Esercizi svolti durante le lezioni del 28 novembre

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1 Esercizi svolti durante le lezioni del 28 novembre Per la parte di matematica finanziaria, reperire: Appunti di matematica finanziaria - dott.ssa Rossana Riccardi - compiti di tutti i corsi A,B,C,D Nella sezionemateriale didattico corso A Materiale seconda parte - appunti di matematica finanziaria. Dott.ssa Riccardi Libro in consultazione: Stefani S., Torriero A. e Zambruno G., (2007) (o edizioni succssive), "Elementi di Matematica Finanziaria e cenni di Programmazione Lineare III edizione", G. Giappichelli Editore, Torino oppure Allevi E., Bosi G., Riccardi R., Zuanon M. (2012), "Matematica finanziaria e attuariale" Pearson, Italia. Fattore di montante. Esercizio Stabilire se le seguenti funzioni sono fattori di montante a) f(t)=1/(t-4) b) f(t)=2+3t c) f(t)=2-t d) f(t)=1+0.2t Svolgimento a) no perché f non è definita per ogni t=0 (f non è definita per t=4) b) no perché f(0)=2 c) no perché f non è crescente per ogni t=0 d) sì perché f è definita per ogni t=0, f(0)=1 ed f è crescente dato che f'(t)=0.20 Esercizio Data la funzione f:=t-a*log(4*t^2+1)+b; f(t); f t a log 4 t 2 1 b a ln 4 t 2 1 b determinare per quali valori di a e di b, f è un fattore di montante. f è definita per ogni t 0 f(0)=b da cui b=1 Affinché f sia un fattore di montante f deve essere crescente. Calcoliamo la derivata prima di f. f1:=diff(f(t),t); 8 a t f1 4 t 2 1 (1.1) (1.2) f'(t)0 per ogni t 0 se e solo se a0. Per a=0, f è costante. Di conseguenza f è un fattore di montante per b=1 ed a0. Posto a=1/20 e b=1 calcolare:

2 a) il tasso di interesse; b) il montante di un capitale C=200 impiegato per 3 unità di tempo c) dopo quanto tempo si ottiene un montante doppio rispetto al capitale iniziale d) calcolare la forza di interesse e stabilire se la legge di capitaizzazione associata a f(t) è scindibile f:=t-1/20*log(4*t^2+1)+1; 1 f t 20 log 4 t2 1 1 (1.3) a) Il tasso di interesse è l'interesse maturato su una unità di capitale per una unità di tempo. i=f(1)-f(0) b) tasso_di_interesse:=f(1)-1; i:=evalf(tasso_di_interesse); d) Calcoliamo la derivata prima f1:=diff(f(t),t); tasso_di_interesse i La forza di interesse è il rapporto tra f'(t)/f(t) forza_di_interesse:=f1/f(t); 2 forza_di_interesse 5 4 t ln 5 M:=200*f(3); evalf(m); M 10 ln c) tempo_per_raddoppio:=solve({f(t)=2,t=0},t); tempo_per_raddoppio t = 1 2 evalf(tempo_per_raddoppio); t = f1 2 5 t 4 t 2 1 e 20 1 t 1 20 ln 4 t2 1 1 La legge finanziaria associata al fattore di montante non è scindibile. (1.4) (1.5) (1.6) (1.7) (1.8) (1.9) Esercizi introduttivi, capitalizzazione semplice e composta Fattore di montante associato alla legge di capitalizzazione semplice f(t)=1+it, M=C(1+it), I=M-C=Cit L'interesse è proporzionale sia al capitale impiegato che al tempo di impiego.

3 Fattore di montante associato alla legge di capitalizzazione composta con convezione esponenziale f(t)=(1+i) t, M=C(1+i) t, I=M-C=C((1+i) t -1) In questo caso, al termine di ogni periodo, gli interesse vengono capitalizzati, ovvero il capitale incorpora gli interessi, in modo che anche questi ultimi producono interessi nei periodi successivi. Gli interessi non sono propozionali al tempo di impiego. Fattore di montante associato alla legge di capitalizzazione composta con convezione lineare t= n+f dove n è la parte intera del tempo t ed f la parte frazionaria f(t)=(1+i) n (1+if) La legge di capitalizzazione composta con convezione lineare, per periodi di tempo interi (rispetto all'unità di tempo considerata) calcola il montante nello stesso modo della capitalizzazione composta con convezione esponenziale. Per periodi di tempo inferiori all'unità di tempo usa la capitalizzazione semplice. Esercizio 1. Calcolare gli interessi ed il montante in regime di capitalizzazione semplice relativi ad un capitale di 8000 euro al tasso annuo del 3%, impiegato a) per 3 anni b) per 2 anni e 3 mesi c) dal 18 settembre al 15 dicembre Soluzione: I=C*i*t dove C=8000 e i=0,03. M=C+I Interessi_a:=8000*0.03*3; Interessi_a Montante_a:=8000+Interessi_a; Montante_a Interessi_b:=8000*0.03*(2+3/12); Montante_b:=8000+Interessi_b; Interessi_b Montante_b (2.1) (2.2) (2.3) giorni_c:=(30-18) ; Interessi_c:=8000*0.03*(giorni_c)/360; Montante_c:=8000+Interessi_c; giorni_c 88 Interessi_c Montante_c Esercizio 2. 4 anni e mezzo fa ho investito un capitale X al tasso annuo del 5% in regime di capitalizzazione semplice. a) Sapendo che oggi dispongo di 6700 euro, determinare il capitale iniziale X (2.4)

