EVOLUZIONE DEL DEBITO

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1 AMMORTAMENTO DI PRESTITI A RATE POSTICIPATE COSTANTI PROF. ROSARIO OLIVIERO

2 Indice 1 RENDITA POSTICIPATA EVOLUZIONE DEL DEBITO RATA E QUOTA CAPITALE RENDITA EQUA PIANO DI AMMORTAMENTO A RATE ANNUE COSTANTI POSTICIPATE PROBLEMI INVERSI di 16

3 1 Rendita posticipata Consideriamo un capitale S prestato in un istante t 0 = 0 ad un soggetto. In genere si conviene che un prestito sia rimborsato mediante la sottoscrizione di una rendita a favore del creditore. Dunque quest'ultimo beneficerà di un flusso di capitali del tipo: x = (R(1), R(2),, R(n)), t = (t 1, t 2,, t n ) in cui tutti gli importi (rate) sono positivi. In questa Lezione, supponiamo che il piano di ammortamento preveda un flusso di capitali posticipato ad intervalli temporali regolari: in particolare supponiamo che t 0 < t 1 (valendo la disuguaglianza in senso stretto) e inoltre che l'intervallo t k t k 1 sia costante (per ogni k = 1, 2,..., n) e pari ad un anno. Il flusso di capitali può quindi essere indicato nel modo seguente: x = (R(1), R(2),, R(n)), t = (1, 2,, n). Si pone il problema di calcolare, la rata R(k) il debito residuo D(k), la quota interessi I(k) e di definire (e, ovviamente, calcolare) la quota capitale C(k) al k-esimo anno (k = 1, 2,..., n). Ovviamente le condizioni da imporre sono le seguenti: D(0) = S D(n) = 0 La prima uguaglianza ci dice che il debito all inizio coincide con la somma prestata; la seconda ci dice che, per la data di estinzione del prestito, il debito sarà nullo. 3 di 16

4 2 Evoluzione del debito Supponendo che l'estinzione di un debito debba avvenire mediante una rendita (posticipata) al tasso annuo i, osserviamo preliminarmente che l'evoluzione del debito è descritta dalle seguenti relazioni: D(1) = (1+i)D(0) R(1) D(2) = (1+i)D(1) R(2) D(k) = (1+i)D(k 1) R(k) In pratica, il debito all'istante k è pari al debito all'istante k 1 (ossia al debito dell'anno precedente) moltiplicato per il fattore montante e diminuito della rata pagata in k. Si noti che vale la seguente relazione: R(k) = D(k 1) D(k) + id(k 1) (osserviamo che D(k 1) > D(k) ). Siccome id(k 1) rappresenta la quota interessi, la quota capitale deve essere necessariamente C(k) = D(k 1) D(k). In altre parole, la quota capitale (ossia quella che deve ricoprire la somma prestata e non il profitto del creditore e/o il rischio di credito) all'istante k è pari al debito dell'anno scorso diminuito del debito corrente (in k). 4 di 16

5 3 Rata e quota capitale Supponiamo ora che la rata sia costante. Consideriamo quindi le due relazioni: D(k) = (1+i)D(k 1) R D(k 1) = (1+i)D(k 2) R. Sottraendo membro a membro queste due ultime uguaglianze, si ha: D(k 1) D(k) = (1+i)D(k 2) (1+i)D(k 1)=(1+i)(D(k 2) D(k 1)) e quindi C(k) = (1+i)C(k 1). Ciò vuol dire che la quota capitale all'istante k è pari alla quota capitale in k 1 moltiplicata per il fattore montante m = (1+ i). Da ciò deriva che: C(2) = (1+i)C(1) C(3) = (1+i) 2 C(1) C(k) = (1+i) k 1 C(1) Ora, consideriamo l'uguaglianza: C(1) + C(2) + + C(n) = D(0) ha: Essa ci dice semplicemente che la somma di tutte le quote capitali è pari al debito iniziale. Si C(1)(1 + (1+i) + (1+i) (1+i) n 1 )= D(0) C(1)((1+i) n 1)/ i = D(0) Da questa relazione segue subito che la quota capitale iniziale è pari al debito iniziale (ossia alla somma prestata) diviso per il montante di una rendita unitaria posticipata allo stesso tasso annuo del prestito. 5 di 16

6 3.1. Rendita equa Diremo che la rendita è equa se il valore attuale delle rate è pari al capitale prestato (o, equivalentemente, al debito iniziale). Nel caso di una rendita (equa) a rate costanti, si ha quindi: (v + v 2 +,,+ v n )R=D(0). Ricordando che: v + v 2 +,,+ v n =(1 (1+ i) n )/i, si ricava che: R=D(0)i/(1 (1+ i) n ). Quindi la rata di una rendita posticipata periodica equa con rate costanti annuali, al tasso (annuo) i, è pari al debito iniziale diviso il valore attuale di una rendita unitaria posticipata di egual durata. Adesso stabiliamo una relazione tra la rata e le quote capitali. Le due relazioni D(0)= R(1 (1+ i) n )/i e hanno come conseguenza che: D(0)= C(1)((1+i) n 1)/i C(1)((1+i) n 1)/i =R(1 (1+ i) n )/i Teniamo ora presente che: 1 (1+ i) n = (1+ i) n ((1+i) n 1), per cui si ha e quindi: C(1) =R/(1+ i) n 6 di 16

