Lezione del 9 dicembre Problemi di scelta tra operazioni finanziarie CRITERIO DEL R.E.A. E DEL T.I.R.

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1 Lezione del 9 dicembre 2013 Problemi di scelta tra operazioni finanziarie Riferimenti bibliografici: S. Stefani, A. Torriero, G. Zambruno. Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di Programmazione lineare, Giappichelli Editore Capitolo 4. Paragrafi 1, 2, 4,5, In alternativa E. Allevi, G. Bosi, R. Riccardi, M. Zuanon. Matematica finanziaria e attuariale. Pearson 2012 Capitolo 6. Paragrafi 1,3,5,6 Criterio del REA CRITERIO DEL R.E.A. E DEL T.I.R. R.E.A.=Rendimento economico attualizzato = valore attuale dei flussi di cassa, valutati ad un dato tasso i. restart: REA:=C[0]+C[1]*(1+i)^(-1)+C[2]*(1+i)^(-2)+C[3]*(1+i)^(-3)+C[4]* (1+i)^(-4); REA := C 0 C C 1 1 C i C C 2 C C 3 1 C i 3 C C 4 1 C i 4 Esercizio 1. Calcolare il rendimento economico attualizzato del seguente progetto, tasso i=0,03 Progetto_A:=matrix(2,5,[0,1,2,3,4,-2100,750,400,850,330]); 3 4 K REA_Progetto_A:=subs(i=0.03,C[0]=Progetto_A[2,1],C[1]=Progetto_A [2,2],C[2]=Progetto_A[2,3],C[3]=Progetto_A[2,4],C[4]=Progetto_A [2,5],REA); REA_ (1.1) Esercizio 2. Sia dato il seguente progetto finanziario: Progetto_C:=matrix(2,3,[0,1,2,-6000,+2350,X]); Progetto_C := K X (1.2)

2 Determinare X tale che, al tasso i=5% si ottiene un REA=100 REA_C:=Progetto_C[2,1]+Progetto_C[2,2]*(1+0.05)^(-1)+Progetto_C [2,3]*(1+0.05)^(-2); REA_C := K C X (1.3) valore_x:=solve(rea_c=100,x); valore_x := CRITERIO DEL REA. Dati due progetti tra loro confrontabili, A è preferito a B se il REA di A è maggiore del REA di B. Se REA di A è uguale al REA di B, i due progetti sono indifferenti. Il tasso di interesse utilizzato per il calcolo del REA deve essere lo stesso. (1.4) Esercizio 3. Dati i seguenti progetti A e B restart: Progetto_A:=matrix(2,4,[0,1,2,3,-1200,500,255,650]); 3 K (1.5) Progetto_B:=matrix(2,4,[0,1,2,3,-1200,965,350,25]); 3 Progetto_B := K stabilire quello più conveniente tra il precedente progetto A e B. Tasso del 3%. Calcoliamo il REA di entrambi i progetti. REA:=C[0]+C[1]*(1+i)^(-1)+C[2]*(1+i)^(-2)+C[3]*(1+i)^(-3); In questo caso conviene il progetto A. Se considero un tasso pari al 10%, le cose cambiano. REA_Progetto_A:=subs(i=0.10,C[0]=Progetto_A[2,1],C[1]=Progetto_A [2,2],C[2]=Progetto_A[2,3],C[3]=Progetto_A[2,4],REA); REA_ K REA := C 0 C C 1 1 C i C C 2 C C 3 1 C i 3 REA_Progetto_A:=subs(i=0.03,C[0]=Progetto_A[2,1],C[1]=Progetto_A [2,2],C[2]=Progetto_A[2,3],C[3]=Progetto_A[2,4],REA); REA_ (1.6) REA_Progetto_B:=subs(i=0.03,C[0]=Progetto_B[2,1],C[1]=Progetto_B [2,2],C[2]=Progetto_B[2,3],C[3]=Progetto_B[2,4],REA); REA_Progetto_B := REA_Progetto_B:=subs(i=0.10,C[0]=Progetto_B[2,1],C[1]=Progetto_B [2,2],C[2]=Progetto_B[2,3],C[3]=Progetto_B[2,4],REA); REA_Progetto_B := K In questo caso conviene il progetto B. La scelta del tasso è cruciale. Il progetto migliore per un determinato tasso, può risultare peggiore se utilizziamo un tasso diverso per il calcolo dei REA. Esercizio 4. Dati due progetti A e B. Determinare per quali valori di i [0,1], il progetto A è preferito a

