(a) sei mesi (b) sette mesi e mezzo (c) sette mesi (d) sei mesi e mezzo

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1 Cognome Matematica Finanziaria a.a Prof. Ghiselli Ricci Ferrara 06 febbraio 209 Nome matricola Firma e indirizzo posta elettronica (solo per chi non si è registrato sul sito) NOTA BENE: si accetta una sola correzione nel gruppo di quesiti In un conto corrente a regime semplice prima versate C = 00 poi, dopo sei mesi, versate C 2 = 300 per ritirare il montante complessivo dopo un anno dal primo versamento. Se aveste versato nello stesso conto in un unica soluzione C + C 2, per quanti mesi avreste dovuto lasciare tale somma per avere diritto allo stesso montante dell operazione precedente? (a) sei mesi (b) sette mesi e mezzo (c) sette mesi (d) sei mesi e mezzo 2. Un impresa ha un credito scadente tra cinque anni che puó attualizzare a regime composto a tasso i o a regime dello sconto commerciale a tasso di sconto d = 2%. Trovare il tasso i che rende le due operazioni equivalenti. (a) 2, 43% (b) 2, 83% (c) 2, 3% (d) 3, 03% 3. Si impiega un capitale per un periodo t a tasso composto i =,7%. Se il periodo triplicasse, il montante aumenterebbe del % rispetto al caso precedente. Quale tra i seguenti periodi si avvicina maggiormente a t? (a) un anno e un mese (b) un anno e 7 mesi (c) un anno e 4 mesi (d) due anni e un mese 4. In un piano di ammortamento alla francese a rata bimensile R = 20, tasso bimensile i b = 2,22% e durata un anno, non riuscite a pagare l ultima rata che spostate, con un piccolo aggravio, al tredicesimo mese. Qual é il valore della rata pagata al tredicesimo mese? (a) 26,7 (b) 20,4 (c) 248,4 (d) 22,7. Un acquisto di un bene di 7800 viene contrattato in 2 rate semestrali la cui somma é pari a Se il tasso annuo é i = 3,022%, a quanto ammonta la prima rata? (a) 2373,07 (b) 2393,07 (c) 2383,67 (d) 2363,67 6. Due B.O.T. di eguale scadenza costano oggi A = 980 e A 2 = 98 e garantiscono rispettivamente, se portati a scadenza, un rendimento r = 2% e r 2 = 2,%. Se li acquistate entrambi, qual é il rendimento dell intera operazione finanziaria? (a) 2, 2% (b) 2, 29% (c) 2, 2% (d) 2, 3% 7. Un obbligazione ha il seguente cash-flow: {(0, 24000);(, 0960);(2, 460)}. Calcolare la duration, con approssimazione alla seconda cifra decimale. Risposta: D =...

2 8. Un BTP Italia, emesso il primo marzo 207, durata due anni, cedola semestrale a tasso cedolare i = %, premio fedeltá al 4 per mille, viene acquistato per un nominale N = 000. La sequenza degli indici FOI giá usciti, che indicheremo con I j, j = 0,,2,3, è la seguente: I 0 = 04, I = 04,, I 2 = 0, I 3 = 04,. In attesa dell uscita dell ultimo indice I 4 a marzo 209, supponendo di tenere il titolo fino alla scadenza: a) determinare il minimo rendimento del titolo in percentuale, detto r m, indipendentemente dal futuro valore di I 4, con una approssimazione pari alla prima cifra decimale; b) calcolare il GVAN di tale investimento, nel caso precedente, a costi opportunitá i =,2% per il primo anno e i 2 = 2% per il secondo anno; c) determinare la remunerazione totale finale affinché il rendimento sia pari al 2%; d) Facoltativo: Dimostrare che la duration é superiore a un anno e undici mesi ipotizzando che I 4 I 3. Teoria Dimostrare che il valore attuale di una somma S a scadenza 6 mesi a regime composto e tasso i > 0 equivale a quello a sconto commerciale con tasso di sconto d tale che d = 2( +i ).

