Esercizi sulle percentuali

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1 Esercizi sulle percentuali Esercizio 1 Si dispone di 12 kg di soluzione concentrata al 25%. Calcolare la quantità di solvente e di soluto necessari per ottenere tale soluzione. Dire che 12 kg di soluzione sono concentrati al 25% significa che il 25% di questa soluzione è costituita da soluto e il restante 75% da solvente. Consideriamo la seguente tabella: 12 kg % Soluto x 1 kg 25% Solvente x 2 kg 75% Quindi, per determinare la quantità di soluto occorre impostare la proporzione 12 : = x 1 : 25. Si avrà quindi x 1 = = 3. Segue che la soluzione è composta da 3 kg di soluto e di conseguenza da 9 kg di solvente, poiché x 2 = 12 x 1 = 12 3 = 9. Esercizio 2 Si dispone di 2 kg di soluzione concentrata al 45%. Calcolare la quantità di soluto che si deve aggiungere ala soluzione per ottenerne una nuova, concentrata al 60%. Essendo concentrata al 45%, la soluzione iniziale avrà il 45% di soluto e il 55% di solvente, quindi, considerando la tabella: 2 kg % Soluto x 1 kg 45% Solvente x 2 kg 55% 1

2 segue che 2 : = x 1 : 45 = x 1 = 2 45 = 0, 9. Di conseguenza la soluzione iniziale sarà costituita da 0,9 kg di soluto e di 1,1 kg di solvente. La soluzione di partenza può essere resa più concentrata aggiungendo altro soluto oppure meno concentrata aggiungendo altro solvente. Naturalmente la soluzione che si otterrà non sarà più di 2 kg ma aumenterà in misura pari al peso di quello che si aggiunge. Noi vogliamo che la soluzione finale sia concentrata al 60% quindi occorre aggiungere una certa quantità x di soluto. La soluzione finale può essere rappresentata dalla seguente tabella: Si avrà allora 2 + x kg % Soluto 0, 9 + x kg 60% Solvente 1, 1 kg 40%. (2 + x) : = (0, 9 + x) : 60 e quindi, considerando che in una proporzione il prodotto dei medi è uguale al prodotto degli estremi, si avrà (0, 9 + x) = (2 + x) x = x 40x = 30 x = = 0, 75. Di conseguenza, la quantità di soluto che occorre aggiungere è di 0,75 kg. Naturalmente si giunge allo stesso risultato impostando la proporzione (2 + x) : = 1, 1 : 40. Esercizio 3 Si dispone di 1,9 kg di soluzione concentrata al 45%. Calcolare la quantità di solvente che si deve aggiungere alla soluzione per ottenerne una nuova, concentrata al 25%. Questo esercizio è del tutto analogo all Esercizio 2 con la differenza che questa volta vogliamo ottenere una nuova soluzione meno concentrata della precedente 2

3 e quindi non occorre aggiungere del soluto bensì una quantità x di solvente. La situazione iniziale è riassunta nella seguente tabella: 1,9 kg % Soluto x 1 kg 45% Solvente x 2 kg 55% e quindi 1, , 9 : = x 1 : 45 = x 1 = e di conseguenza la quantità di solvente è pari a 1,045 kg. = 0, 855 Ragionando come nell Esercizio 2 la situazione finale sarà riassunta dalla seguente tabella: 1,9 + x kg % Soluto 0, 855 kg 25% Solvente 1, x kg 75%. La proporzione sarà allora e quindi (1, 9 + x) : = 0, 855 : 25 (1, 9 + x) 25 = 0, , x = 85, 5 Naturalmente è equivalente usare la proporzione: 25x = 38 x = (1, 9 + x) : = (1, x) : 75. = 1, 52. Esercizio 4 Si hanno due soluzione A, B di diversa concentrazione. La soluzione A è concentrata al 10%, la B al 45%. Determinare in quale proporzione vanno miscelate per ottenere 2,8 kg di una terza soluzione C concentrata al 30%. Dobbiamo prendere una quantità X di soluzione A concentrata al 10% e miscelarla con una quantità Y di soluzione B concentrata al 45% per ottenere 2,8 kg di una nuova soluzione C concentrata al 30%. La situazione può essere riassunta con le seguenti tre tabelle relative alle tre soluzioni: 3

