Matematica Finanziaria AA Valore Attuale e Valore Futuro Criteri VAN e TIR

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1 Matematica Finanziaria AA Annalisa Fabretti Valore Attuale e Valore Futuro Criteri VAN e TIR N.B. Questo materiale NON sostituisce il libro di testo

2 Capitalizzazione e attualizzazione L operazione di capitalizzazione consiste nel calcolare il valore di un capitale ad una data futura. L operazione di attualizzazione consiste nel valutare un capitale ad una data anteriore alla sua scadenza.

3 Capitalizzazione Quando si capitalizza si determina il valore futuro di un importo X X r(t) 0 t t r(t) denota il fattore di capitalizzazione. Il montante é il Valore Futuro (VF) di un capitale attraverso l effetto della capitalizzazione.

4 Valore Futuro (VF) di un operazione finanziaria Sia x/t = {x 0, x 1,..., x n }/{t 0, t 1,..., t n } un operazione finanziaria. Valutiamo il suo valore futuro al tempo t (maggiore di t n ), sia r(t) il fattore di capitalizzazione V F = x 0 r(t t 0 ) + x 1 r(t t 1 ) x n r(t t n ) = n i=0 x i r(t t i ) x 0 x 1 x 2 x n t 0 t 1 t 2 t n t t

5 Il fattore di capitalizzaione r(t) varia a secondo del regime di riferimento regime semplice r(t) = (1 + rt) regime composto r(t) = (1 + r) t capitalizzazione continua r(t) = e δt

6 Valore Futuro (VF) di un operazione finanziaria in capitalizzazione semplice Sia x/t = {x 0, x 1,..., x n }/{t 0, t 1,..., t n } un operazione finanziaria. Valutiamo al tasso r il suo valore futuro al tempo t (maggiore di t n ) : V F = x 0 (1 + r(t t 0 )) + x 1 (1 + r(t t 1 )) x n (1 + r(t t n )) = n i=0 x i (1 + r(t t i ))

7 Valore Futuro (VF) di un operazione finanziaria in capitalizzazione composta Sia x/t = {x 0, x 1,..., x n }/{t 0, t 1,..., t n } un operazione finanziaria. Valutiamo al tasso r il suo valore futuro al tempo t (maggiore di t n ) : V F = x 0 (1 + r) (t t 0) + x 1 (1 + r) (t t 1) x n (1 + r) (t t n) = n i=0 x i (1 + r) (t t i)

8 Valore Futuro (VF) di un operazione finanziaria in capitalizzazione continua Sia x/t = {x 0, x 1,..., x n }/{t 0, t 1,..., t n } un operazione finanziaria. Valutiamo al tasso δ il suo valore futuro al tempo t (maggiore di t n ) : V F = x 0 e δ(t t 0) + x 1 e δ(t t 1) x n e δ(t t n) = n i=0 x i e δ(t t i)

9 Esempio 1 Depositiamo alla fine di ogni anno per i prossimi 5 anni su un c/c bancario, che rende il 5% annuo in interesse semplice, la somma di 300 euro. Quale sará il saldo del c/c dopo 6 anni (fine dell anno)? Soluzione: V F = x 0 (1 + r(t t 0 )) + x 1 (1 + r(t t 1 )) x n (1 + r(t t n )) = 300( (6 1)) + 300( (6 2))+ +300( (6 3)) + 300( (6 4)) +300( (6 5)) = 1725

10 Esempio 2 Riceverete per i prossimi 4 anni un importo annuo di 2000 euro che depositerete su un c/c bancario che rende il 3% annuo in interesse composto. Quale sará il saldo del vostro c/c alla fine dei 4 anni? Soluzione: V F = x 0 (1 + r) (t t0) + x 1 (1 + r) (t t1) x n (1 + r) (t t n) = 2000(1.03) (1.03) (1.03) = 8366

11 Esempio 3 Calcolare in capitalizzazione composta con tasso istantaneo r = 3% il valore futuro al tempo t = 7 dell operazione finanziaria: x/t = {1000, 500, 400, 200}/{0, 1, 4, 5} V F = x 0 e δ(t t 0) + x 1 e δ(t t 1) x n e δ(t t n) = 1000e e e e =