3 Soluzione primo quesito Il montante ottenuto dall investimento di C a regime semplice per un anno ad un certo tasso annuo di interesse i, che chiameremo M, è pari a M = C ( + i), mentre il montante ottenuto dall investimento di C 2, che chiameremo M 2, per un periodo di sei mesi (quanti ne passano dal momento del versamento di C 2 alla scadenza finale) è pari a M 2 = C 2 ( + i/2). Pertanto il montante complessivo, che chiameremo M tot, é dato da M tot = M + M 2 = C ( + i) +C 2 ( + i/2). Se avessimo versato tutta assieme la somma C +C 2 e avessimo rititrato il montante, che chiameremo M, dopo un certo periodo t, avremmo avuto che M = (C +C 2 )( + it). Il problema ci chiede per quale t si abbia M = M tot, ossia C ( + i) +C 2 ( + i/2) = (C +C 2 )( + it). Dopo qualche semplificazione algebrica, la suddetta equazione nell incognita t diviene da cui C + C 2 2 = t(c +C 2 ), t = C + C 2 2 C +C 2. Inserendo i dati, si trova che t = 0,62, ossia sette mesi e mezzo (0,62 2 = 7,). Soluzione secondo quesito Attualizzando un certo credito C a scadenza tra cinque anni nel regime composto a tasso i, oggi si otterrebbe il valore A dato da A = C ( + i). Invece, a regime dello sconto commerciale e tasso di sconto d, il valore attuale A 2 sarebbe Dall equazione A = A 2, si ricava da cui, semplificando per C e isolando i, si arriva a A 2 = C( d). C = C( d), ( + i) i = ( d). Inserendo i dati, si ottiene i = 2,3% (con approssimazione alla seconda cifra decimale). Soluzione terzo quesito Chiamando C il capitale versato, dopo un certo periodo t a tasso composto i, il montante accumulato, denotato M, é M = C( + i) t. Se triplicate il periodo di investimento, il nuovo montante che otterrete, denotato M, diviene M = C( + i) 3t. Voi sapete che M = M + αm = M( + α), ove α = % = 0,0. Pertanto, se dividete i primi membri e, corrispondentemente, i secondi membri delle due equazioni precedenti, otterrete la seguente equazione nell incognita t: + α = ( + i) 2t. Applicando il logaritmo naturale ad ambo i membri, si arriva a t = ln( + α) 2ln( + i).

4 Inserendo i dati, si trova t =, 4, con approssimazione alla seconda cifra decimale, ossia un periodo compreso tra un anno e quattro mesi e un anno e cinque mesi. Soluzione quarto quesito Il modo piú semplice e, al contempo, nettamente piú veloce di risolvere quest esercizio (ovviamente, non l unico) é di ragionare come segue: i due piani di ammortamento, quello originario alla francese, consistente in sei rate pagate ogni due mesi, e quello, variato, in cui ho dovuto spostare il pagamento dell ultima rata di un mese in avanti, sono esattamente uguali per le prime cinque rate. Pertanto, il debito residuo al decimo mese, ossia dopo le prime cinque rate, é esattamente lo stesso nei due suddetti piani: il primo piano lo ripaga con una rata R due mesi dopo, mentre il secondo piano lo ripaga tre mesi dopo con una nuova rata, che sappiamo essere leggermente superiore a R e che denoteremo R. Possiamo allora impostare l equazione in cui eguagliamo i valori attuali (ove qui attuale si riferisce in realtá al decimo mese) dei due diversi modi di pagamento: R R = + i b ( + i b ),, ove si noti che, adottando come base temporale il bimestre (questo perché ho a disposizione un tasso bimensile), tre mesi si possono scrivere come un bimestre e mezzo, ossia,. Dalla suddetta equazione, ricaviamo R, ottenendo Inserendo i dati, si trova che R = 22,7. R = R + i b. Soluzione quinto quesito L equazione da impostare é la condizione di chiusura finanziaria, ossia A = R + i s R ( + i s ) 2, ove A é il valore del bene, R é la prima rata e i s é il tasso semestrale. La suddetta equazione nell incognita R, dopo qualche passaggio algebrico, diviene R = A( + i s) i s. () Attraverso la seguente formula di conversione tra tassi periodali nel regime composto i s = + i, l eq. () diviene R = A( + i) i. Inserendo i dati, si ottiene R = 2383,67, con approssimazione alla seconda cifra decimale. Soluzione sesto quesito Supponiamo che il primo B.O.T., che costa oggi A e garantisce un rendimento r, abbia durata t da qui alla scadenza e paghi un certo nominale N. Allo stesso modo, il secondo B.O.T., che costa oggi A 2 e garantisce un rendimento r 2, avrá sempre, per ipotesi, durata t e pagherá un certo nominale N 2. Secondo le formule del regime semplice, si ha dunque che A ( + r t) = N (2) e A 2 ( + r 2 t) = N 2. (3) Se li acquistate entrambi, la vostra operazione finanziaria ha un costo pari a A + A 2 e garantisce alla scadenza t un montante pari a N + N 2. Pertanto, sempre adoperando il regime semplice, si ha che (A + A 2 )( + rt) = N + N 2, ove abbiamo chiamato r il rendimento dell intera operazione. Se a secondo membro della suddetta equazione sostituiamo N e N 2 come appaiono rispettivamente nella eq. (2) e nell eq. (3), si arriva a (A + A 2 )( + rt) = A ( + r t) + A 2 ( + r 2 t),