4 A B C X kg % Y kg % 2,8 kg % Soluto x 1 kg 10% Soluto y 1 kg 45% Soluto z 1 kg 30% Solvente x 2 kg 90% Solvente y 2 kg 55% Solvente z 2 kg 70% e dovrà essere { X + Y = 2, 8 x 1 + y 1 = z 1 x 2 + y 2 = z 2. Dalle tabelle si ricavano le seguenti relazioni X : = x 1 : 10 = x 1 = 10X X : = x 2 : 90 = x 2 = 90X = 0, 1X = 0, 9X Y : = y 1 : 45 = y 1 = 45Y Y : = y 2 : 55 = y 2 = 55X = 0, 45Y = 0, 55Y Quindi 2, 8 : = z 1 : 30 = z 1 = 2, 8 : = z 2 : 70 = z 2 = 30 2, , 8 = 0, 84 = 1, 96X. { X + Y = 2, 8 0, 1X + 0, 45Y = 0, 84 0, 9X + 0, 55Y = 1, 96. Questo è un sistema di tre equazioni in due incognite. Avremo: X = 2, 8 Y { X = 2, 8 Y 0, 1(2, 8 Y ) + 0, 45Y = 0, 84 = 0, 28 0, 1Y + 0, 45Y 0, 84 = 0 0, 9(2, 8 Y ) + 0, 55Y = 1, 96 2, 52 0, 9Y + 0, 55Y 1, 96 = 0 { X = 2, 8 Y { { X = 2, 8 Y X = 2, 8 Y = 0, 35Y = 0, 56 = Y = 0,56 = = 0,35 Y = 1, 6 0, 35Y = 0, 56 { { X = 2, 8 1, 6 X = 1, 2 = = Y = 1, 6 Y = 1, 6. = Quindi per ottenere 2,8 kg di soluzione C concentrata al 30% occorre prendere 1,2 kg di soluzione A e miscelarla con 1,6 kg di soluzione B. 4

5 Esercizio 5 L acquisto di una macchina può essere effettuato scegliendo fra due tipi diversi di pagamento: (a) si paga l intero importo, di lire, al 1 Gennaio 1993; (b) si suddivide il pagamento in tre rate, ognuna di di lire, alle scadenze 1 Gennaio 1993, 1 Gennaio 1994, 1 Gennaio Disponendo del denaro necessario, e sapendo che le somme non ancora spese possono essere depositate in banca ad un interesse annuo del 7%, stabilire quale delle forme di pagamento è più vantaggiosa. Vediamo cosa succede se, possedendo Lire, invece di pagare in contanti, scegliamo la seconda opzione, ossia paghiamo subito, al 1 Gennaio 1993, di Lire, e mettiamo i restanti in banca. Al 31 Dicembre 1993 su questo importo sarà maturato un interesse del 7% che è pari a : = x : 7 = x = = quindi avremo nel conto = Lire. Il 1 Gennaio 1994 versiamo la seconda rata di di Lire e quindi nel conto rimarranno Lire. Al 31 Dicembre 1994 su questo importo sarà maturato un interesse del 7% pari a : = x : 7 = x = = quindi avremo nel conto = Lire. Se il 1 Gennaio 1995 versiamo la terza rata di Lire nel conto rimarranno Lire. Segue che la seconda opzione è più vantaggiosa rispetto alla prima. Esercizio 6 Il 30% della superficie della Sardegna è coperta da stagni e laghi, due quinti è costituito da pascolo, foreste o montagne; il resto è coltivato. Quale percentuale della superficie totale dell isola è coltivata? 5

