Esercizi sulle lezioni del 28 novembre

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1 Esercizi sulle lezioni del 28 novembre Esercizi su capitalizzazione. Tassi equivalenti Due tassi si dicono equivalenti, se a parità di tempo di impiego e capitale investito, producono lo stesso montante. Esercizio 1 Determinare il montante di un capitale di 1500 euro investito, in regime di capitalizzazione semplice per 20 mesi al tasso a) annuo del 6% b) al tasso bimestrale del 1% c) al tasso semestrale del 3% d) al tasso quadrimestrale del 2% Svolgimento: a:=1500*(1+0.06*20/); a (1.1) In 20 mesi ci sono 10 bimestri b:=1500*(1+0.01*10); In 20 mesi ci sono 20/6 semestri ovvero 3 semestri ed 1/3 di semestre c:=1500*(1+0.03*20/6); c In 20 mesi ci sono 5 quadrimestri d:=1500*(1+0.02*5); b d Notiamo che: in un anno ci sono: 6 bimestri il tasso bimestrale si chiama i 6 2 semestri il tasso semestrale si chiama i 2 3 quadrimestri il tasso quadrimestrale si chiama i 3 Ricordiamo che in regime di capitalizzazione semplice gli interessi sono proporzionali al tempo di impiego. In questo caso otteniamo sempre lo stesso montante. Questo significa che i tassi sono tutti equivalenti, dato che a parità di capitale e periodo di impiego producono lo stesso montante. In generale: sia i il tasso di interesse riferito all'unità di tempo sia i k il tasso di interesse riferito alla frazione k_esima dell'unità di tempo In regime di capitalizzazione semplice, il tasso i è equilvalente a i k, ovvero i=ki k Esercizio 2 Determinare il montante di un capitale di 4200 euro investito, in regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale per 30 mesi al tasso a) annuo del % (1.2) (1.3) (1.4)

2 b) al tasso mensile del 1% c) al tasso trimestrale del 3% d) al tasso semestrale del 6% Svolgimento: a) 30 mesi equivalgono a 2 anni e mezzo a:=4200*(1+0.)^(30/); a b) 30 mesi b:=4200*(1+0.01)^30; b c) 30 mesi equivalgono a 10 trimestri c:=4200*(1+0.03)^10; c d) 30 mesi equivalgono a 5 semsestri d:=4200*(1+0.06)^5; d (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) Ricordiamo che in regime di capitalizzazione di capitalizzazione composta, gli interessi non sono proporzionali al tempo di impiego. In generale: sia i il tasso di interesse riferito all'unità di tempo sia i k il tasso di interesse riferito alla frazione k_esima dell'unità di tempo In regime di capitalizzazione composta, i ki k vale invece la seguente relazione (1+i)=(1+i k ) k da cui i=(1+i k ) k -1 e i k =(1+i) 1/k -1 Esercizio 3. Con riferimento all'esercizio 2, calcoliamo b) il tasso mensile i equivalente al tasso annuo % c) al tasso trimestrale i 4 equivalente al tasso annuo % d) al tasso semestrale i 2 equivalente al tasso annuo % (Controllare che il montante che avremmo ottenuto applicando i,i 4,i 2 sarebbe stato lo stesso di quello ottenuto usando i=%.) b) i_:=(1+0.)^(1/)-1; i_ c) i_4:=(1+0.)^(1/4)-1; d) i_2:=(1+0.)^(1/2)-1; i_ i_ Definiamo j k =ki k il tasso annuo nominale convertibile k-volte. In referimento all'esempio j_:=i_*; (1.9) (1.10) (1.11) (1.)

3 j_4:=i_4*4; j_2:=i_2*2; b) In un anno ci sono 4 trimestri i:=(1+0.02)^4-1; c) Determino tasso annuale equivalente al tasso quadrimestrale i:=( )^3-1; i Determino tasso bimestrale i_6:=(1+i)^(1/6)-1; j_ j_ j_ (1.) (1.13) (1.14) In generale j k < (1+i k ) k -1 A parità di capitale e di tempo di impiego, se sostituiamo il tasso j k al posto del tasso i (riferito all'unità di tempo) equivalente ad i k, otteniamo un montante più basso. Quindi, se a fronte di una richiesta di finanziamento, mi viene detto che mi applicano un tasso del 1% mensile, ovvero del % annuo, mi stanno dando un informazione inesatta. Infatti, % è il tasso nominale convertibile mensilmente, non il tasso annuo effettivo. Se pagassi gli interessi su base annua, il tasso equivalente al 1% mensile è: tasso_effettivo:=(1+0.01)^-1; tasso_effettivo Esercizio 4 Determinare in regime di capitalizzazione composta a) il tasso mensile equivalente al tasso anuo i=% b) il tasso annuo equivalente al tasso trimestrale del 2% c) il tasso bimestrale equivalente al tasso quadrimestrale i 3 =3,5% a) i_:=(1.)^(1/)-1; i_ i i_ Svolgimento alternativo punto c). In un quadrimestre ci sono due bimestri. (1+0,035)=(1+i 6 ) 2 i_6:=( )^(1/2)-1; i_ Esercizio 5 Determinare in regime di capitalizzazione composta a) il tasso mensile equivalente al tasso anuo del 8% b1) il tasso annuo equivalente al tasso trimestrale del 3,5% b2) il tasso annuo nominale convertibile trimestralmente equivalente al tasso trimestrale del 3,5% b3) il tasso mensile equivalente al tasso trimestrale del 3,5% c) il tasso trimestrale equivalente al tasso bimestrale del 1,5% d) il tasso mensile equivalente al tasso nominale annuo convertibile quadrimentralmente j 3 =6% (1.15) (1.16) (1.17) (1.18) (1.19) (1.20)

