ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2018/ Esercizi: lezione 13/11/2018

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1 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA DIPARTIMENTO DI ECONOMIA E MANAGEMENT UNIFE A.A. 2018/ Esercizi: lezione 13/11/2018 Valutazioni di operazioni finanziarie Esercizio 1. L operazione finanziaria A è descritta dal seguente cash-flow: Scadenze Importi L operazione finanziaria B è descritta dal seguente cash-flow: Scadenze Importi a) Si scriva l espressione analitica del discounted cash-flow, denotato col simbolo G(x), in funzione del tasso annuo x ] 1, [, delle due operazioni. b) Si stabilisca un ordine di preferenza tra le due operazioni col metodo del VAN, nell ipotesi che il costo opportunità sia i = 4%. c) Si stabilisca un ordine di preferenza tra le due operazioni col metodo del TIR. d) Determinare per quali valori del costo opportunità i il criterio del VAN é in accordo con quello del TIR. a) Abbiamo che e G A (x) = x 600 (1 x) 2 G B (x) = x 1160 (1 x) 2 1

2 2 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA b) I VAN al costo opportunità i = 4% sono i seguenti: e G A (0, 04) = , , 81 (1, 04) 2 G B (0, 04) = , , 02 (1, 04) 2 quindi G B (0, 04) > G A (0, 04), ossia B è preferibile ad A, in simboli B A. c) Innanzitutto, dobbiamo trovare i tassi interni di rendimento dei due progetti. Partendo dal primo progetto, sappiamo che il TIR é l unica soluzione dell equazione G A (x) = 0 per x > 1. Se passiamo attraverso il cambio di variabile v = 1, la quale é finanziariamente significativa per v > 0, e dividiamo 1 x entrambi i membri per 100, ci ritroviamo l equazione 6 v 2 7 v 10 = 0, che ha come unica soluzione accettabile v = 5, dunque il TIR è 6 x A = 1 1 = 0, 2, v ossia x A = 20%. Allo stesso modo G B (x) = 0 per x > 1 equivale all equazione nella variabile v = 1 1 x data da 58 v 2 37 v 75 = 0, che ha come unica soluzione accettabile v = 25, dunque il TIR è 29 ossia x B = 16%. x B = 1 1 = 0, 16, v Poichè x A > x B, allora per il criterio del TIR l operazione finanziaria A é preferibile alla B, in simboli A B. Risulta chiaro quindi che tale risultato ribalta l esito ottenuto con l applicazione del criterio del VAN a costo opportunitá pari a i = 4%. d) L eventuale accordo tra criterio del TIR e del VAN dipende fortemente dal costo opportunitá i fissato: se vogliamo che i due criteri diano lo stesso esito, ossia che l operazione A sia preferibile rispetto a B, é necessario che il costo opportunità i da associare al VAN debba essere tale che G A (i) > G B (i).

3 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 3 Non é difficile vedere che la disequazione G A (x) > G B (x) equivale a ossia x 560 (1 x) 2 = 500x2 960x 100 (1 x) 2 > 0, 500x 2 960x 100 > 0. Dividendo per 20 il primo membro della precedente disequazione, si trova 25x 2 48x 5 > 0 che ha come soluzione (approssimata alla quarta cifra decimale) x > 0, In conclusione, il criterio del VAN è in accordo con il criterio del TIR solo se il costo opportunitá i associato al calcolo del VAN é maggiore del 9, 91%. Esercizio 2. Un consumatore compra un televisore al prezzo di 1000e alle seguenti condizioni: 1) versamento immediato del 20% del prezzo di acquisto; 2) il resto sarà versato in due rate mensili posticipate pari ciascuna a R = 400e. a) A quale TAEG x è concesso il finanziamento? b) Se il venditore chiede anche un anticipo ulteriore di 5e e una maggiorazione dell 1% di ciascuna rata, quale sarebbe il reale TAEG? Poiché dobbiamo versare immediatamente il 20% del prezzo d acquisto, abbiamo che l importo che dobbiamo pagare a rate è pari a , = 800e. Dunque il cash-flow dell operazione, relativo alle epoche t 0 = 0, t 1 = 1/12, t 2 = 2/12, è il seguente: ( 800, 400, 400). Pertanto, si ha che il discounted cash-flow é dato da DCF(x m ) = x m (1 x m ) 2, ove l incognita x m é data in termini di tasso mensile e non annuo, perché le nostre epoche sono appunto mesi e non anni. a) Se denotiamo con x m la soluzione dell equazione DCF(x m ) = 0, si ha 800 = x m (1 x m) 2, da cui si può concludere direttamente che x m = 0 e quindi pure il TAEG del finanziamento è pari a 0.