3 B. Progetto_A:=matrix(2,4,[0,1,2,3,2100,-700,-560,-980]); K700 K560 K980 Progetto_B:=matrix(2,4,[0,1,2,3,2100,-525,-710.5, ]); 3 Progetto_B := 2100 K525 K710.5 K Differenza:=(Progetto_A[2,2]-Progetto_B[2,2])*(1+i)^(-1)+ (Progetto_A[2,3]-Progetto_B[2,3])*(1+i)^(-2)+(Progetto_A[2,4]- Progetto_B[2,4])*(1+i)^(-3); Differenza := K C i C C C i 3 Facendo il minimo comune multiplo e ponendo x=(1+i) A_B:=simplify(subs(i=x-1,Differenza)*x^3); A_B := K175. x 2 C x C 37.1 evalf(solve(a_b=0,x)); RealRange K , Di conseguenza A è preferito a B per -0.2<x<1.06 Poiché x=1+i si ha: per 0 i<0.06 il progetto A è strettamente preferito al progetto B per 0.06<i 1 il progetto B è strettamente preferito ad A. per i=0.06 A e B sono indifferenti Criterio del TIR T.I.R.=tasso interno di rendimento: tasso i appartenente all'intervallo [0,1] che annulla il valore attuale dei flussi di cassa. Determinare il T.I.R. del seguente progetto finanziario Progetto_A:=matrix(2,3,[0,1,2,3600,+3000,-8400]); K8400 REA_A:=subs(C[0]=Progetto_A[2,1],C[1]=Progetto_A[2,2],C[2]= Progetto_A[2,3],C[3]=0,REA); REA_A := 3600 C C i K 8400 TIR:=solve(REA_A=0,i); TIR := 1 6, K3 i=-3 non accettabile i=1/6=16,7%. CRITERIO DEL TIR. Dati due progetti di investimento A e B, tra loro confrontabili, se TIR di A è maggiore del TIR di B, allora A è preferito a B

4 Dati due progetti di finanziamento A e B, tra loro confrontabili, se TIR di A è minore del TIR di B, allora A è preferito a B Due progetti sono indifferenti se hanno lo stesso TIR Esercizio. Usando il criterio del TIR, stabilire il miglior progetto di finanziamento tra A e B. Progetto_A:=matrix(2,3,[0,1,2,1000,-820,-204]); 1000 K820 K204 Progetto_B:=matrix(2,3,[0,1,2,1000,-920,-122]); Progetto_B := 1000 K920 K122 REA_A:=subs(C[0]=Progetto_A[2,1],C[1]=Progetto_A[2,2],C[2]= Progetto_A[2,3],C[3]=0,REA); REA_A := 1000 K C i K 204 TIR:=evalf(solve(REA_A=0,i)); TIR := , K REA_B:=subs(C[0]=Progetto_B[2,1],C[1]=Progetto_B[2,2],C[2]= Progetto_B[2,3],C[3]=0,REA); REA_B := 1000 K C i K 122 TIR_B:=evalf(solve(REA_B=0,i)); TIR_B := , K TIR_A=2%, TIR_B=3,75%. Trattandosi di un progetto di finanziamento, il progetto A è preferito a B. Limiti del TIR. Determinare il T.I.R. dei seguenti progetti finanziari Progetto_B:=matrix(2,3,[0,1,2,1200,-2860,+1680]); Progetto_B := 1200 K REA_B:=subs(C[0]=Progetto_B[2,1],C[1]=Progetto_B[2,2],C[2]= Progetto_B[2,3],C[3]=0,REA); REA_B := 1200 K C i C 1680 TIR:=solve(REA_B=0.,i); TIR := , Entrambi i tassi rientrano nell'intervallo, quindi non esiste un unico tasso interno di rendimento. Progetto_C:=matrix(2,3,[0,1,2,600,-650,+150]); Progetto_C := 600 K REA_C:=subs(C[0]=Progetto_C[2,1],C[1]=Progetto_C[2,2],C[2]= Progetto_C[2,3],C[3]=0,REA);