5 che, dopo qualche passaggio algebrico, conduce a r = A r + A 2 r 2 A + A 2. Inserendo i dati, risulta r = 2,2%, con approssimazione alla seconda cifra decimale. Il titolo è descritto dal seguente DCF: Soluzione settimo quesito G(x) = a 0 + a + x + a 2 ( + x) 2, ove a 0 = 24000, a = 0960 e a 2 = 460. Il rendimento r di tale titolo è il TIR dell investimento, ossia G(r) = 0. Impostando l equazione G(x) = 0, non é difficile vedere che r = 4%. La duration del titolo si ottiene applicando la seguente formula: a + r + a 2 2 ( + r) D = 2, P ove P é il prezzo e coincide con a 0. Inserendo i dati, risulta D =,6, con approssimazione alla seconda cifra decimale. Soluzione ottavo quesito a) Si noti, dalla sequenza degli indici, che é presente inflazione nei primi due semestri e deflazione nel terzo, quindi il meccanismo di rivalutazione scatta solo nei primi due. Secondo il regolamento del BTP ITALIA, il detentore del titolo ha diritto ogni semestre ad una remunerazione (in simboli, RS j ) che è data dalla somma di una cedola calcolata su un nominale rivalutato (in simboli c j ) e da un termine detto capitale rivalutato (in simboli, CR j ), il tutto per j che va da a 4. Le formule generali riguardanti la cedola c j, il capitale rivalutato CR j e la remunerazione semestrale RS j per tutti i semestri, indipendentemente dall andamento dgli indici FOI, sono: c j = 2 in( + α j), j =,2,3,4; CR j = α j N, j =,2,3,4; (4) RS j = c j +CR j, j =,2,3; RS 4 = c 4 +CR 4 +,004 N. In particolare, si noti che RS 4 tiene conto del premio fedeltá, sotto l ipotesi che il titolo sia portato a scadenza. La formula per calcolare i coefficienti di indicizzazione é la seguente: { I } j α j = max 0,, j =,...,4; () I j Facendo tutti i calcoli e ricordandosi di approssimare gli α j alla quinta cifra decimale, per j =,2,3, si ha che: Epoche α j CR j c j RS j 0,0048 4,8,02 2 0, ,78,02 9, Pertanto, il cash-flow dell investimento, che denoteremo A, é dato da a 0 = 000, a =, a 2 = 9,80, a 3 =, a 4 = z, ove si noti che a 4 comprende una parte certa, ossia la restituzione del nominale piú il premio fedeltá e la cedola minima classica pari a euro, e una parte incerta, legata alla eventuale rivalutazione del quarto semestre, denotata con l incognita z, ancora non conosciuta, perché dipende dall indice I 4, che al momento non possiamo conoscere, perché uscirá solo a marzo 209. Il minimo rendimento possibile, detto r m, si avrá ovviamente nel caso in cui anche nell ultimo semestre non scatti il meccanismo di rivalutazione, che comporta automaticamente z = 0. Pertanto, il discounted cash-flow del titolo nella peggiore prospettiva, denominato G Min (x), sarebbe G Min (x) = ( + x) 2 + 9,80 ( + x) ( + x) 3 2 ( + x) 2.