4 4 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA b) Se il venditore chiede anche un anticipo ulteriore di 5e e una maggiorazione dell 1% di ciascuna rata, il cash-flow dell operazione, sempre relativamente alle epoche precedenti, è il seguente: ( 795, 404, 404). Pertanto, si ha che il discounted cash-flow é dato da DCF(x m ) = x m (1 x m ) 2, ove l incognita x m é sempre data in termini di tasso mensile. Se risolviamo l equazione DCF(x m ) = 0, si ha x m (1 x m ) 2 = 0. Posto v = 1 1 x m, con v > 0, si ottiene l equazione di secondo grado 404 v v 795 = 0. Tale equazione, passando attraverso la trasformazione da tasso mensile x m ad annuo x data dalla solita formula di conversione x = (x m 1) 12 1, porta ad un TAEG pari a x 13, 87%. Esercizio 3. Un investimento genera il seguente cash-flow: {(0, 5000), (1, 1600), (2, R), (3, 2240)}. a) Determinare l importo R > 0 affinché il TIR sia il 12%; b) stabilire la convenienza dell investimento col criterio del GVAN, ipotizzando che i costi opportunitá siano rispettivamente i 1 = 8% per il primo anno, i 2 = 9% per il secondo e i 3 = 10% per il terzo. a) Abbiamo che G(x) = x R (1 x) (1 x) 3. Poiché x = 12% è il TIR dell investimento, abbiamo che G(0, 12) = 0, ossia , 12 R (1, 12) (1, 12) 3 = (1, 12) (1, 12) 2 R (1, 12) 2240 (1, 12) 3 = , , 04 1, 12 R 2240 = 0, da cui R = 2480e.

5 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 5 b) Il GVAN ai tassi di mercato i 1 = 8%, i 2 = 9% e i 3 = 10% è il seguente: GVAN(8%, 9%, 10%) = = , (1, 08) (1, 09) 2240 (1, 08) (1, 09) (1, 1) = = 318, 012 > 0, il che significa che conviene aderire a tale offerta a quei tassi di mercato, perchè si ha un plusvalore pari a circa 318 euro. Esercizio 4. Un investimento è descritto dal seguente cash-flow: Scadenze Importi ,52 a) Dimostrate che il TIR di questa operazione è compreso tra il 2% e il 7%. b) Determinare l esatto TIR dell operazione. c) Determinare gli outstanding capitals e il GVAN dell operazione, supposto che i tassi di mercato siano i 1 = i 2 = 3% e i 3 = 4%. a) Per dimostrare che il TIR di questa operazione è compreso tra il 2% e il 7%, una volta scritto il DCF dell operazione, ossia si noti che: G(x) = x , 52 (1 x) 3, (i) il TIR dell operazione è l unica soluzione x ] 1, [ dell equzione G(x) = 0; (ii) G(0, 02) > 0 e G(0, 07) < 0; (iii) G(x) é monotona decrescente. Pertanto la soluzione x che cerco é necessariamente compresa tra i due tassi indicati. b) Provando a ingabbiare sempre di piú la soluzione, calcolatevi G(0, 03) e G(0, 06) e scoprirete che il primo valore è positivo, mentre il secondo è negativo, quindi, mutuando il ragionamento precedente, il TIR sará compreso tra il 3% e il 6%. Se poi avanzate col tasso piú basso, ossia vi calcolate G(0, 04), scoprirete che tale valore è esattamente zero, quindi il TIR è x = 4%.

