Lezione del 6 dicembre Corso A Esercizi di matematica finanziaria.

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1 Lezione del 6 dicembre Corso A Esercizi di matematica finanziaria. Esercizi sulle rendite Esercizio Dobbiamo costituire un capitale di 5000 euro mediante 24 versamenti mensili anticipati, dello stesso importo, al tasso nominale annuo convertibile semestralmente j2=8%. a) Calcolare la rata. b) Contestualmente alla rata decima rata, si versano ulteriori 300 euro e si decide di costituire un capitale pari a 6000 euro. Determinare l'importo dell'undicesima rata. Risoluzione a) 5000 sono finanziariamente equivalenti al montante della rendita costituita dai versamenti effettuati. Calcolo il tasso applicato: determino prima il tasso effettivo semestrale associato a j2. i2:=0.08/2; i (..) Determino il tasso mensile equivalente al tasso semetrale effettivo i2 i2:=(+i2)^(/6)-; i Determino la rata. La formula a cui facciamo riferimento è (..2) M:=R*((+i[2])^n-)/i[2]*(+i[2]); n i 2 i 2 M i 2 (..3) da cui ricaviamo R:=5000*i2/((+i2)*((+i2)^24-)); R R*24; b) Dobbiamo tener conto del fatto che il capitale finale è passato a 6000 euro e che sono stati versati ulteriori 300 euro insieme alla 9 rata. Si ottiene: 0 R i = i i i 2 2 R new i 2 4 i 2 i 2 (..4) (..5) Risolvendo rispetto ad Rnew si ha: rata_nuova:=solve(6000=r*(+i2)^5*((+i2)^0-)/i2+300*(+ i2)^5+rnew*(+i2)*((+i2)^(4)-)/i2,rnew); (..6)

2 rata_nuova (..6) Esercizio 2 Dobbiamo rimborsare un prestito pari a euro mediante 20 rate semestrali costanti, posticipate al tasso annuo effettivo i=8%. a) Calcolare la rata b) Contemporaneamente al pagamento della 9 rata, versiamo 900 euro in conto capitale. La banca mi comunica che il tasso è variato al 5% effettivo semestrale. Inoltre decidiamo di non versare le 0, e 2 rata. Determinare l'importo della rate successive alla dodicesima. Troviamo il tasso semestrale equivalente a i=8%. i2:=(.08)^(/2)-; i (.2.) R:=23000*i2/(-(+i2)^(-20)); R i2 i2 9 i2 Rnew Risolvendo rispetto a Rnew si ha: nuova_rata:=solve(23000=r*(-(+i2)^(-9))/i2+900/(+i2)^9+( = R i2 9 i2)^(-9)*(+0.05)^(-3)*rnew*(-(+0.05)^(-8))/0.05,rnew); nuova_rata (.2.2) (.2.3) Esercizi su TIR e REA - TAN e TAEG Esercizio 3. Dal compito del 2 giugno 207 Dati due progetti finanziari. A:=Matrix([[-00,80,33],[0,,2]]); A B:=Matrix([[-00,X,40],[0,,2]]); 00 X 40 B Determinare X in modo che i due progetti abbiamo lo stesso TIR. Determiniamo il TIR di A. A:=Matrix([[-00,80,33],[0,,2]]) A (2..) (2..2) (2..3)

