ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2018/2019. Esercizi: lezione 31/10/2018

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2018/2019 Esercizi: lezione 31/10/2018 Piani di ammortamento Esercizio 1. Un finanziamento pari a e viene rimborsato con 4 rate annue posticipate a quote di capitale costante (piano all italiana) e tasso annuo composto i = 8%. a) Stabilire l ammontare delle quattro rate R 1, R 2, R 3, R 4 redigendo il piano di ammortamento; b) stabilire l ammontare delle quattro rate R2, R 3, R 4, R 5 nel caso in cui, dopo il pagamento della prima rata R 1, il debitore ottenga l allungamento di un anno del rimborso, di nuovo a quote di capitale costante e riduzione del tasso di un punto percentuale. Soluzione. Il piano è all italiana, quindi C 1 = C 2 = C 3 = C 4 = C. Poiché il rimborso si chiude al quarto anno si ha C 1 + C 2 + C 3 + C 4 = D 0 4 C = C = 25000e. a) Dobbiamo applicare le seguenti formule: I k = D k 1 i, per k = 1, 2, 3, 4, R k = C + I k = I k, per k = 1, 2, 3, 4, D k = D 0 k C = k per k = 1, 2, 3, 4, dunque otteniamo il seguente piano di ammortamento:

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA b) Siano C = C 1 e C = C 2 = C 3 = C 4 = C 5, quindi abbiamo che C 1 + C 2 + C 3 + C 4 + C 5 = D 0 C + 4 C = C = da cui C = 18750e. Procedendo come nel punto a) per le epoche t = 2, 3, 4, 5 con tasso annuo di interesse i = 0, 07, abbiamo il seguente piano di ammortamento: , , , ,50 0 Esercizio 2. Un impresa ha contratto 3 anni fa un mutuo di ammontare 10000e al tasso annuo composto del 10%. Un anno più tardi ha versato una prima rata di 3000e e due anni dopo una seconda rata di 4000e. a) Determinare il debito residuo D 2. b) Determinare la terza rata se il debito è chiuso al terzo anno. c) Se invece l impresa estingue il debito in 4 anni complessivi, pagando una stessa rata R negli ultimi due anni, determinare tale rata, sapendo che, solo nel quarto anno, il tasso è salito al 12%. Soluzione. a) Il modo piú veloce (non sicuramente l unico) per risolvere questo problema senza ricorrere all intero piano di ammortamento (peraltro non richiesto) é di sfruttare la terza legge dei piani di ammortamento classici (ossia, posticipati e periodici) nella versione D k = D k 1 (1 + i) R k, per k = 1,..., n. Se applichiamo tale formula per k = 1, troviamo D 1 = D 0 (1 + i) R 1, ossia, inserendo i dati D 0 = 10000, i = 0, 1, R 1 = 3000, si ha che D 1 = Analogamente, si trova che D 2 = D 1 (1+i) R 2 = , = b) Anche in questo caso il metodo piú veloce consiste nell adoperare la suddetta formula: poiché il piano si chiude al terzo anno, si ha che D 3 = 0, quindi D 3 = D 2 (1 + i) R 3 = 0 da cui si ricava immediatamente che R 3 = D 2 (1 + i) = , 1 = 5280.

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 Alternativamente, si puó seguire la strada piú lunga di stilare il piano di ammortamento nel modo che segue. Se supponiamo di estinguere il debito al terzo anno si ha I 3 = D 2 i = , 1 = 480; essendo D 3 = 0 e D 3 = D 2 C 3, abbiamo che C 3 = D 2 = 4800; infine R 3 = C 3 + I 3 = = Allora il piano di ammortamento è il seguente: c) In questo caso il piano di ammortamento è il seguente: R R 5280 R R 633, 6 0, 12 R R 0 L equazione da impostare è R 4 = C 4 + I 4, ossia otteniamo la seguente equazione in R: R = 5280 R + 633, 6 0, 12 R 2, 12 R 5913, 6 = 0 da cui R = 2789, 43e. Esercizio 3. Un prestito di 10000e viene rimborsato in 5 anni a rate semestrali costanti al tasso i s = 2, 4%. Dopo 2 anni esatti, il debitore continua il piano di ammortamento presso un altro istituto di credito a tasso i s = 2%, pagando al vecchio istituto una penale, finanziata dal nuovo istituto, dell 1, 2% sul debito residuo. Supponendo che, presso il nuovo istituto, il debitore, oltre ad un abbassamento di tasso, ottenga anche di pagare con un anno in più di tempo, a quanto ammonta la nuova rata?

