School of. Due impieghi in capitalizzazione composta hanno, rispettivamente, capitale iniziale C 1 =

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1 Contenuti: 1. Leggi finanziarie in una variabile [3] 2.1,2.2,2.3; 2. Regimi finanziari usuali [3] 1.1,1.2,1.2.1,1.3,1.3.1,1.3.3,1.4; 3. Leggi finanziarie in due variabili [3] 3.1,3.2, Esercizi: Esercizio 1: Due impieghi in capitalizzazione composta hanno, rispettivamente, capitale iniziale C 1 = 1.000,00 e C 2 = 1.100,00. I tassi istantanei degli impieghi sono δ 1 = 12% e δ 2 = 11%. 1. Calcolare il montante dei due impieghi dopo tre anni e sei mesi; 2. Individuare la scadenza alla quale le due operazioni garantiscono lo stesso montante; 3. Calcolare i tassi annui composti equivalenti a δ 1 e δ 2. Esercizio 2: Un istituto di credito sconta ad un proprio cliente un effetto con valore nominale S = ,00 e scadenza tra 75 giorni. Il tasso di sconto commerciale è d = 14%. 1. Calcolare il netto ricavo A percepito dal cliente; 2. Determinare il tasso di interesse semplice al quale la Banca impiega la somma A; 3. Determinare il tasso istantaneo di interesse al quale la Banca impiega la somma A. Esercizio 3: Un soggetto può impiegare un capitale C = 1.000,00 alternativamente in capitalizzazione semplice con un tasso annuo i = 10% oppure in capitalizzazione composta con un tasso annuo nominale convertibile mensilmente j 12 = 8%. L impiego ha durata T = 9 mesi. 1. Calcolare il montante del primo impiego; 2. Calcolare il montante del secondo impiego; 3. Determinare dopo quanti mesi il secondo impiego garantisce lo stesso montante del primo. Esercizio 4: Un effetto con scadenza tra 9 anni e valore nominale S è scontato presso un istituto di credito in regime di sconto commerciale con tasso di sconto annuo d = 10%. Calcolare il tasso annuo composto al quale l istituto di credito impiega le proprie disponibilità in questa operazione (tasso di interesse annuo composto finanziariamente equivalente).

2 Esercizio 5: Data la legge finanziaria in una variabile f(t) = 1 + 0,05t 2 + 0,01t a. Calcolare il montante di 1.000,00 impiegati per 5 anni. b. Calcolare l intensità istantanea d interesse ρ(t). c. Calcolare il fattore di montante di proseguimento da x = 5 a y = 7. Esercizio 6: Una legge finanziaria in due variabili ha espressione F(x, y) = ln(2 + 0,2y) ln(2 + 0,2x) a. Calcolare l intensità istantanea d interesse della legge. b. Dire, motivando, se la legge finanziaria è scindibile. c. Determinare il tasso di interesse annuo composto equivalente all impiego di 1,00 per 20 giorni a partire da x = 0 secondo la legge F (si usi la convenzione anno civile). Esercizio 7: Un impiego ad interessi composti ha durata 5 anni. Nei primi due anni il tasso di interesse è i = 3%, negli ultimi 3 è i = 3,5%. a. Calcolare il montante di 100,00 nel quinquennio. b. Calcolare il tasso annuo di interesse composto che avrebbe prodotto il medesimo risultato. c. Calcolare il tasso istantaneo di interesse che avrebbe prodotto lo stesso montante. Esercizio 8: Un capitale di importo C = 1.250,00 viene impiegato ad un tasso annuo nominale convertibile trimestralmente j 4 = 3,25% con capitalizzazione trimestrale degli interessi. Impiegando la convenzione lineare, calcolare il montante dopo 35 mesi, sapendo che l impiego inizia 1 mese prima della prima epoca di capitalizzazione. Esercizio 9: Un azienda vanta due crediti di importo 2.000,00 ognuno. Il primo ha scadenza 3 mesi, il secondo 6 mesi. Per esigenze di cassa, deve richiedere lo sconto degli stessi al proprio istituto di credito, che applica un regime di sconto composto con tasso annuo d interesse i=10%. Calcolare la somma che verrà incassata dalla azienda.