4 a) i_:=(1+0.08)^(1/)-1; i_ b1) In un anno ci sono quattro trimestri. i:=( )^4-1; i b2) j4:=0.035*4; j b3) Posso ricavare i a partire dal tasso i trovato in b1 i:=(1+i)^(1/)-1; i oppure posso ricavare i ricordando i:=( )^(1/3)-1; i (1.21) (1.22) (1.23) (1.24) (1.25) c) Determino tasso annuale equivalente al tasso bimestrale i:=( )^6-1; i Determino tasso trimestrale i_4:=(1+i)^(1/4)-1; i_ Svolgimento alternativo punto c). In un trimestre ci sono un bimestre e mezzo. i_4:=( )^(3/2)-1; i_ d) Determino tasso effettivo quadrimestrale. In un anno ci sono tre quadrimestri i3:=0.06/3; i (1.26) (1.27) (1.28) (1.29) Determino tasso mensile equivalente al tasso quadrimestrale. In un quadrimestre ci sono quattro mesi. i:=(1+i3)^(1/4)-1; i (1.30) Esercizio 6. Un capitale di euro produce, in capitalizzazione composta, dopo 9 anni e 5 mesi un montante di euro. Calcolare il tasso effettivo annuo a cui stata effettuata l'operazione, il tasso effettivo quadrimestrale ed il tasso nominale annuo convertibile 2 volte nell'anno equivalenti al tasso annuo calcolato. Soluzione : 9 anni e 5 mesi sono 113/ di anno. i=(m/c)^(1/t)-1 tasso_annuo:=(35000./20000)^(/113)-1; tasso_annuo Determino il tasso effettivo quadrimestrale i3:=(1+tasso_annuo)^(1/3)-1; i Determino il tasso effettivo semestrale e successivamente il tasso annuo convertibile 2 volte (1.31) (1.32)

5 i_2:=(1+tasso_annuo)^(1/2)-1; j_2:=i_2*2; i_ j_ (1.33) Sconto commerciale ed attualizzazione. Lo sconto commerciale è proporzionale al capitale ed al tempo che intercorre tra oggi e l'epoca in cui il capitale C si renderà disponibile Esercizio: determinare il valore attuale di un capitale C=3000 dispnibile tra 6 mesi, ottenuto applicando lo sconto commerciale al tasso di sconto annuo d=0.09 C:=3000: d:=0.09: t=6/: Sconto:=3000*0.09*6/; Capitale_scontato:=C-Sconto; Sconto Lo sconto commerciale non è l'operazione inversa della capitalizzazione semplice. Infatti: Capitale_scontato*(1+0.09*6/); Capitale_scontato Calcolo del valore attuale in regime di capitalizzazione semplice e composta. Esercizio 7. Determinare, in regime di capitalizzazione semplice, al tasso annuo i=0.03, il valore attuale di un capitale C=3000 euro disponibile tra 6 mesi restart: Valore_attuale_cap_semplice:=C/(1+i*t); C:=3000; t=6/; i=0.03; Valore_attuale_cap_semplice C 3000 C i t 1 (2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) Esercizio 8. Determinare, in regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale, al tasso annuo i=0.06, il valore attuale di un capitale C=5300 euro disponibile tra 2 anni e 5 mesi restart: Valore_attuale_cap_composta:=C/(1+i)^t; C Valore_attuale_cap_composta (2.6) 1 i t t = 1 2 i = 0.03 Valore_attuale:=C/(1+6/*0.03); Valore_attuale C:=5300; t:=2+5/; i:=0.06; C 5300 t 29 (2.7)

6 i 0.06 Valore_attuale:=C/(1+i)^t; Valore_attuale (2.7) (2.8) restart: Esercizio tratto dal compito di settembre 2013 Si considerino le tre seguenti operazioni finanziarie e si assuma che dopo 39 mesi esse ottengano lo stesso montante M: tempo 0 mesi 24 mesi operazione A operazione B X operazione C a) Calcolare M sapendo che l'operazione finanziaria A si svolge con un tasso effettivo annuo i A =5% in regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale; b) Calcolare X sapendo che l'operazione finanziaria B si svolge con un tasso effettivo annuo i B =4% in regime di capitalizzazione composta con convenzione lineare e periodo semestrale; c) Calcolare il tasso effettivo annuo i C della operazione finanziaria C che si svolge in regime di capitalizzazione semplice. Svolgimento a): M := 10000*1.05^(39*(1/))+15000*1.05^(27*(1/))+5000*1.05^(15* (1/)); M (3.1) 39 M := Svolgimento b) 39 mesi = 3 anni e 3 mesi = 6 semestri e 1/2 semestre 27 mesi = 2 anni e 3 mesi = 4 semestri e 1/2 semestre 15 mesi = 1 anno e 3 mesi = 2 semestri e 1/2 semestre Calcolo tasso semestrale equivalente al tasso effettivo annuo i2:=(1+0.04)^(1/2)-1; i (3.2) Montante_b = i2 6 1 i2 1 2 X 1 i2 4 1 i i2 2 1 i2 1 2 e quindi Montante_b:=10000*(1+i2)^6*(1+i2*(1/2))+X*(1+i2)^4*(1+i2*(1/2)) *(1+i2)^2*(1+i2*(1/2)): valore_x:=solve( montante_b=0,x); valore_x Svolgimento c) (3.3) Montante_c:=10000*(1+i*39/)+5000*(1+i*27/)+15000*(1+i*15/):

7 39 27 Montante_c = i C i C ic:=solve(montante_c-m=0,i); ic i C 15 (3.4)