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA Soluzione. Dopo 2 anni, usando la formula compatta che lega un debito residuo intermedio a quello iniziale nel piano alla francese, il debito residuo è D 4 = D 0 1 (1 + i s) 6. (1) 1 (1 + i s ) 10 Poiché il debitore, cambiando istituto di credito, paga una penale dell 1, 2% su D 4, ma ha a disposizione un anno in più (ossia 2 ulteriori rate) per pagare, significa che nel nuovo istituto deve ripianare un debito di (1, 012) D 4, sempre alla francese, in 4 anni, a tasso i s. La nuova rata costante R, pertanto diviene R = 1, 012 D 4 Inserendo nella (2) la (1), si ha che R = 1, 012 D 0 i s 1 (1 + i. (2) 8 s) i s (1 (1 + i s ) 6 ) (1 (1 + i s) 8 ) (1 (1 + i s ) 10 ). (3) Inserendo ora i dati numerici nella (3) si trova che R 867, 85. e Esercizio 4. Non potendo pagare l ultima rata R n, pari a 1000e, di un mutuo a tasso i = 10%, ottenete di chiudere il prestito pagando 2 rate uguali pari a R alle epoche t = n e t = n + 1. A quanto ammonta R? Soluzione. In pratica, si tratta di scambiare la rata di 1000 euro con due rate costanti pagate l una sempre all ultimo anno e l altra l anno dopo, ma il cui complessivo valore attuale, dove attuale qui si riferisce all n-esimo anno, deve coincidere con Dunque, l equazione da impostare è 1000 = R + R 1 + i da cui facilmente R = 1 + i , i Esercizio 5. Avete contratto un debito di 10000e al tasso annuo di interesse composto i = 10% da estinguere completamente in 3 anni a rate posticipate. Sapendo che la prima rata è R 1 = 4000e e che la seconda è nulla, ossia R 2 = 0, redigete il piano di ammortamento.

5 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 Soluzione. Abbiamo il seguente piano di ammortamento: Esercizio 6. Un debito di 1639, 68e viene rimborsato a tasso annuo i = 25% in 5 anni, ma con sole 3 rate costanti pari a R, alle epoche t = 1, 3, 5. Stilare il piano di ammortamento in due modi: nel primo, visualizzate le voci fondamentali solo relativamente alle epoche t = 0, 1, 3, 5, mentre nel secondo, visualizzate le voci fondamentali relative a tutte le epoche, mostrando che le uniche voci coincidenti, alle epoche in comune, sono solo le rate e i debiti residui. Soluzione. La condizione di chiusura finanziaria impone che 3 R (1 + i) t = D 0. k k=1 Chiamando per semplicitá z = 1/(1 + i), dalla precedente equazione si arriva, dopo qualche semplice passaggio algebrico, a D 0 R = z + z 3 + z 5. Inserendo i dati D 0 = 1639, 68 e i = 0, 25, si trova che R = Seguendo il primo modo di risoluzione, possiamo stilare intanto la prima riga del piano, che è assolutamente standard, sapendo che I 1 = 409, 92 e la rata è R = 1000, quindi C 1 = R I 1 = 590, 08 e D 1 = D 0 C 1 = 1049, 60. Per le altre due righe, relative alle epoche t = 3 e t = 5, le formule relative alla rata e al debito residuo sono le stesse, mentre per la quota interesse bisogna usare quella col salto di epoche, che, in questo caso, in cui il salto è sempre di due anni, è data da I 3 = D 1 [(1 + i) 2 1] = 0, 5625 D 1 e, allo stesso modo, I 5 = 0, 5625 D 3. Dunque, si trova il seguente piano:

6 6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA k C k I k R k D k , , , , , , Nel secondo modo, si scrivono le voci relative a tutte le epoche, con le formule standard, sapendo che alle epoche t = 2, 4 la voce relativa alle rate è nulla (perché a quelle epoche non si paga), mentre nelle altre epoche la rata é sempre R = In tal modo, il piano è automatico: la prima riga è uguale a quella precedente: k C k I k R k D k , , , , , ,