Esercizi di Matematica Finanziaria scheda 6 - Leasing, rateazioni, titoli obbligazionari ed esercizi di riepilogo

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1 Esercizi di Matematica Finanziaria scheda 6 - Leasing, rateazioni, titoli obbligazionari ed esercizi di riepilogo. L anticipo è pari a 500 ed il tasso trimestrale equivalente a quello annuo contrattuale è i 4 =. 4 = Visto che non è previsto alcun anticipo, l equivalenza finanziaria = R permette di determinare il canone R = Il debito iniziale ammonta a D 0 = 500. La prima quota interesse ammonta a I = = e quindi la prima quota capitale vale C = = e quindi il debito residuo è D = = Per quanto riguarda il secondo pagamento: I = = 546.5, C = = e infine D = = Tenendo conto che il tasso trimestrale equivalente al tasso j = 0.07 è = , il VAN è G (0.07) = = L anticipo del contratto di leasing è pari a 600 euro mentre il prezzo di riscatto, da pagarsi dopo 8 mesi, è 00; dato che il tasso bimestrale equivalente al tasso annuo contrattuale è.0 6 = , l equivalenza finanziaria che permette di determinare il canone R = è = R Le rate del secondo contratto, dato che l anticipo è pari a 400 si ricavano dalla equivalenza finanziaria = R R R.08 da cui si determinano R = e R = R 3 = = I due VAN, tenendo conto che il tasso bimestrale equivalente al tasso annuo j = 0. è. 6 = , sono G A (0.) = = e G B (0.) = = va preferito il secondo contratto, in quanto ha il VAN positivo maggiore. Il tasso di sconto equivalente a quello d interesse i = 0.08 è d = 0.08 = e quindi.08 l equivalenza finanziaria diventa ( ( = R ( )+R )+R da cui s ottiene R = e R = R 3 = )

2 3. La cedola annua ammonta a 00 e, tenuto conto che le cedole sono annue, le scadenze sono 5 mesi (scadenza finale) e 5 = 3 mesi. Quindi i flussi sono flussi scadenze 0 3/ 5/ Il prezzo tel quel al tempo 0 si ottiene attualizzando, al tasso annuo di rendimento, i flussi futuri generati dal titolo P 0 = = L ultima cedola già incassata è stata pagata nove mesi fa, ovvero in / quindi il rateo, ovvero quella parte della cedola più prossima alla scadenza relativa al periodo precedente l istante di valutazione, vale r = = 00 = 75. Di conseguenza il corso secco del titolo è C = = La durata media finanziaria del titolo vale = Le cedole semestali ammontano a c = = e saranno pagate alle scadenze (in anni) 3,, 5, 7 e (scadenza finale). Il titolo genera i seguenti flussi futuri flussi + 00 scadenze 0 3/ / 5/ / 7/ quindi il corso tel quel oggi, in funzione del tasso annuo di rendimento x, è C 0 = ( + x) 3 e quindi, per x = 0.04, C 0 = ( + x) ( + x) ( + x) , ( + x) 7 = Il rateo vale r = = 5 e quindi il corso secco è C = = Dopo 8 mesi la prima cedola è già stata pagata per cui il corso tel quel sarà C 8 = = Indicato con y il tasso annuo di rendimento dell investimento effettuato si ricava da C 0 ( + y) 8 = C 8.e quindi ( + y) 8 = y = Il tasso risulta negativo in quanto non è stato considerato il reinvestimento della prima cedola (quella pagata in 3/) con la conseguenza che il prezzo in 8/ è minore di quello all emissione.

3 5. Il VAN è G (x) = x + a ( + x) + 0 ( + x) 3. Dato che la determinazione del tasso interno equivale a risolvere l equazione che annulla il VAN ed ha come incognita il tasso x, deve valere G (0.) = a = 0; da cui risulta a = Per il grafico del VAN, si osserva che che e che la derivata prima di G (x) G (0) = = 8.7 > 0, 50 lim x + + x ( + x) + 0 ( + x) 3 = 600 G (x) = 50 ( + x) ( + x) 3 00 ( + x) 4 è sempre negativa per x 0 indicando che in tale intervallo la funzione G (x) è sempre decrescente. La sua rappresentazione grafica allora è y x 6. Dai flussi del primo investimento si ricava l equazione 00 [ + h (0) (0; ) ] = 06 da cui il tasso a pronti h (0) (0; ) = 0.06; dal secondo, risolvendo l equazione 00 [ + h (0) (0; ) ] = 4 e considerando solo la radice maggiore di si ottiene h (0) (0; ) = I prezzi a pronti si ottengono dalle espressioni 06 v (0) (0; ) = 00 e 4 v (0) (0; ) = 00 ricavando da esse v (0) (0; ) = e v (0) (0; ) = Il tasso a termine si ottiene dall equazione.06 [ + h (0) (; ) ] =.0677 ottenendo h (0) (; ) = mentre il prezzo a termine viene determinato sfruttando l uguaglianza v (0) (; ) = da cui v (0) (; ) = Prezzo, durata media finanziaria e convessità del titolo sono P = = D = = C = =

