme depositate supera i 120 mila euro, si trovi il nuovo ammontare dei versamenti (costanti) che si debbono effettuare (alle stesse scadenze) per avere la garanzia di poter disporre di 150 mila euro dopo 12 anni. R8) Si considerino due rendite perpetue e posticipate la prima con rate costanti ed uguali a P, la seconda con rate S, 2S, 3S,.... Si trovino, in funzione di P ed S, i tassi di interesse che rendono rispettivamente nulla e massima la differenza fra i valori attuali di tali rendite. R9) Un risparmiatore vuole costituire presso un istituto di credito un capitale di Euro fra 10 anni mediante il versamento di 20 rate semestrali posticipate e tali che che ogni rata supera la precedente del 2 %. Si calcoli l importo della settima e della diciottesima rata da versare, nell ipotesi che il tasso d interesse corrisposto sul deposito sia costante e uguale al 4 % annuo. Naturalmente lo stesso capitale può essere costituito fra 10 anni versando due sole rate, la prima subito ( t = 0 ) e la seconda fra 5 anni. Si trovi l importo di tali rate sia nell ipotesi di un tasso di remunerazione annuo costante del 4 % sia nell ipotesi che il tasso di remunerazione annuo passi dal 4 al 5 % non appena il montante dei depositi raggiunga il livello di 50 mila euro. R10) Un operatore finanziario dispone della somma di Lit. 100 milioni che può impiegare in un fondo che garantisce un tasso di rendimento annuo costante r = 9.25 %. Si trovi il massimo prelievo trimestrale (posticipato e di ammontare costante) che si può effettuare se si vuole che la possibilità di tale prelievo non si esaurisca mai. Si trovi, inoltre, a quanto ammonta la consistenza dell impiego dopo 5 anni e 2 mesi, nell ipotesi che i prelievi avvengano regolarmente ogni 3 mesi. R10) (Cenno di soluzione) Il massimo prelievo trimestrale posticipato costante P che si può effettuare senza mai esaurire il fondo è pari agli interessi maturati nel trimestre cioè P = ( /4 1) = La consistenza dell impiego dopo 5 anni e 2 mesi (e quindi due mesi dopo uno dei prelievi) è /12 =

3 R11) Cinque mesi fa un risparmiatore ha depositato presso una società finanziaria Lit. 15 milioni con l intento di prelevare alla fine di ogni mese Lit Le parti concordano di utilizzare il regime dell interesse composto e si impegnano a mantenere il tasso di interesse costante. Si determini il massimo numero di prelievi che potranno essere consecutivamente effettuati nell ipotesi che in data odierna, dopo aver effettuato il quinto prelievo mensile, la consistenza del deposito ammonti a Lit Si calcoli inoltre quanto tempo si deve attendere dopo l ultimo prelievo per poter nuovamente effettuare un prelievo di Lit R11) (Cenno di soluzione) Indicato con i 12 il tasso mensile corrisposto sul deposito, l equivalenza finanziaria richiede che (1 + i 12 ) s 5 i12 = Da tale equazione è possibile ricavare il tasso i 12 utilizzando un procedimento iterativo. Con qualche calcolo si trova i , equivalente a un tasso i 6 % su base annua. Dalla condizione a n i12 si ottiene il massimo numero di prelievi mensili che possono essere effettuati n = log ( i 12/ ) = = 19 log (1 + i 12 ) dove x indica la parte intera del numero reale x. La consistenza del deposito all epoca immediatamente successiva all ultimo prelievo è (1 + i 12 ) s 19 i12 = = Per poter nuovamente effettuare un prelievo di Lit. l epoca t tale che (1 + i 12 ) t = si deve attendere cioè t = log log log (1 + i 12 ) = 5 anni + 11 mesi + 17 giorni. = R12) Un debito di 100 milioni viene rimborsato mediante 20 rate annue posticipate di 10 milioni ciascuna. Ogni rata viene immediatamente reinvestita 3