5 TIR:=solve(REA_C=0,i); REA_C := 600 K C i C 150 TIR := K 1 4, K2 3 Non esiste un tasso nell'intervallo [0,1]. Non esiste T.I.R. Progetto_D:=matrix(2,3,[0,1,2,400,-500,+640]); Progetto_D := 400 K REA_D:=subs(C[0]=Progetto_D[2,1],C[1]=Progetto_D[2,2],C[2]= Progetto_D[2,3],C[3]=0,REA); REA_D := 400 K C i C 640 TIR:=solve(REA_D=0,i); TIR := K 3 8 C 3 40 I 215, K3 8 K 3 40 I 215 Non esistono soluzioni reali e quindi non esiste il TIR. Infine se il numero di flussi di cassa è superiore a 3, in generale il calcolo delle soluzioni dell'equazione REA=0 non è agevole. Dobbiamo ricorrere a metodi iterativi per la ricerca degli zeri che consentono di stimare le soluzioni dell'equazione REA=0. Esercizi su REA e TIR tratti dai compiti di esame Esercizio Dire per quale valore di X il REA dell'operazione B risulta essere il doppio del REA dell'operazione A. Usare un tasso del 3% restart: Operazione_A:=Matrix([[0,1,2],[-500,300,220]]); Operazione_B:=Matrix([[0,1,2],[-500,X,420]]); Operazione_A := K Operazione_B := K500 X 420 (3.1.1) Calcolo il REA dell'operazione A REA_A:= *(1+0.03)^(-1)+220*(1+0.03)^(-2); REA_A := K (3.1.2) Calcolo il REA_B

6 REA_B := K500 C X 1 C 0.03 K1 C C 0.03 K2 Determino X sapendo che il REA di B è il doppio del REA di A Valore_X:=solve(REA_B=2*REA_A,X); Esercizi su TAN e TAEG Esercizio. 1 Calcolo del TAN e TAEG Riceviamo un finanziamento di importo pari a 7500 da estinguere in 2 rate annue al tasso annuo effettivo del 5,2%. Vengono rilevate spese di istruttoria per 100 e spese di incasso rata pari a 1,5. Calcolare TAN e TAEG. Il TAN è pari al tasso di interesse praticato ovvero 5,2%. TAEG: è il costo totale del credito a carico del consumatore espresso in percentuale annua del credito concesso. Il T.A.E.G. comprende gli interessi e tutti gli oneri da sostenere per utilizzare il credito (art. 122 TUB). In altre parole il TAEG è il tasso che annulla il valore attuale dei flussi di cassa che comprendono la quota capitale, la quota interessi e tutte le altre spese sostenute. Nota bene: Sia il TAN che il TAEG sono due TIR. Si differenziano l'uno dall'altro per il tipo di flussi di cassa che prendono in considerazione. Calcoliamo la rata che dobbiamo pagare per estinguere il debito in 2 anni al tasso del 5,2% i:=0.052; i := (4.1) 7500 i rata := 1 K 1 C i K2 Alla scadenza 0, riceviamo 7500 euro meno i 100 euro relativi alle spese di istruttoria, ovvero abbiamo un flusso di cassa positivo pari a 7400 euro. Alle scadenze 1 e 2 paghiamo la rata e le spese di incasso ovvero abbiamo un flusso di cassa negativo pari a 4044, 97+1,5. Di conseguenza, il TAEG è il tasso interno di rendimento (T.I.R.) della seguente operazione finanziaria Progetto_C:=matrix(2,3,[0,1,2, ,-( ),- ( )]); Progetto_C := (4.2) 7400 K K In altre parole il TAEG è il tasso che annulla il valore attuale dei flussi di cassa del progetto C C C 1.5 REA := 7500 K 100 K K 1 C taeg 1 C taeg 2 : soluzioni_rea_0:=solve(rea=0,taeg); Il TAEG del progetto è pari a 6,18%5,2%. Il famoso tasso zero. Voglio acquistare un notebook al prezzo di Ho la possibilità di pagare il bene in 12 rate mensili da 105: il rivenditore espone un T.A.N. dello 0,00%. Spese di istruttoria: 50,00; spese

7 incasso rata e comunicazioni: 2/rata. Calcoliamo il TAEG Flussi_di_cassa_operazione_per_TAEG:=Matrix([[0,1,2,a,12],[ ,-(Rata+2),-(Rata+2),a,-(Rata+2)]]): a := `..`: Flussi_di_cassa_operazione_per_TAEG;.. 12 (4.3) 1150 KRata K 2 KRata K 2.. KRata K 2 Rata:=1260/12; Rata := 105 restart: REA:=( )-(105+2)*(1-(1+i[12])^(-12))/i[12]; K 12 1 C i 12 REA := 1210 K i 12 (4.4) (4.5) evalf(solve(rea=0,i[12])): Risolvendo l'equazione si ha: i12=0, Il TAEG è il tasso annuo effettivo equivalente a al tasso mensile che annulla il valore attuale dei flussi di cassa. i:=( )^(12)-1; i := (4.6) TAEG i=11,68%!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Esercizi su TAN e TAEG tratti dai compiti di esame Esercizio 6 del 14/07/2011 Per l'acquisto di un viaggio alle isole Figi del valore di 5800 euro, ci viene proposto un finanziamento di pari importo, da rimborsare mediante 36 rate costanti, posticipate mensili. a) Sapendo che il TAN applicato è pari a j 12 =3% calcolare l'importo della rata del finanziamento. b) Vengono richieste: - spese di istruttoria e spese legali pari a 80 euro da pagare immediatamente; - spese di incasso rata pari a 1,5 euro. Verificare che il TAEG dell'operazione è pari a: 4, %. i12:=0.03/12; i12 := rata:=5800*i12/(1-(1+i12)^(-36)); rata := (5.1.1) (5.1.2) Il TAEG è il tasso annuo effettivo equivalente al tasso mensile (TIR mensile) che annulla il valore attuale dell'operazione finanziaria costituita dai seguenti flussi di cassa Progetto_C:=Matrix(2,7,[[0,1,2,a,a,a,48],[ ,- (5.1.3)