4 7. Vanno dapprima calcolate le rate. Sfruttando la condizione di chiusura iniziale ovvero, semplificando = R. + R. + R + 3 R = R. + R. + R R. 4 + R. 5 3 R 3. 5 e risolvendo R = Le altre quattro rate ammontanto, allora, a R = , R 3 = R 5 = R e R 4 = Il piano di ammortamento è scadenza Deb. Res. Quota Cap. Quota Int. Rata e la condizione elementare è verificata dato che = Le quote di capitale si determinano sfruttando la condizione di chiusura elementare = C + C + C + 3 C C da cui si ricavano C = C 3 = C 5 = 500, C = e C 4 = Il piano di ammortamento risulta essere il seguente scadenza Deb. Res. Quota Cap. Quota Int. Rata , La condizione di chiusura iniziale è. Il VAN dei due finanziamenti è G (0.4) = = = =

5 e G (0.4) = = dato che il VAN del primo investimento è maggiore di quello del secondo, il primo è da preferire. 0. Il tasso interno x dell investimento deve risolvere l equazione x + ( + x) = 0. Posto, per semplificare la risoluzione dell equazione, y = +x va risolta y + 80y 0 = 0, Solution is: 3 77, ( ) che ha due radici y = = ( ) e y = = Sostituendo a ritroso si trova che = è +x vera quando x = mentre, nel secondo caso, =.5856 determina un tasso +x minore di, x = che non è finanziariamente sensato. Quindi il tasso interno dell investimento vale La somma mancante al tizio per intraprendere l investimento è f 0 = 0 50 = 50; se tale somma viene restituita dopo due anni pagando un flusso f = 70 il tasso annuo di indebitamento j = 0.83 si ricava risolvendo l equazione I flussi complessivi dell operazione sono e quindi l APV è 50 ( + j) = 70 flussi inv flussi fin flussi netti scadenze 0 Γ (0.0) = = e, dato che è positivo, si ha convenienza ad intraprendere l investimento + finanziamento.. Il finanziamento chiesto alla banca A viene rimborsato mediante due rate immediate costanti e posticipate R = 8.43 il cui valore è calcolato partendo dalla condizione di chiusura iniziale del finanziamento 50 = R a 0.0 = R.0 ; 0.0 il finanzimento concesso dalla banca B viene invece rimborsato pagato al tempo la somma. = I flussi complessivi sono flussi inv flussi fin. A flussi fin. B 33.3 flussi netti scadenze 0 5

6 e quindi l APV vale Γ (0.03) = =.4. Il valore negativo dell APV indica che l operazione complessiva non è conveniente per il tizio. Per determinare per quali tassi j B l APV è positivo va risolta la disequazione ( + j B) > 0 che ha come soluzione j B < (Ovviamente un finanziamento ad un tasso negativo non è finanziariamente credibile). Dato che h (0) (0; ) = = 0.04, h (0) (0; ) = = 0.05 e h (0) (0; 3) = = 0.06, v (0) (0; ) =.04 = 0.654, v(0) (0; ) =.05 = , v(0) (0; 3) =.06 3 = Il tasso a termine h (0) (; ) = si ricava dall equazione.04 [ + h (0) (; ) ] =.05 mentre il prezzo a termine v (0) (; ) risulta da Il prezzo al tempo 0 del titolo è v (0) (; ) = v(0) (0; ) v (0) (0; ) = = P 0 = = I flussi futuri garantiti dal titolo sono I due corsi tel quel in 0 sono e cedole annue cedole semestrali scadenze 0 / 8/ 4/ 0/ C 0 = C 0 = il rateo nel caso di cedola annua è r = 80 semestrale vale r = = 05.6 = e quindi i due corsi secchi sono = = mentre nel caso di cedola C = = C = =