12 Esercizi 1) Vogliamo accantonare un capitale depositando periodicamente degli importi in un fondo che rende il 5% annuo in interesse composto. Se il primo anno riusciamo a depositare 400 euro, il secondo 550, il terzo 300, il quarto 250, quale sará il saldo dopo 5 anni? 2) Supponiamo che gli stessi accantonamenti dell esercizio precedente siano fatti in un fondo che rende il 4% nominale convertibile 4 volte l anno, quale sará il saldo alla fine dei 5 anni? 3) Considerando il flusso di cassa degli esercizi precedenti, calcolare il saldo alla fine dei 5 anni se il fondo paga il 6% in interesse semplice.

13 Attualizzazione Quando si attualizza si determina il valore oggi di un importo futuro X v(t) X 0 t t v(t) denota il fattore di attualizzazione

14 Attualizzazione L operazione di attualizzazione risponde a domande quali: quanto vale oggi una somma X da ricevere o pagare in una data futura t? quanto devo accantonare oggi per ricavare tra t anni un capitale X?

15 Valore attuale (VA) Il valore attuale é il valore oggi di un capitale disponibile nel futuro ottenuto scontando l interesse che maturerebbe nel tempo. Il VA di un importo X disponibile tra t anni V A = Xv(t) Dove v(t) indica il fattore di sconto o fattore di attualizzazione e dipende dal regime.

16 Valore attuale (VA) in capitalizzazione composta Il VA di un importo X disponibile tra t anni valutato al tasso r in capitalizzazione composta: V A = X(1 + r) t Indicando con v il fattore di attualizzazione (1 + r) 1, si ha V A = Xv t.

17 Il fattore di attualizzazione v(t) varia a secondo del regime di riferimento. Il fattore di attualizzazione é l inverso del fattore di capitalizzazione v(t) = r(t) 1, quindi regime semplice v(t) = (1 + rt) 1 regime composto v(t) = (1 + r) t capitalizzazione continua v(t) = e δt

18 Valore attuale (VA) di un operazione finanziaria Sia x/t = {x 0, x 1,..., x n }/{t 0, t 1,..., t n } un operazione finanziaria. Il suo valore attuale ad oggi: V A = x 0 v(t 0 ) + x 1 v(t 1 ) x n v(t n ) = n i=0 x i v(t i ) x 0 x 1 x n 1 x n 0 t 0 t 1 t n 1 t n t

19 Valore attuale (VA) di un operazione finanziaria in capitalizzazione semplice Sia x/t = {x 0, x 1,..., x n }/{t 0, t 1,..., t n } un operazione finanziaria. Valutiamo al tasso r il suo valore attuale ad oggi: V A = x 0 (1 + rt 0 ) 1 + x 1 (1 + rt 1 ) x n (1 + rt n ) 1 = n i=0 x i (1 + rt i ) 1

20 Valore attuale (VA) di un operazione finanziaria in capitalizzazione composta Sia x/t = {x 0, x 1,..., x n }/{t 0, t 1,..., t n } un operazione finanziaria. Valutiamo al tasso r il suo valore attuale ad oggi: V A = x 0 (1 + r) t 0 + x 1 (1 + r) t x n (1 + r) t n = n i=0 x i (1 + r) t i

21 Valore attuale (VA) di un operazione finanziaria in capitalizzazione continua Sia x/t = {x 0, x 1,..., x n }/{t 0, t 1,..., t n } un operazione finanziaria. Valutiamo al tasso r il suo valore attuale ad oggi: V A = x 0 e δt 0 + x 1 e δt x n e δt n = n i=0 x i e δt i

22 Esempio 1 Trovare il valore attuale in capitalizzazione semplice con tasso 4.5% dell operazione finanziaria: x/t = {1000, 2000, 4000}/{1, 2, 4}

23 Esempio 2 Calcolare il valore attuale di un operazione finanziaria che vede l esborso oggi di 1000 euro e incassi per i prossimi 5 anni di 220 euro. Considerare il regime di interesse semplice con tasso effettivo 7%.