8 (rata+1.5),-(rata+1.5),a,a,a,-(rata+1.5)]]): a := `..`: Progetto_C; K K K (5.1.3) Imposto il REA REA:=5720-(rata+1.5)*(1-(1+i)^(-36))/i; REA := Calcolo il tasso mensile equivalente al TAEG che costituisce il TIR tir_mensile:=( )^(1/12)-1; tir_mensile := (5.1.4) (5.1.5) Se il TAEG è pari al 4, %, allora il tir_mensile è il tasso che annulla il REA. Infatti REA_calcolato:=subs(i=tir_mensile,REA); REA_calcolato := (5.1.6) Esercizio 5 del 5/09/2012 Per l acquisto di uno scooter del prezzo di euro vengono proposti i due seguenti finanziamenti: a) 1700 euro al momento dell acquisto, più due rate annuali immediate posticipate di 1260 euro, senza alcuna spesa iniziale di istruzione della pratica di finanziamento e senza alcuna spesa obbligatoria al pagamento delle rate; b) 1000 euro al momento dell acquisto, più due rate annuali immediate posticipate di 1600 euro, con 100 euro di spese iniziali di istruzione della pratica di finanziamento e 20 euro di spese obbligatorie al pagamento delle rate. Calcolare il TAN ed il TAEG delle due proposte di finanziamento e dire quale è la più conveniente, motivando opportunamente la risposta. Svolgimento I flussi di cassa relativa all'alternativa a sono i seguenti restart: alternativa_a:=matrix([[0,1,2],[ ,-1260,-1260]]): alternativa_a; 2300 K1260 K1260 (5.2.1) In questo caso il TAN ed il TAEG sono uguali e pari al TIR dell'operazione finanziaria indicata sopra. Di conseguenza REA_a:= /(1+i)-1260/(1+i)^2; REA_a := 2300 K 1260 (5.2.2) 1 C i K 1260 Risolvendo l'equazione REA=0 si ha che il TAN ed il TAEG sono pari a TAN_TAEG:=solve(REA_a=0,i); evalf(tan_taeg[1]); TAN_TAEG := K C , K K (5.2.3)

9 I flussi di cassa relativi all'alternativa b) per il calcolo del TAN sono alternativa_b:=matrix([[0,1,2],[3000,-1600,-1600]]): alternativa_b; 3000 K1600 K1600 Il TAN è il tir dell'operazione finanziaria indicata sopra. Calcolo il REA REA_b_TAN:= /(1+i)-1600/(1+i)^2; REA_b_TAN := 3000 K C i K 1600 Risolvendo l'equazione REA=0 si ha che il TAN è pari a TAN_TAEG:=solve(REA_b_TAN=0,i); evalf(tan_taeg[1]); TAN_TAEG := K C 2 34, K K Il TAEG ed il TAN dell'alternativa a) sono pari al 4,44% I flussi di cassa relativi all'alternativa b) per il calcolo del TAEG sono alternativa_b:=matrix([[0,1,2],[2900,-1620,-1620]]): alternativa_b; 2900 K1620 K1620 Il TAN è il tir dell'operazione finanziaria indicata sopra. Calcolo il REA REA_b_TAEG:= /(1+i)-1620/(1+i)^2; REA_b_TAEG := 2900 K C i K 1620 Risolvendo l'equazione REA=0 si ha che il TAN è pari a TAN_TAEG:=solve(REA_b_TAEG=0,i): evalf(tan_taeg[1]); (5.2.4) (5.2.5) (5.2.6) (5.2.7) (5.2.8) (5.2.9) Il TAEG dell'alternativa b) è pari al 7,72%. Conviene l'alternativa a).