3 Esercizio [Per casa]: Un impiego è realizzato con la legge finanziaria dove δ(x) è una funzione di x. F(x, y) = e δ(x)(y x) a. Calcolare l intensità istantanea d interesse ρ(x, y). b. Per quali valori di δ(x) la legge finanziaria è in una variabile? c. Dimostrare che la legge è scindibile se e solo se δ(x) è costante.

4 Esercizio 1: Soluzioni 1. Si ha 2. Deve essere da cui t = 9,531 anni 1 2 = = 0,12 3, e 1.522, 00 = = 0,11 3, e 1.616, e = 1100 e e ( 0,12 0,11) 3. Poiché δ = ln ( 1+ i ) e ln ( 1 ) Esercizio 2: ,12 t 0,11 t t 1100 = 1000 δ = + i, si ottiene i i 0,12 1 = e = 0,11 2 = e = 1 12, 750% 1 11, 628% 1. A = ,14 = 9.712, La banca impiega il capitale di 9.712,30 per ottenere come montante , quindi = 9.712, i s Da cui i s = 14,416% 3. In modo analogo da cui 75 δ = 9.712,30 e 365 δ = 14,207% Esercizio 3: 1. Si ha 2. Poiché 9 = ,1 = 1.075, 00 12

5 e anche ( ) Deve essere Esercizio 4: 12 i School of j 8% 0,667% = = = i = 1+ i 1 = 8,30%, è sufficiente calcolare = ( 1+ 0, 667% ) 9 = 1.061, ,1 = ,30% 12 ln1, 075 Da cui t = 12 log1,083 1, 075 = 12 = 13, 23 mesi. ln1, 083 L operazione finanziaria è descritta dallo schema T (anni) 0 9 A S t ( ) 12 Dove A = S (1 0,1 9) Per equivalenza finanziaria si intende che deve anche essere S = A (1 + i) 9 Pertanto si ottiene Dalla quale si ricava Esercizio 5: a. Si ottiene b. Si ha c. A = A (1 + i) 9 (1 0,1 9) 1/9 1 i = (1 0,1 9) 1 = 29,15% = (1 + 0, ,01 5) = 2.300,00 ρ(t) = f (t) f(t) = 0,01 + 0,1t 1 + 0,05t 2 + 0,01t G(5,7) = f(7) 1 + 0, ,01 7 = f(5) 1 + 0, ,01 5 = 1,5304

6 Esercizio 6: ( ) Poiché ( x, y) = D ln F( x, y) ρ, si ha Da cui si ottiene ( x, y) ρ = School of ( ) = ( + ) ( + ) ln F x, y ln ln 2 0,2 y ln ln 2 0,2x 0,2 ( 2 + 0,2 y) ln( 2 + 0,2 y) 4. La legge finanziaria è scindibile poiché l intensità istantanea dipende solo da y (Teorema di Cantelli) 5. In base alla legge descritta, il montante di 1 tra 20 giorni è 1, L operazione finanziaria è dunque Tempo (anni) ,00788 Quindi deve essere 1, = ( 1+ r ) Da cui r = 15,40% Esercizio 7: a. b. Deve risultare da cui c. Deve risultare da cui = 100 (1 + 0,03) 2 (1 + 0,035) 3 = 117,624 (1 + i) 5 = (1 + 0,03) 2 (1 + 0,035) 3 i = 3,2997% circa e δ5 = (1 + 0,03) 2 (1 + 0,035) 3 δ = 1 5 ln((1 + 0,03)2 (1 + 0,035) 3 ) = 3,248% circa Esercizio 8: E necessario evidenziare il numero di epoche di capitalizzazione degli interessi intere. Nel caso proposto il periodo è 35 mesi. La prima capitalizzazione avviene dopo 1 mese, s = 1. Residuano 3 quindi 34 mesi, che, ripartiti in trimestri, diventano 34 = , da cui n = 11 e f = 1. La formula risulta quindi 3,25% 1 3,25% 3,25% 1 = , =

7 Esercizio 9: I due crediti vengono scontati alle medesime condizioni. Si ha quindi: Primo credito ( ) 3/12 A 1 = ,1 = 1952,91 Secondo credito ( ) 6/12 A 2 = ,1 = 1906,93 Totale 1952, , ,84 School of 3/12 6/12 A = + = = 2000 ( 1,1) ( 1,1)