6 Noi sappiamo che il 30% della Sardegna è coperta da stagni e laghi. Inoltre i 2/5 del territorio totale, quindi i 2/5 del %, è costituito da pascoli, foreste e montagne. Siccome 2 = 40 5 questo rappresenta il 40% dell isola. Quindi poiché = 30 segue che il 30% del territorio è coltivato. Allo stesso risultato si giunge ragionando nel seguente modo: noi non conosciamo l estensione della superficie della Sardegna però per calcolare la percentuale totale coltivata possiamo supporre, per esempio, che la sua estensione sia di km 2. Avremo quindi che il 30% è coperta da stagni e laghi, quindi : = x : 30 = x = 30 = 30 km 2. Inoltre i 2 5 di questi km2 è costituito da pascolo, foreste e montagne, quindi Il resto è coltivato, ossia 2 5 = 40 km = 30 km 2. L esercizio chiede di calcolare la percentuale di superficie coltivata, quindi avremo : = 30 : x = x = 30 = 30%. Quindi la superficie coltivata è pari al 30% della superficie totale. Esercizio 7 La superficie del globo consiste di acqua (70%) e di terraferma (30%). Un quinto della terraferma sono deserti o coperti di ghiaccio e due terzi è costituito da pascolo foreste o montagne; il resto è coltivato. Quale percentuale della superficie totale del globo è coltivata? 6

7 Noi sappiamo che la terraferma costituisce il 30% della superficie totale del globo. 1/5 di questo 30% è costituito da deserti o ghiaccio. Siccome = 6 segue che questo rappresenta il 6% della superficie del globo. Inoltre i 2/3 di questo 30% è costituito da pascolo, foreste o montagne e poiché 2 30 = 20 3 segue che questi ricoprono il 20% del globo. Visto che = 4 segue che il 4% del globo è coltivato. Allo stesso risultato si giunge ragionando nel seguente modo: noi non conosciamo l estensione della superficie del globo, però per calcolare la percentuale totale coltivata possiamo supporre, per esempio, che la sua estensione sia di km 2. Il 70% consiste di acqua, quindi : = x : 70 = x = 70 = 70 km 2. Il restante 30%, ossia i restanti 30 km 2, consiste di terraferma. Un quinto della terraferma sono deserti o ghiaccio, quindi si hanno 1 30 = 6 km2 5 di deserti e ghiaccio. Due terzi della terraferma è costituito da pascolo, foreste e montagne, quindi si hanno 2 30 = 20 km2 3 di pascolo, foreste e montagne. Il resto, cioè = 4 km 2 di terraferma, è coltivato. Vogliamo calcolare la percentuale della superficie totale del globo che è coltivata. Si avrà : = 4 : x = x = 4 = 4%. Quindi è coltivato il 4% della superficie totale del globo. 7

8 Esercizio 8 In un paese l inflazione è stata del 8% nel 1989 e del 6.7% nel A quanto ammonta l inflazione complessiva nel periodo ? Dire che nel 1989 l inflazione è stata dell 8% significa che se nel 1988 una cosa costava Lire nel 1989 il suo prezzo è aumentato dell 8% e quindi è stata pagata 108 Lire. Nel 1990 l inflazione è stata pari al 6, 7%, quindi la cosa che nel 1989 costava 108 Lire andrà incrementata del 6, 7%. Poiché si ha che 108 : = x : 6, 7 = x = , 236 = 115, 236 Lire 108 6, 7 quindi nel biennio il valore iniziale è aumentato di 115, 236 = 15, 236 Lire. L esercizio chiede l aumento percentuale, quindi avremo = 7, 236 : = 15, 236 : x = x = 15, 236 = 15, 236%. Esercizio 9 In un paese il potere d acquisto è aumentato del 5% nel 1991 ed è diminuito del 3, 7% nel A quanto ammonta la variazione complessiva del potere d acquisto nel periodo ? Dire che nel 1991 il potere d acquisto è aumentato del 5% significa che se nel 1990 una cosa costava Lire nel 1991 il suo prezzo è diminuito del 5% e quindi è stata pagata 95 Lire. Nel 1992 il potere d acquisto è diminuito del 3, 7%, quindi la cosa che mi costava 95 Lire in quest anno la pago maggiorata del 3, 7%. Poiché 95 3, 7 95 : = x : 3, 7 = x = = 3, 515 Lire 8

