ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2018/ Esercizi 2

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1 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA DIPATIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE AA 018/019 1 Esercizi endimento di un BOT Esercizio 1 Supponendo di acquistare un BOT di durata 18 mesi e valore nominale pari a 100e determinare: a) il rendimento nel regime semplice), sapendo che l investimento iniziale è 1000e; b) il rendimento netto nel caso che dobbiate pagare subito un aliquota fiscale del 10% sul plusvalore tra nominale e prezzo di acquisto; c) il rendimento netto nel caso che, oltre alla tassa cui ci riferisce nel punto precedente, in seguito a mutamento della normativa fiscale, all epoca finale il valore nominale incassato sia ulteriormente sottoposto ad aliquota del 5% Soluzione a) Denotando l investimento iniziale con A e il valore nominale corrisposto alla fine con N, si ha che: N = A ) r da cui ricava r = 3 N A A = 3 dunque r = 13, 33% b) L equazione base da cui ricavare r è ora N = A + 0, 1N A)) 0, r ), perché, a causa dell aliquota pagata al momento dell acquisto, non investiamo più A, ma A + 10%N A), dove N A rappresenta il plusvalore originario Allora, abbiamo che N = A + 0, 1N A)) r ) = 0, 9 A + 0, 1N) r ) 1

2 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA da cui ricava: r = 3 0, 9 N A) 0, 9 A + 0, 1 N = 3 0, , dunque r = 11, 76% c) L equazione base da cui ricavare r è ora N 0, 05 N = A + 0, 10, 95 N A)) r ), dove l unica differenza rispetto a prima è che, a scadenza di contratto, non incassiamo più il nominale N, ma il nominale decurtato di un 5% Allora, abbiamo che 0, 95 N = A + 0, 10, 95 N A)) r ) = 0, 9 A + 0, 095N) r ) da cui ricava: r = 3 dunque r = 8, 8% 0, 855 N 0, 9 A 0, 9 A + 0, 095 N = , Esercizio A quale prezzo minimo deve essere venduto un BOT a metá scadenza, per essere sicuri di ottenere un rendimento almeno pari a quello che si avrebbe avuto se si fosse portato a scadenza il titolo, supponendo come dati il prezzo di acquisto iniziale e il nominale? Soluzione Il rendimento r di un titolo a zero-coupon come il BOT, acquistato all epoca t 0 = 0 al prezzo A e portato a scadenza T, di nominale N, é dato da r = N A AT Se vendessimo il titolo a metá scadenza, ossia a t = T/, ad un prezzo V T/, avremmo, secondo il regime semplice: T V T/ = A 1 + r 0 ove abbiamo indicato con r 0 il rendimento in caso di vendita Il problema chiede per quali V T/ si abbia che r 0 r, ossia, ricavando r 0 dalla precedente formula, VT/ A AT Con un pó demplice algebra, si giunge a V T/ N A ossia il prezzo minimo richiesto é N A + A ), N A AT + A,

3 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA 3 endite nel regime composto Esercizio 3 Se prendete in affitto un appartamento con contratto di 4 anni e se il canone mensile, pagato all inizio di ogni mese, è di 400e, determinare il valore attuale) A del contratto d affitto complessivo, sapendo che il tasso annuo di riferimento, a regime composto, è i = 5% Se voleste pagare i canoni mensili alla fine di ogni mese, determinare il canone mensile equivalente, tenendo come riferimento del valore attuale quello trovato nel primo caso Soluzione Si può vedere tale flusso di pagamenti come una rendita, ovviamente per il vostro padrone di casa, periodica, costante e anticipata di 48 termini Quindi, il valore attuale complessivo è dato da A = ä 48 im = a 48 i 1 + i m ) = i m) 48 Tenendo conto del fatto che il tasso mensile è pari a i m = i 1, i m 1 + i m ) si ha che A = i) i i, e, inserendo i dati, si ottiene A = 17478, 10e Nel secondo caso, il flusso di pagamenti può vedere come una rendita sempre per il vostro padrone di casa) periodica, a rata costante mensile, posticipata e costituita da 48 termini, quindi basta usare la formula classica, sempre con il tasso mensile: A = i m) 48 i m, da cui, con la conversione del tasso data sopra, si trova = A i i) 4 = 401, 64e Esercizio 4 Un debito di 4800e è rimborsato in rate costanti corrisposte rispettivamente dopo uno e tre anni Determinare la rata, nel regime composto, supponendo che i tassiano i 1 = 10% nel primo anno e i = i 3 = 8% nel secondo e nel terzo anno Soluzione Poiché siamo nel regime composto a tassi variabili, abbiamo che A = 1 + i 1 ) i ) ) 1 + i 1 ) 1 = i i 1 ) 1 + i )

4 4 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA da cui = A 1 + i 1) 1 + i ) 1 + i ) + 1 = 84, 78e Esercizio 5 Calcolare la rata, al tasso annuo del 6, 5%, di una rendita di valore attuale A = 80, 0915e costituita da 8 rate annuali costanti posticipate la cui prima rata verrà pagata fra 5 anni Soluzione Poiché la prima rata della rendita posticipata verrà pagata fra 5 anni, abbiamo rendita periodica, annuale, posticipata differita di m = 4 periodi attenzione: non 5 periodi), il cui valore attuale è pari a: da cui ricava = A A = a n i 1 + i) m = i) n i 1 + i) m, i i) n 1 + 0, 065 i)m = 80, , 065) 8 1, 065)4 1700e Esercizio 6 Godete di una rendita posticipata, immediata che significa: non differita), che vi garantisce 1 al primo anno e al secondo, con 1, a regime composto e tasso annuo i Qual è la rata costante che vi garantirebbe una rendita con valore attuale pari a quella con rate 1 e? Problema letterale con formula finale che dipende dai dati 1, e i) Soluzione Il valore attuale della rendita con rate 1 e è pari a: S 1 = i) i) = i i) = 11 + i) i) Il valore attuale della rendita con rata costante è : S = 1 + i) i) = 1 + i i) = + i 1 + i) Poiché deve essere S = S 1, allora dunque + i 1 + i) = 11 + i) i) = 11 + i) + + i Esercizio 7 Un debito di 000e viene rimborsato con 6 rate semestrali Le rate del secondo anno sono doppie del primo e quelle del terzo triple del primo Se le rate del primo anno sono pari a ciascuna e il tasso semestrale è = 4%, calcolare la rata del primo anno

5 ESECIZI DI MATEMATICA FINANZIAIA 5 Soluzione Si tratta di tre rendite incollate tra loro a rata costante ciascuno, prima di rata, poi, infine 3 Se il debito iniziale è A = 000e, attualizzando le prime rate si ha 1) A 1 = ) Se ora calcolassi il valore attuale delle sole rate del secondo anno, ponendomi all epoca t = 1 quindi qui attuale vuole dire riportato all epoca t = 1) posso continuare ad usare la stessa formula, ossia ) ) Per portare poi questa somma dall epoca t = 1 all epoca zero, si attualizza di nuovo questa volta attuale significa veramente all epoca zero) la??) di 1 anno o di semestri, ossia 3) A = ) 1 + ) agionando allo stesso modo per il terzo anno, si trova che 4) A 3 = ) 1 + ) 4 Infine, essendo A = A 1 + A + A 3, tenendo conto della??),??),??), si ha che A = ) ) + 3 ) 1 + ) 4 da cui, isolando e ricavando l incognita, si ha che = A ) 1 + ) ) ) 195, 88e + 3