7 C(2) =R/(1+ i) n 1 C(k) =R/(1+ i) n k+1... C(n) =R/(1+ i) 7 di 16

8 4 Piano di ammortamento a rate annue costanti posticipate In conclusione, il piano di ammortamento è il seguente Quota capitale Debito Interesse C(0) = 0 D(0) = S I(0) = 0 C(1) =R/(1+ i) n D(1) =D(0)m R I(1) = id(0) C(2) =R/(1+ i) n D(2) =D(1)m R... I(2) = id(1) C(k) =R/(1+ i) n k+1...d(k) = D(k 1)m R...I(k) = id(k 1)... C(n) =R/(1+ i)...d(n) =0... I(n) = id(n 1) Ad esempio, consideriamo un prestito pari a 1000 euro da ammortizzare con un piano a rate annue costanti posticipate al tasso annuo del 5% in 7 anni. Il piano di ammortamento è il seguente: tasso di interesse 0,05 fattore di sconto 0,9524 capitale 1000 durata 7 Rata = 172,8198 quota capitale debito interesse data 0, ,0000 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,5903 0,0000 8, In particolare, osserviamo che la rata è pari a: 1000/(( )/0.05) = di 16

9 La prima quota capitale è data da 1000/(( )/0.05) = oppure da / = L'ultima quota capitale è data da / 1.05= Adesso, diamo una formula per calcolare direttamente il debito. Essa è: D(k) = C(k+1) + C(k+2) + + C(n) = R (v n k + v v) = R (1 v n-k )/i Per esercizio, questa relazione può anche ricavarsi dalla relazione ricorrente del debito: D(2) =D(1)m R = m(d(0)m R) R= D(0)m 2 R Rm D(3) =D(2)m R = m(d(0)m 2 R Rm) R= D(0)m 3 R Rm Rm 2 D(k) =D(k 1)m R = m(d(0)m k 1 R Rm Rm k 2 ) R= D(0)m k R Rm Rm k 1 Si ha quindi: D(k) = R/((1 (1+ i) n )/i)m k R Rm Rm k 1 = R (v n v 2 +v) m k R(m k m+1) = =R (v n k v 2 +v+1 +m +m m k 1 ) R(m k 1 + +m 2 + m+1) = R (v n k +...+v 2 +v)= = C(k+1) + C(k+2) + + C(n). Si noti ora che I(k) = id(k 1) = ir(1 v n k+1 )/i = R(1 v n k+1 ) Il piano di ammortamento, perciò, si può anche scrivere nel modo seguente: Quota capitale Debito Interesse C(0) = 0 D(0) = S I(0) = 0 9 di 16

10 C(1) =R/(1+ i) n D(1) = R(1 v n 1 )/i I(1) =R(1 v n ) C(2) =R/(1+ i) n D(2) = R(1 v n 2 )/i I(2) =R(1 v n 1 ) C(k) =R/(1+ i) n k d(k) = R(1 v n k )/i......i(k) = R(1 v n k+1 )... C(n) =R/(1+ i)...d(n) = R(1 v n n )/i =0... I(n) = R(1 v) Adesso supponiamo di voler ammortizzare un prestito con n rate costanti posticipate ad un determinato tasso annuo, ma frazionate in k rate all'anno. In tal caso basta individuare il tasso periodale (relativo ad 1/k-esimo di anno) i 1/k ; esso è tale che i 1/k =(1 + i) 1/k 1. Successivamente si procede come se l'ammortamento avesse nk scadenze. Ad esempio, supponiamo di voler ammortizzare un prestito di euro in tre anni (n = 3) con un piano a rate costanti semestrali (k = 2) al tasso annuo del 5%. Si ha: Il piano è il seguente: i 1/2 =( ) 1/2 1 = tasso di interesse 0,0247 fattore di sconto 0,9759 capitale durata 6 Rata = 1813,6786 quota capitale debito interesse semestri 0, ,0000 0, , , , , , , , , , , , , , , , ,9606 0, , di 16

11 ESEMPIO 1. Un prestito è ammortizzato in 10 anni mediante un piano di ammortamento con rate costanti posticipate al tasso annuo del 3%. Dopo 5 anni il debito è pari a 5000 euro. Calcolare la rata, il debito iniziale e redigere il relativo piano di ammortamento. Si ha D(5) = R(1 v 10 5 )/i = 5000 e quindi R = 5000i /(1 v 10 5 ) = Il debito iniziale (ossia il capitale prestato) è quindi D(0) = R(1 v 10 )/i = Il piano di ammortamento è, dunque, il seguente: tasso di interesse 0,03 fattore di sconto 0,9709 capitale 9313,045 durata 10 Rata = 1091,7730 quota capitale debito interesse data 0, ,0450 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9738 0, , di 16