6 Considerate il fatto che non siete in grado di trovare la soluzione esatta, denotata appunto r m, dell equazione G Min (x) = 0, che vi fornirebbe la risposta cercata, perché algebricamente troppo complicata (anche passando attraverso una opportuna sostituzione di variabile, avreste una equazione algebrica di quarto grado). Allora, ricordando che G Min (x) è una funzione strettamente decrescente, tale che G Min (x) > 0 per x < r m e G Min (x) < 0 per x > r m, dobbiamo testare il segno di G Min (x) buttandovi dentro valori ragionevoli di x, rammentando che r m é sicuramente superiore al tasso cedolare, quantomeno per il premio finale, e tenendo conto che il meccanismo di rivalutazione semestrale é scattato in due semestri, con remunerazioni quasi doppie rispetto alla cedola classica, quindi ha senso considerare valori piuttosto superiori a i. Se ad esempio inserite r =,6%, risulterá G Min (r ),7 > 0, mentre con r 2 =,7% risulterá G Min (r 2 ) 0,9 < 0, pertanto r < r m < r 2, con l approssimazione richiesta. b) Il GVAN richiesto non é altro che GVAN(i,i 2 ) = ,80 + i ( + i ) + ( + i ) i 2 ( + i )( + i 2 ). Inserendo i dati, risulta GVAN =,83 (con approsimazione alla seconda cifra decimale), il che significa che tale investimento, nella sua forma meno redditizia, é conveniente rispetto al collocamento in banca del capitale iniziale a quei tassi, perché porta ad un plusvalore di quasi due euro. c) Il discounted cash-flow del titolo é dato ora da G(x) = ,80 ( + x) 2 ( + x) z ( + x) 3 2 ( + x) 2, Se desideriamo che il rendimento di tale titolo sia r = 2% bisogna che r sia il TIR di G(x), ossia l unica soluzione appartenente a ],+ [ dell equazione G(x) = 0. Se inseriamo r = 0,02 al posto di x ed eguagliamo a zero, si trova (con approsimazione alla seconda cifra decimale) z = 000(,02) 2 (,02) 3/2 9,80(,02), = 6,23. Conseguentemente, la remunerazione totale finale RS 4 deve essere uguale a ,23 = 0,23 per avere un rendimento complessivo del 2%. d) Se alla scadenza finale accadesse che I 4 I 3, nell ultimo semestre (cosí come era successo nel terzo) non scatterebbe il meccanismo di rivalutazione, quindi la remunerazione totale finale sarebbe 009 e il rendimento complessivo sarebbe quello minimo r m trovato al punto a). La duration D é data da D = 2 +rm + 9,80 (+r m ) (+r m ) 3 (+r 2 m ) e la tesi D > ( + /2) si traduce quindi nella disequazione 2 + 9,80 + rm ( + r m ) ( + 2 ( + r m ) 2 3 ( + r m ) 2 > 000 Grazie al punto a), sappiamo che G Min (r m ) = 0, da cui si si ricava facilmente che + 2 ). (6) 9,80 = 000 ( + r m ) + rm ( + r m ) ( + r m ) 2. Se andiamo ora a sostituire il secondo termine a primo membro dell equazione (6) con quello che compare a primo membro di quest ultima, dopo qualche semplice passaggio algebrico, otteniamo la nuova disequazione ( + r m ) ( + r m ) 2 > + rm Se dimostriamo che il primo membro é superiore a 9 e che il secondo membro é inferiore a 844, abbiamo verificato che la suddetta disequazione é corretta, perché in tal modo avremmo ( + r m ) > 9 > 844 > ( + r m ) 2 + rm 2.

7 Partiamo dal primo membro: poiché r m < r 2 =,7%, il primo membro (che é una funzione decrescente nella variabile r del rendimento) é strettamente maggiore di ( + r 2 ) ,97 > 9. ( + r 2 ) 2 Il secondo membro, invece, rovesciando simmetricamente il precedente ragionamento, é strettamente inferiore a ,08 < 844, + r 2 concludendo cosí la dimostrazione. Soluzione quesito teorico Il valore attuale di una somma S > 0 a scadenza tra 6 mesi nel regime composto a tasso i > 0 é A c = mentre quello a sconto commerciale a tasso di sconto d é S + i, A sc = S ( d/2). Per ipotesi, sappiamo che ( d = 2 ), + i quindi, sostituendo d/2 nella formula di A sc con l ipotesi suddetta, si ha che ossia la tesi A sc = A c. ( ( A sc = S )) = S, + i + i