6 6 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA c) Gli outstanding capitals dell investimento sono: w 0 = a 0 ; w k = w k 1 (1 x ) a k, per k = 1,..., n dove x = 4% è il TIR e a k è l importo del cash-flow alla scadenza t = k. Ricordiamo che, se l operazione finanziaria si conclude all epoca n, allora w n = 0. Nel nostro caso abbiamo: w 0 = e; w 1 = w 0 (1 x ) a 1 = (1, 04) = e w 2 = w 1 (1 x ) a 2 = (1, 04) = e w 3 = w 2 (1 x ) a 3 = (1, 04) , 52 = 0. Il GVAN ai tassi di mercato i 1 = 1 2 = 3% e i 3 = 4% è il seguente: GVAN(3%, 3%, 4%) = , , 52 (1, 03) 2 (1, 04) = 3417, 83, il che significa che conviene aderire a tale offerta a quei tassi di mercato, perché in tal modo si realizza un pluvalore di circa 3417e. Esercizio 5. Un titolo a cedola annuale e durata di tre anni, di prezzo e, nei primi due ha fruttato rispettivamente 3800 e e 5560 e. Chiamate R l ultima cedola ancora da incassare. a) Determinare tra quali valori potrá oscillare R affinché il rendimento (inteso come TIR) sia compreso tra il 5% e l 8%. b) Stabilire il VAN di tale titolo a costo opportunitá pari a i = 6% nel migliore dei casi visti al punto a), con approssimazione alla seconda cifra decimale. c) Supponendo ora che l ultima cedola sia pari a R = 2140 e, determinare il rendimento del titolo in forma percentuale con approssimazione alla prima cifra decimale. a) Denotiamo con G R (x) il discounted cash-flow del titolo in funzione dell ultima cedola R ancora da incassare. Abbiamo che G R (x) = x 5560 (1 x) 2 R (1 x) 3. Se denotiamo x il TIR di tale investimento, essendo G R (x ) = 0, si ricava che R = 10000(1 x ) (1 x ) (1 x ).

7 ESERCIZI DI MATEMATICA FINANZIARIA 7 Ora, ponendo nella suddetta equazione prima x = 0, 05 e poi x = 0, 08 si ottiene rispettivamente R = 1548, 75 e R = 2160, quindi 1548, 75 R b) Il migliore dei casi precedenti é quando R = 2160 e il TIR é l 8%. Chiamiamo allora, per semplicitá, G 0 (x) il discounted cash flow G R (x) (come denotato al punto precedente) in corrispondenza di R = In pratica, G 0 (x) = x 5560 (1 x) (1 x) 3. Di conseguenza, si ha che VAN(6%) = G 0 (0, 06) = , (1, 06) (1, 06) 3 = 346, 86 euro. c) Siccome R = 2140 e é molto vicino a 2160 e, che garantirebbe, come visto al punto a), un TIR pari all 8%, intuitivamente potremmo pensare che il rendimento cercato, con l approssimazione richiesta, é compreso tra il 7, 9% e l 8%. Per mostrare che la nostra intuizione é giusta, denotiamo innanzitutto con G 1 (x) il discounted cash flow del titolo con R = 2140, ossia G 1 (x) = x 5560 (1 x) (1 x) 3. Sappiamo che G 1, rappresentando un investimento classico, é monotona strettamente decrescente, quindi, posto x 1 il TIR di G 1 (ossia l unica soluzione dell equazione G 1 (x) = 0 per x > 1), immediatamente deduciamo che G 1 (x) > 0 per x < x 1 mentre G 1(x) < 0 per x > x 1. Facciamo notare che non ci é chiesto di trovare esattamente x 1, ma solo di dimostrare che 0, 079 < x 1 < 0, 08. In base a quanto appena detto, ció equivale a far vedere che G 1 (0, 079) > 0 e contemporaneamente G 1 (0, 08) < 0. In effetti, dopo un semplice calcolo, si trova che G 1 (0, 079) = 0, 95, mentre l evidente fatto che G 1 (x) = G 0 (x) 20 (1x) 3, ove G 0 (x) é quella del punto b), implica che G 1 (0, 08) < 0 sapendo che G 0 (0, 08) = 0, concludendo in tal modo la dimostrazione.