12 5 Problemi inversi Spesso, nel redigere un piano di ammortamento, dobbiamo imporre che le rate (o le altre variabili) rispettino determinate condizioni. Ad esempio, supponiamo di voler determinare il numero minimo di annualità in maniera che la rata non superi una certa cifra R*. Se S è la somma prestata, la condizione da imporre è (ricordiamo che la rata è pari a Si/(1 v n )): R* > Si/(1 v n ) R* R*v n > Si R*v n > Si R* v n < (R* Si)/R* nlogv < log((r* Si)/R*) n > log((r* Si)/R*)/logv. Ad esempio se i = 6%, S = euro e R* = 2000 euro, si ha: n = log(( )/2000)/log(1/1.06) = Quindi, se n = 6 il piano di ammortamento è il seguente: tasso di interesse 0,06 fattore di sconto 0,9434 capitale durata 6 Rata = 2033,6263 quota capitale debito interesse data 0, ,0000 0, , , , , , , , , , , , , , , , ,5154 0, , Invece, se n = 7, il piano di ammortamento è il seguente: 12 di 16

13 tasso di interesse 0,06 fattore di sconto 0,9434 capitale durata 7 Rata = 1791,3502 quota capitale debito interesse data 0, ,0000 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,9530 0, , ESEMPIO 1. Si vuole ammortizzare il prestito di una somma con un ammortamento a rate annue R costanti; supponiamo di voler determinare il numero massimo di anni in maniera che la prima quota interessi (che è anche quella massima) non superi una certa cifra I*. Si ha: R(1 v n ) < I* v n < I*/R 1 v n >1 I*/R n log(v)>log(1 I*/R) n <log(1 I*/R)/log(v) n <log(1 I*/R)/log(1/(1+i)) Ad esempio, se i = 6%, I* = 500 euro e R* = 2000 euro, si ha log(1 500/2000)/log(1/1.06) = di 16

14 Se n = 4 il piano è il seguente: S = 2000(1 v n )/i = tasso di interesse 0,06 fattore di sconto 0,9434 capitale 6930,211 durata 4 Rata = 1999,9999 quota capitale debito interesse data 0, ,2110 0, , , , , , , , , , ,7924 0, , Si evidenzia che quota interessi relativa alla prima rata, essendo 415,8127 euro, è inferiore a 500 euro, in accordo con la disequazione. Se, invece, n = 5 il piano è il seguente S = 2000 (1 v n )/i = tasso di interesse 0,06 fattore di sconto 0,9434 capitale 8424,728 durata 5 Rata = 2000,0001 quota capitale debito interesse data 0, ,7280 0, , , , , , , , , , , , , ,7925 0, , Si evidenzia che quota interessi relativa alla prima rata, essendo 505,4837 euro, è superiore a 500 euro, così come predetto dalla disequazione. Osserviamo come, in quest'esempio, la somma prestata dipenda dalle altre variabili (rata, interesse, durata) e non possa essere determinata a priori. ESEMPIO 2. Si vuole ammortizzare il prestito di una somma con un ammortamento di n rate annue costanti pari a R; supponiamo di voler determinare il massimo tasso annuo in maniera 14 di 16

15 che la prima quota interessi non superi una certa cifra I*. Si ha: R(1 v n ) < I* v n < I*/R 1 v n >1 I*/R n log(v)<log(1 I*/R) log(v)<log(1 I*/R)/n v < (1 I*/R) 1/n 1/(1+ i)< (1 I*/R) 1/n 1+ i <1/(1 I*/R) 1/n i <1/(1 I*/R) 1/n 1 Ad esempio, se n = 5, I* = 500 e R* = 2000, si ha 1/(1 500/2000) 1/5 1 = Infatti, se i = , la somma prestata è pari a: 2000 (1 v n )/i = L'ammortamento è il seguente: tasso di interesse 0,05921 fattore di sconto 0,9441 capitale 8442,864 durata 5 Rata = 1999,9999 quota capitale debito interesse data 0, ,8640 0, , , , , , , , , , , , , ,1996 0, , di 16

16 Si noti che la prima rata ha una quota interesse di poco inferiore a 500 euro. Se, invece, i = , la somma prestata è pari a: 2000 (1 v n )/i = L'ammortamento è il seguente: tasso di interesse 0,05923 fattore di sconto 0,9441 capitale 8442,404 durata 5 Rata = 1999,9999 quota capitale debito interesse data 0, ,4040 0, , , , , , , , , , , , , ,1640 0, , Si noti che la prima rata ha una quota interesse di poco superiore a 500 euro. Osserviamo come, anche in quest'esempio, la somma prestata dipenda dalle altre variabili (rata, interesse, durata) e non possa essere determinata a priori. 16 di 16