AMMORTAMENTI A RATE ANTICIPATE

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1 Aortaenti a rate anticipate AMMORTAMENTI A RATE ANTICIPATE Sia l operazione regolata secondo la legge della capitalizzazione coposta con tasso di interesse periodalei coerente con la periodicità di pagaento delle rate. + S R 0 R1 R con x { S R R R R }/{ 012 1} / t = R = C + I = 01 1 rate d aortaento C = 01 1 quote capitale tali che C S I quota interesse aturata in [ +1] L operazione deve soddisfare la condizione di equità: 1 = 0 = è pagata in = ( 0 ) = 0 S R (1 i) = 0 W x Se I 0 > 0 e 0 = 0 + = 0 C si ha l aortaento con anticipazione degli interessi. 22

2 Aortaenti a rate anticipate Restituzione del capitale in unica soluzione e pagaento periodico degli interessi anticipati Consideriao il caso: C C = = 0 C = S 0 = 1 C 1 = in cui si ha la restituzione del capitale in unica soluzione a scadenza. Si ha quindi I R 1 = i S ( 1+ i) = d S = 0 1; = d S = 0 1; R = S L operazione finanziaria è equa. { S d S d S d S S} /{ } x / t = Osservazione: interpretazione finanziaria per la forula 1 a i = 1 d a i (1 + ) = 0 d i può essere interpretata coe condizione di equità per l operazione finanziaria { 1d d d d 1} /{ } 23

3 Aortaenti a rate anticipate Consideriao il problea dell estinzione anticipata del prestito in con = 1 1. Qual è la soa D da pagare in pria di pagare la rata esigibile in per chiudere l operazione antenendo la condizione di equità? Sia / s = { S d S d S d S d S D }/{ } y l operazione finanziaria che descrive l estinzione anticipata. W ( y ) = 0 S(1 + i) ( d S) s D = 0 D = S i Si definisce D =S +1 = 0 D D debito residuo in pria del pagaento della rata R = 0 = 0 24

4 Aortaenti a rate anticipate Osservazione Consideriao il problea dell estinzione anticipata del prestito in t con 1 < t <. Qual è la soa X da pagare in t per chiudere l operazione antenendo la condizione di equità? Sia { S d S d S d S d S X} /{ t} y / s = l operazione finanziaria che descrive l estinzione anticipata. W t t + 1 ( t y) = 0 S(1 + i) ( d S) s X = 0 X = M ( x) Quindi il debito residuo coincide con il ontante. i t Si noti che X ( t) = S(1 + i). Se t = l estinzione avviene pria del pagaento della quota interesse in e si ha S X = M x. Infatti per definizione la valutazione del ontante X = a non si ha più ( ) in è fatta dopo e non pria del pagaento della quota interesse esigibile in. 25

5 Aortaenti a rate anticipate Aortaento progressivo a rate anticipate con x { S R R R R }/{ 012 1} / t = R = C + I = 01 1 rate d aortaento C = 01 1 quote capitale tali che C S I quota interesse aturata in [ +1] L operazione deve soddisfare la condizione di equità: Si definisce 1 ( 0 ) = 0 S R (1 i) = 0 W x + = 0 1 = 0 = e pagata in = 01 1 D debito residuo in pria del pagaento della rata R = D = S C = C = 1 1 D =S h= 0 D h 0 = 0 La quota interessi = dd + 1 h= h I atura nell intervallo [ +1] I = 01 1 sul debito residuo +1 D 26