4 al tasso annuo del 7 %. Si trovi il tasso di interesse effettivamente realizzato dal creditore. R12) (Cenno di soluzione) Alla scadenza la ricchezza accumulata dal creditore è data da 10 milioni s Il tasso effettivamente realizzato i eff si ottiene risolvendo l equazione e risulta pari a %. 100 milioni (1 + i eff ) 20 = 10 milioni s R13) Un risparmiatore deposita Lit. 200 milioni presso una società finanziaria che garantisce una reddito calcolato in base a un tasso annuo costante del 7 %. Il risparmiatore intende effettuare dei prelevamenti ogni 6 mesi in via posticipata in modo che ciascun prelevamento superi il precedente del 3 %. Sapendo che il primo prelevamento è di 15 milioni, si trovino il numero massimo di prelevamenti che si possono effettuare e la consistenza del deposito due mesi dopo aver effettuato l ultimo prelevamento consentito. R13) (Cenno di soluzione) Il deposito di V 0 = 200 milioni rappresenta il valore attuale di una rendita con rate semestrali, posticipate, crescenti in progressione geometrica di ragione q = 1.03 e con prima rata R 1 = 15 milioni. Si deve avere V 0 R 1 v 2 1 (q v 2 ) n 1 q v 2 cioè 200 milioni 15 milioni 1 1 [1.03/( )] n /( ) dove n rappresenta il numero massimo di prelievi, i 2 = è il tasso di remunerazione semestrale e v 2 = (1 + i 2 ) 1. Pertanto log [1 V0 (1 q v 2 )/(R 1 v 2 )] n = = = 14. log (q v 2 ) Dopo n prelevamenti l ammontare della somma depositata si può calcolare come differenza fra il montante dei 200 milioni inizialmente depositati e il montante dei prelievi e risulta pari a Lit La consistenza del deposito due mesi dopo l ultimo prelevamento è perciò pari a /6 =

5 R14) Si vuole costituire presso una società finanziaria un capitale di Lit. 100 milioni fra 7 anni mediante il versamento di 5 rate annue in progressione geometrica determinate in modo che l importo della prima rata, versata oggi stesso, sia uguale alla metà di quello dell ultima. Sapendo che il tasso di interesse corrisposto sul deposito è pari al 5 % annuo per i primi 5 anni e al 3 % annuo successivamente, si determini l importo delle rate da versare. R14 (Cenno di soluzione) Per una rendita con rate crescenti in progressione geometrica di ragione q e primo termine R 0 si ha R k = R 0 q k. k = 1, 2,..., n Pertanto si ha R 4 = R 0 q 4. Poiché vale inoltre R 0 = R 4 /2, si trova q = Affinché il montante dopo 7 anni sia uguale a 100 milioni occorre che 4 R 0 q k k = k=0 cioè che 4 R q k v k = k=0 dove si è posto v = Poiché si trova n k=0 q k v k = 1 (qv)n+1 1 qv R 0 = qv = (qv) n+1 Si trova poi immediatamente: R 1 = R 2 = R 3 = R 4 =

6 R15) Una Ditta specializzata nel trasporto di prodotti alimentari decide di incrementare il numero dei propri autoveicoli commerciali. Non disponendo di mezzi finanziari sufficienti per l acquisto, stimati in 400 mila euro, si rivolge a una società di leasing che garantisce la fornitura richiesta entro pochi giorni e propone le due seguenti modalità di pagamento: A) versamento di 40 mila euro alla data di consegna e di 4 canoni posticipati di 100 mila euro ciascuno, da versarsi uno ogni quattro mesi ad iniziare dal quarto mese dopo la consegna, B) versamento di 40 mila euro alla data di consegna e di 3 canoni posticipati di 135 mila euro ciascuno, da versarsi uno ogni sei mesi ad iniziare dal sesto mese dopo la consegna. Tutte e due le modalità di pagamento, inoltre, prevedono che la Ditta possa riscattare gli autoveicoli (divenendone proprietaria a tutti gli effetti) pagando 50 mila euro due anni dopo la consegna. Si analizzino e si confrontino le due modalità che consentono di ottenere la fornitura richiesta. R16) Un risparmiatore vuole garantirsi la disponibilità di un capitale di Lit. 100 milioni fra 10 anni. Si calcoli l ammontare del versamento che dovrebbe essere effettuato a tale scopo in data odierna presso una società che garantisce di remunerare i depositi al tasso annuo del 4.25 % nei prossimi 4 anni e 4 mesi e al tasso annuo del 4 % successivamente fino alla scadenza. Si determini inoltre l importo dei versamenti da effettuare per la costituzione dei 100 milioni se, invece di effettuare un unico versamento iniziale, si decide di versare, a partire dalla data odierna e proseguendo fino alla scadenza dei 10 anni, una somma costante ogni trimestre. 6