24 Esempio 3 Facendo riferimento ad un tasso istantaneo di interesse pari al 4% stabilire se conviene pagare 1000 euro oggi o 1200 tra 2 anni.

25 Valore attuale (VA) di un operazione finanziaria in capitalizzazione a vari intervalli Sia x/t = {x 0, x 1,..., x n }/{t 0, t 1,..., t n } un operazione finanziaria. Se vogliamo valutare il VA con interesse calcolato in m intervalli dell anno, posto r il tasso nominale convertibile m volte l anno, il suo valore attuale ad oggi: dove t i = t i m V A = n i=0 ( x i 1 + r ) t i m

26 Esempio Calcolare il valore attuale della sequente operazione x/t = {100, 200, 300, 500}/{0, 0.5, 1, 2} considerando un tasso nominale convertibile 3 volte l anno pari al 6%.

27 Esercizio svolto Due anni fa ed un anno fa ho ricevuto due somme di uguale importo, 1000 euro, con l impegno di restituirle in capitalizzazione composta al tasso d interesse annuo del 3% attraverso il versamento di una rata R tra un anno ed una rata 2R tra due anni. Calcolare l importo delle due rate sapendo che oggi il tasso d interesse é il 4%. Soluzione Il valore oggi del prestito ricevuto é pari a: M = 1000( ) ( ) = L ammontare delle due rate per l estinzione del prestito dovrá quindi verificare la seguente uguaglianza: 2R( ) 2 + R( ) 1 = Da cui si ricava R = e 2R =

28 Esercizi 1) Calcolare il VA del flusso di cassa x/t = {1000, 200, 300, 550}/{0, 0.5, 1, 2} con tasso nominale del 5% convertibile 2 volte l anno con interesse semplice 4% in capitalizzazione composta con δ = 2% 2) Avendo la possibilitá di investire al tasso composto del 7%, preferite ricevere 1000 euro oggi o 1300 tra 1 anno e mezzo?

29 3) Calcolare il valore X che rende le seguenti operazioni equivalenti ad un tasso (regime composto) del 10%: A : (1, 0, 2)/(0, 1, 2) B : (0, 1, X)/(0, 1, 2) 4) Tizio ha depositato 8 anni fa una certa somma ed ancora 5 anni fa una somma uguale al doppio della prima piú Il primo impiego é stato effettuato al tasso annuo nominale convertibile quadrimestralmente dell 8, 25%, il secondo al tasso dell 2% trimestrale. Oggi ritira un montante complessivo di 24779, 49. Determinare il valore delle somme depositate.

30 5) Un debito di 8000 contratto 6 anni fa, doveva essere rimborsato con un unico versamento dopo 10 anni con interessi composti del 10%. Calcolare il versamento. Oggi il creditore cede il diritto di riscuotere il montante fra 4 anni per A quale tasso é stata fatta la valutazione e a quale tasso il creditore ha impiegato il capitale? 6) Si versano su un conto che offre il 10% nominale convertibile 4 volte l anno 5 rate annue di 1000 euro e poi si lascia il conto in giacenza senza ulteriori versamenti ne prelievi. Quanto riscuoterá l investitore dopo 10 anni (dall ultimo versamento)?

31 Banca ideale La banca ideale é una banca che applica lo stesso tasso ai depositi e ai prestiti; non addebita spese per il servizio non applica commissioni alle transazioni il tasso di interesse é lo stesso per capitali di qualsiasi entitá

32 Equivalenza tra operazioni finaziarie Le successioni di flussi di cassa x = {x 0, x 1,..., x n } e y = {y 0, y 1,..., y n } sono equivalenti per una banca ideale se e solo se i rispettivi valori attuali calcolati al tasso r della banca sono uguali.

33 Criteri di valutazione Per determinare la convenienza tra operazioni finanziarie si possono adottare molti criteri ma i piú comuni sono: il Valore Attuale Netto (VAN) il Tasso Interno di Rendimento (TIR)

34 VAN Il Valore Attuale Netto (VAN) é la differenza tra il valore attuale dei flussi di cassa positivi (entrate) e il valore attuale dei flussi di cassa negativi (uscite). Una operazione é conveniente se ha VAN positivo. Il VAN viene anche utilizzato per valutare alternative, conviene in questo caso scegliere l operazione con VAN piú alto.