9 segue che pagherò , 515 = 98, 515 Lire. Quindi nel periodo il potere d acquisto del paese è passato da Lire a 98,515 Lire e visto che segue che 98, 515 = 1, 485 Lire : = 1, 485 : x = x = 1, 485 = 1, 485% ossia, nel biennio il potere d acquisto è aumentato del 1, 485%. Esercizio 10 La produzione di carciofi è aumentata del 5, 56% nel 1991 ed è diminuita del 2, 7% nel Quale è la variazione della produzione nel periodo ? Dire che, nel 1991, la produzione di carciofi è aumentata del 5, 56% significa che se nel 1990 se ne producevano kg, nel 1991 se ne sono prodotti 105,56 kg. Nel 1992 la produzione è diminuita del 2, 7% quindi, poiché 105, 56 : = x : 2, 7 = x = 105, 56 2, 7 = 2, kg, segue che in quest anno la produzione è stata di 105, 56 2, 8512 = 102, kg. Quindi nel periodo la produzione di carciofi è passata da kg a 102,70988 kg. L esercizio però chiede di calcolare la variazione complessiva che è di 102, = 2, kg. Quindi la variazione percentuale sarà : = 2, : x = x = ossia c è stato un aumento del 2, 70988%. 9 2, = 2, 70988%

10 Esercizio 11 Un professionista deve pagare, su ogni somma percepita, una tassa (nazionale) del 20%. Ma non basta: sulla somma residua, deve pagare un ulteriore tassa (regionale) del 15%. Quale percentuale della somma rimane al professionista? Da ogni Lire percepite dal professionista viene decurtato il 20%, quindi, pagata la tassa nazionale, gli rimarranno 80 Lire per ogni Lire di guadagno. Su questa somma residua deve pagare un ulteriore tassa regionale del 15%, quindi, poiché : = x : 15 = x = = 12 per ogni Lire guadagnate percepirà soltanto In percentuale avremo = 68 Lire. : = 68 : x = x = 68 = 68%. Quindi della somma guadagnata ne percepirà solo il 68%. Esercizio 12 Un liquido viene fatto passare attraverso un filtro che consente di eliminare il 55% delle impurità presenti nel liquido. Successivamente il liquido (già filtrato una prima volta) viene fatto passare attraverso un secondo filtro che consente di eliminare il 35% delle impurità, e infine attraverso un terzo filtro che consente di eliminare il 55% delle impurità. Calcolate la percentuale complessiva delle impurità eliminate con i tre filtraggi. Prima dei filtraggi abbiamo il % delle impurità. Dopo il primo filtraggio vengono eliminate il 55% delle impurità quindi ne rimane il 45%. Col secondo filtraggio viene eliminato il 35% di questo 45% rimasto e poiché 45 : = x : 35 = x = = 15, 75

11 segue che viene tolto un altro 15, 75% di impurità e siccome 45 15, 75 = 29, 25 segue che è rimasto il 29, 25% di impurità. Col terzo filtraggio viene eliminato il 55% di questo 29, 25% rimasto e poiché 29, 25 : = x : 55 = x = 29, = 16, 0875 segue che viene tolto un altro 16, 0875% di impurità e siccome 29, 25 16, 0875 = 13, 1625 segue che è rimasto il 13, 1625% di impurità. Quindi la percentuale di impurità eliminate sarà 13, 625 = 86, 375%. Alla stessa soluzione si giungeva ragionando nel seguente modo: noi non conosciamo quante impurità ci sono nel liquido considerato ma siccome al fine del calcolo della percentuale finale è irrilevante possiamo supporre che siano di kg. Col primo filtraggio viene eliminato il 55% delle impurità per cui si avrà Segue che rimarranno : = x : 55 = x = 55 = 45 kg 55 = 55 kg. di impurità. Il liquido viene filtrato una seconda volta e viene eliminato un ulteriore 35% di impurità, per cui Segue che rimarranno 45 : = x : 35 = x = , 75 = 29, 25 kg = 15, 75 kg. di impurità. Un terzo filtraggio consente di eliminare un ulteriore 55% di impurità, cioè 29, , 25 : = x : 55 = x = = 16, 0875 kg. Quindi alla fine dei tre filtraggi saranno rimasti 29, 25 16, 0875 = 13, 1625 kg di impurità. L esercizio ci chiede la percentuale complessiva delle impurità eliminate coi tre filtraggi. La percentuale di impurità rimaste sarà 13, 1625 : = 13, 1625 : x = x = = 13, 625% segue che la percentuale di impurità eliminate sarà 13, 625 = 86, 375%. 11