3 equa:=a[,]+a[,2]/(+i)+a[,3]/(+i)^2; equa 00 i i 2 Tir:=fsolve(equa) Tir Consideriamo adesso il progetto B. B:=Matrix([[-00,X,40],[0,,2]]) 00 X 40 B (2..4) (2..5) (2..6) Il REA di B è dato da: X 40 REA_B = 00 i i 2 e 00 Dalla condizione TIR A = TIR B si ha: X = 0 Da cui si ricava X=73.64 X i 40 i 2 = 0 Esercizio 4. Dal compito del di luglio 207 Una agenzia finanziaria che effettua prestiti propone al sig. Rossi un finanziamento di entità D da estinguersi con 8 rate annue costanti immediate posticipate di 5000 euro. A questa operazione di finanziamento vengono applicate delle spese fisse iniziali obbligatorie di entità S, mentre non sono previste spese accessorie obbligatorie al pagamento delle rate. Sapendo che il finanziamento ha TAN=2\% e TAEG=7,5\% calcolare D ed S. Ricordando che il TAN è il TIR che annulla il valore attuale dell'operazione che prevede la restituzione del capitale ed il pagamento degli interessi, si ha: Progetto_TAN:=Matrix([[D, , ,a,a,a, ],[0,,2,a,a,a,8]]); D Progetto_TAN (2.2.) Da cui si ricava: Di:= *(-(.02)^(-8))/0.02; Di (2.2.2) Ricordando che il TAEG è il TIR che annulla il valore attuale dell'operazione che prevede la restituzione del capitale, il pagamento degli interessi e degli oneri accessori, si ha: Progetto_TAEG:=Matrix([[D-S, , ,a,a,a, ], [0,,2,a,a,a,8]]); D S Progetto_TAEG (2.2.3) Il REA del progetto è dato da:

4 i REA = S ; i Il TAEG è il tasso che rende nullo il REA e quindi: Spese:=37000-( *(-(+0.03)^(-8)))/(0.03); Spese (2.2.4) Esecizio 6. Dal compito del 8 Febbraio 207 Per l'acquisto di uno smartwatch del valore di 449,26 euro, ci viene proposto un finanziamento di pari importo, da rimborsare mediante 2 rate annue costanti, posticipate. a) Sapendo che il TAN applicato è pari a i=\%, calcolare l'importo della rata del finanziamento. b) Vengono richieste: - spese di istruttoria e spese legali pari a 30 euro da pagare immediatamente;\\ - spese di incasso rata pari a,5 euro. Calcolare il TAEG dell'operazione.. a) Poiché le rate sono annuali, il TAN coincide con il tasso applicato per il calcolo degli interessi. b) IL TAEG è il TIR che annulla il valore attuale della seguente operazione finanziaria Operazione:=Matrix([[ , , ],[0,,2]]); Operazione (2.3.2) Rata:=449.26*0.0/(-(.0)^(-2)); Rata REA:= /(+i)-229.5/(+i)^2; REA i i 2 Risolvendo l'equazione REA=0 si ottiene solve(rea=0,i); , Da cui si ricava TAEG= Esercizio 7. Dal compito del 4 luglio 20 (2.3.) (2.3.3) (2.3.4) Per l'acquisto di un viaggio alle isole Figi del valore di 5800 euro, ci viene proposto un finanziamento di pari importo, da rimborsare mediante 36 rate costanti, posticipate mensili. a) Sapendo che il TAN applicato è pari a j 2 =3% calcolare l'importo della rata del finanziamento. b) Vengono richieste: - spese di istruttoria e spese legali pari a 80 euro da pagare immediatamente; - spese di incasso rata pari a,5 euro. Verificare che il TAEG dell'operazione è pari a: 4,605679%. restart: i2:=0.03/2; i rata:=5800*i2/(-(+i2)^(-36)); rata (2.4.) (2.4.2)

5 Il TAEG è il tasso annuo effettivo equivalente al tasso mensile (TIR mensile) che annulla il valore attuale dell'operazione finanziaria costituita dai seguenti flussi di cassa Progetto_C:=Matrix(2,7,[[0,,2,a,a,a,48],[ ,- (rata+.5),-(rata+.5),a,a,a,-(rata+.5)]]): a := `..`: Progetto_C; (2.4.3) Imposto il REA REA:=5720-(rata+.5)*(-(+i_m)^(-36))/i_m; i_m 36 REA 5720 i_m Calcolo il tasso mensile equivalente al TAEG che costituisce il TIR tir_mensile:=( )^(/2)-; tir_mensile (2.4.4) (2.4.5) Se il TAEG è pari al 4,605679%, allora il tir_mensile è il tasso che annulla il REA. Infatti REA_calcolato:=subs(i_m=tir_mensile,REA); REA_calcolato (2.4.6)