35 Esempio Dato un progetto che richiede un investimento iniziale di 100 milioni e che avrá i seguenti flussi 30ml il primo anno, 60 ml il secondo, 50ml il terzo e il quarto. Determinare il VAN del progetto dato i = 5%. V an = (1.05) 1 +60(1.05) 2 +50(1.05) 3 +50(1.05) 4 V an(5%) = 26.18

36 Esercizi 1) La societá XYZ prende in esame i seguenti investimenti A ) investire oggi e ricevere per i prossimi 5 anni rate da B ) investire oggi e ricevere per i prossimi 5 anni rate da 8000 C ) investire oggi e ricevere per i prossimi 10 anni rate da 8000 Valutare con il van quale investimento conviene usando un tasso del 12%.

37 2) Per l acquisto di un macchinario, un imprenditore riceve le seguenti proposte 1 ) pagamento di subito e di 84000, suddivise in due rate di uguale importo, tra uno e tre anni; 2 ) pagamento di tre rate annue di importo R, 2R e 3R. Determinare R in modo che le due alternative si equivalgano essendo il tasso di valutazione del 5% annuo.

38 Criteri di valutazione: TIR Data l operazione finanziaria x/t = {x 0, x 1,..., x n }/{t 0, t 1,..., t n } il Tasso Interno di Rendimento (TIR) é il tasso r tale che il valore attuale netto é uguale a zero: V A(r ) = n i=0 x i (1 + r ) t i = 0 Un investimento é conveniente se il suo Tir é maggiore del tasso di interesse prevalente.

39 Esempio Preso il flusso ( 2, 1, 1, 1) con scadenzario (0, 1, 2, 3) determinare il Tir. Abbiamo V A(i) = 2 + (1 + i) 1 + (1 + i) 2 + (1 + i) 3 = 0 Ponendo z = (1 + i) 1 va risolta l equazione z 3 + z 2 + z 2 = 0 Applicare un metodo numerico (bisezione o metodo di Newton)

40 Esempio (continua) Applichiamo il metodo di bisezione: Se i = 1% z = 0.99 e V A 0.94 Se i = 30% z = 0.76 e V A 0.22 allora 1% < i < 30%, prendiamo il valore intermedio i = 15% e valutiamo VA, se V A > 0 scegliamo i = 22.5%, se V A < 0 scegliamo i = 8% e valutiamo il VA. Proseguiamo fino ad ottenere un VA con buona approssimazione vicino a zero. Risultato i 23%.

41 Esercizio Un operazione finanziaria ha il seguente flusso di cassa con scadenzario {0, 1, 2} { 1000, 200, X} trovare X tale che il Van calcolato al 10% sia pari al 5% del capitale investito trovare X tale che il Tir sia maggiore del 10%

42 Esercizi 1) Dato un progetto che richiede un investimento iniziale di 100 ml e che produrrá i seguenti flussi: 50 ml il primo anno e 60 ml il secondo, determinare il TIR del progetto. 2) Siano dati i seguenti progetti finanziari A : ( 4000, X, 1874)/(0, 1, 2) B : ( 4000, 2100, 2050)/(0, 1, 2) Determinare l importo X tale che il progetto A abbia T.I.R. uguale al 3%. Utilizzando il criterio del T.I.R. determinare il miglior progetto tra A e B.

43 3) Data l operazione finanziaria ( 100, 50, 55)/(0, 1, 2) il TIR vale 1. tra 1% e 3% 2. tra 3% e 4% 3. tra 4% e 6% 4. nessuna delle precedenti

44 4) Data l operazione finanziaria calcolare il TIR usando ( 200, 50, 50, 150)/(0, 1, 2, 3) metodo di bisezione metodo di Newton Se il tasso di mercato prevalente é pari al 5% é l operazione conveniente?