6 Aortaenti a rate anticipate Consideriao il problea dell estinzione anticipata del prestito in con = 1 1. Qual è la soa X da pagare in pria di aver pagato la rata R per chiudere l operazione antenendo la condizione di equità? Sia s = { S R R R R X} /{ } y l operazione finanziaria che / descrive l estinzione anticipata. W 1 2 ( y ) 0 ( S R ) R R R X 0 = = X = 1 2 ( S 1 R0 ) R1 R2 R Per antenere il legae tra debito residuo e ontante anche negli aortaenti a rate anticipate è necessario odificare la definizione di ontante. Si definisce ontante in dell operazione di aortaento pagaento della rata R esigibile in M ( ) 1 2 = i x / t valutato pria del x ( S R ) R R R (1 + ) = 1 ( 0 x) S M = Quindi il ontante è la soa da pagare per estinguere anticipataente il prestito. Se < t < + 1 M ( t x ) = M ( t x) è la soa da pagare in t per estinguere il prestito. 27

7 Aortaenti a rate anticipate Proviao che il debito residuo coincide con il ontante M È inoltre ( x) = S C0 C1 C 1 D = i = ( S R ) R1 R2 R 1(1 + ( ) M 0 x = S = D0 Lea: relazione ricorrente per il ontante Si ha Proviao che ( + x ) = M ( x) ( R )(1 ) M 1 + i ( ) S C C C = D M = Si diostra per induzione. x = 1 ) = 1 28

8 Aortaenti a rate anticipate 0 1 C 1 D = Base: M ( x) = S C C = 0 Passo induttivo: se M ( + 1 x ) = S C0 C = D + 1 allora M ( x) = S C0 C 1 = D Dalla relazione ricorrente per il ontante e sfruttando l ipotesi induttiva si ha Poiché si ha 1 ( x ) = D R = D + 1v + C I M + D + 1 v + C + dd + 1 = D + 1 v + C + ivd + 1 = D + 1 = D + C + 1 = S C0 C1 C ( x) S C C C + C = S C C C = D M = È così provato il passo induttivo. 29

9 Aortaenti a rate anticipate Riassuendo con D = dd + 1 I = = S C0 C1 C 1 = 01 1 e D 0 = S Inoltre Essendo M Posto V Essendo si ha ( x) D ( x) = M = i = ( S R ) R1 R2 R 1(1 + ( 0 x) S M = W ( x) 1 2 ( 1 ) + 1 R + 2(1 + i) R1(1 + i) = R R ( x ) = M ( x) + V ( x) e W ( x) = 0 D ( x ) = V ( x) = M = 0 ) = 1 30

10 Aortaenti a rate anticipate Verifica della condizione di equità Siano C = 01 1 quote capitale tali che C S essendo I = 01 1 quote interesse con 1 1 D = S C = C = 1 1 D =S h= 0 D h 0 = 0 h= h 1 = = 0 I = dd + 1 il debito residuo in pria del pagaento della rata R = 01 1 Risultano così assegnate le rate d aortaento R = C + I = 01 1 Proviao che l operazione x { S R R R R }/{ 012 1} / t = soddisfa la condizione di equità: W ( 0 x ) = 0 S R (1 i) = 0 + = 0 31

11 Aortaenti a rate anticipate Dalla relazione ricorrente per il ontante si ha quindi ( + x ) = M ( x) ( R )(1 ) M 1 + i R R 1 1 ( x ) M ( + 1 x) = D D (1 + ) + 1 = M i = Soando si ottiene D D ( + 1) R ( 1+ i) = D D 1(1 + i) = D0 D = D0 = = 0 = 0 = 0 + ( + 1) S È così provata la condizione di equità. Esepio: Aortaento di un prestito di euro al tasso annuo del 45% con 4 rate annue anticipate e quote capitali pari rispettivaente a e euro. 32

12 Aortaenti a rate anticipate Aortaento con anticipazione degli interessi con R 0 = I0 R = C + I = 1 1 Esepio: C 0 = 0 x { S R R R R }/{ 012 1} / t = = 1 C = 01 1 tali che C S Aortaento di un prestito di euro al tasso annuo del 45% con 4 rate annue con anticipazione degli interessi e quote capitali pari rispettivaente a e euro. Esepio (aortaento tedesco): Aortaento di un prestito di euro al tasso annuo del 45% con 4 rate annue con anticipazione degli interessi e quote capitali costanti posticipate. = 33