45 Teorema di esistenza del TIR Sia una successione di flussi di cassa {x 0, x 1,..., x n } con scadenzario {0, 1,..., n}, sia x 0 < 0 e x k 0 per k = 1, 2,..., n, con almeno un termine strettamente positivo. Posto c = (1 + r) 1, l equazione ha un unica soluzione positiva. x 0 + x 1 c + x 2 c x n c n = 0 Inoltre se n k=0 x k > 0 il corrispondente TIR r = 1 c 1 é positivo.

46 Sketch Dimostrazione del Teorema di esistenza del TIR Considerando la funzione f(c) = x 0 + x 1 c + x 2 c x n c n possiamo mostrare che f(c) é crescente con lim c f(c) = e f(0) = x 0 < 0 quindi per il teorema di esistenza degli zeri la funzione ammette uno zero (solo uno perché crescente)

47 Sketch Dimostrazione del Teorema di esistenza del TIR (continua) Se risulta n k=0 x k > 0 quindi lo zero sará tra 0 e 1 e f(1) > 0 r = 1 c 1 > 0

48 Esercizi Per quali delle seguenti operazioni finanziarie si puó dire (senza fare i calcoli) che esiste il tir positivo? 1. ( 100, 25, 25, 25, 25)/(0, 1, 2, 3, 4) 2. (0, 30, 30, 30, 30)/(0, 1, 2, 3, 4) 3. ( 150, 30, 60, 30, 60)/(0, 1, 2, 3, 4) 4. nessuna delle precedenti

49 Esempio: quando tagliare un albero Avete l opportunitá di piantare degli alberi che in seguito saranno venduti come legname. Per l acquisto e la messa in dimora sostenete la spesa di 1 e nessun altra spesa fino all abbattimento che dovrete scegliere quando eseguire, tra uno o due anni. Se scegliete di abbattere dopo un anno ricavate 2 mentre se abbattete dopo 2 anni gli alberi saranno maggiormente cresciuti e ricaverete 3. Sapete che il tasso di interesse prevalente é del 10%. Valutate cosa é piú conveniente fare. Esempio tratto da Luenberger D.G. Introduzione alla matematica finanziaria ed. Apogeo

50 Esempio: quando tagliare un albero I due flussi di cassa sono tagliare dopo un anno ( 1, 2)/(0, 1) tagliare tra 2 anni ( 1, 3)/(0, 2) conviene tagliare dopo un anno rientrando subito dell investimento fatto o attendere che gli alberi crescano e rendano piú legname?

51 Esempio: applichiamo il Van Usando un tasso 10% otteniamo tagliare dopo un anno V an = 1 + 2(1.10) 1 = 0.82 tagliare tra 2 anni V an = 1 + 3(1.10) 2 = 1.48 Il criterio del Van ci suggerisce di attendere 2 anni.

52 Esempio: applichiamo il Tir tagliare dopo un anno: impostando 1 + 2(1 + r) 1 = 0 si ottiene r = 100% tagliare tra 2 anni: impostando 1 + 3(1 + r) 2 = 0 si ottiene r = 70% Il criterio del Tir ci suggerisce di tagliare subito. I due criteri suggeriscono scelte diverse!

53 Discussione sui criteri I due criteri possono anche fornire indicazioni contrastanti! Quale é da preferire? Il fattore tempo e l importo degli investimento possono fare la differenza. Nel caso del taglio degli alberi possiamo anche considerare la possibilitá di tagliare subito (come suggerisce il Tir) e con il ricavato ripiantare per tagliare al secondo anno e ricavare 4, se applichiamo il Van a questa operazione anche il van concorderá che conviene tagliare subito.

54 Esercizio Valutare usando il criterio del VAN e un tasso di valutazione i = 5% quale delle due seguenti operazioni finanziaria é piú conveniente A: un esborso iniziale di 1000 euro ed entrate di 400 euro ogni anno per i successivi 4 anni B: un esborso iniziale di 1000 euro ed entrate di 200 euro con cadenza semestrale per i successivi 4 anni

55 Esercizio 11 pag 37 Luenberger Considerate i due progetti con i seguenti flussi di cassa Anni Progetto 1 Progetto Determinare TIR e VAN con tasso 5% per entrambi i progetti. Mostrare che TIR e VAN forniscono indicazioni differenti e spiegare perché. Suggerimento: Calcolare il TIR usando il metodo di Netwon