4 b) Ho la possibilità di investire i 6700 euro al tasso del 3,5%, volendo ottenere un montante pari a 7000 euro, qual è la durata del nuovo investimento? (approssimare per eccesso) a:=solve(6700=x*(1+0.05*(48+6)/12),x); a tempo:=solve(7000=6700*( *t),t); tempo (2.5) (2.6) Devo impiegare la somma per 1, 0, anni ovvero 1 anno mesi:=(tempo-1)*12; mesi (2.7) 1 anni, 3 mesi e giorni:=(mesi-3)*30; giorni (2.8) 1 anno, 3 mesi e 11 giorni Esercizio 3. Deteminare il montante e gli interessi ottenuti impiegando un capitale di euro 8000 in regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale, al tasso annuo del 5% a) per 3 anni b) per 1 anni e 10 mesi c) per 25 giorni Soluzione:M=C(1+i) t dove C=8000 e i=0,05. a) Montante_a:=8000*(1+0.05)^3; Interessi_a:=Montante_a-8000; Montante_a b c) Interessi_a Montante_b:=8000*(1+0.05)^(1+10/12); Interessi_b:=Montante_b-8000; Montante_b Interessi_b Montante_c:=8000*(1+0.05)^(25/360); Interessi_c:=Montante_c-8000; Montante_c Interessi_c (2.9) (2.10) (2.11) Esercizio 3.bis Deteminare il montante e gli interessi ottenuti impiegando un capitale di euro 8000 in regime di capitalizzazione composta con convenzione lineare, al tasso annuo del 5% a) per 3 anni b) per 1 anni e 10 mesi c) per 25 giorni Soluzione:

5 a) b c) Montante_a:=8000*(1+0.05)^3; Interessi_a:=Montante_a-8000; Montante_a Interessi_a Montante_b:=8000*(1+0.05)*(1+0.05*10/12); Interessi_b:=Montante_b-8000; Montante_b Interessi_b Montante_c:=8000*(1+0.05*25/360); Interessi_c:=Montante_c-8000; Montante_c Interessi_c (2.12) (2.13) (2.14) Esercizio 4. Deteminare il montante ottenuti impiegando un capitale di euro 2000 in regime di capitalizzazione composta con convenzione lineare, al tasso annuo del 4% a) per due anni b) per tre anni e 7 mesi Soluzione: posto t=n+f M=C(1+i) n (1+if) dove C=2000 e i=0,04. Montante_a:=2000*(1+0.04)^2; Montante_a Montante_b:=2000*(1+0.04)^3*(1+0.04*7/12); Montante_b Esercizio 5. Determinare il capitale C che impiegato per 1 anni e mezzo in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, al tasso annuo del 6,5%, produce un montante pari a 16486, 01 euro Soluzione: C=M/(1+i) n dove M= 16486, 01 i=0,065 C:= /( )^(18/12); C (2.15) (2.16) (2.17) Esercizio 6. Si decide di impiegare la somma di 2700 euro per 2 anni e 8 mesi. Vengono proposte tre alternative. a) ritiro alla scadenza 3000 b) impiego la somma in regime di capitalizzazione semplice al tasso annuo effettivo del 3% c) impiego la somma in regime di capitalizzazione composta, convenzione lineare, al tasso annuo effettivo del 2,9% Determinare l'alternativa più conveniente. Al montante ottenuto aggiugo una somma X ed il capitale così ottenuto viene reimpiegato in regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale, al tasso semestrale effettivo del 4%, per 20 mesi. Determinare la somma X sapendo che il montante finale è paria euro. M_b:=2700*(1+0.03*32/12); M_b (2.18)

6 M_c:=2700*( )^(2)*( *8/12); M_c X:=10000/(1.04)^(20/6)-3000; X Esercizio 7. Determinare dopo quanto tempo un capitale di 4000 euro, impiegato in regime di capitalizzazione composta, convenzione esponenziale, al tasso annuo del 2%, produce un montante pari a 5100 euro Soluzione: (2.19) (2.20) restart: n:=log(m/c)/log(1+i); n=12 anni mesi:=(n-12)*12; mesi=3 giorni:=(mesi-3)*30; n M ln C ln 1 n:=evalf(ln(5100/4000)/ln(1+0.02)); n t= 12 anni, 3 mesi e 7 giorni. mesi giorni i (2.21) (2.22) (2.23) (2.24) Contronto tra i regimi di capitalizzazione semplice, composta con convenzione esponenziale e composta con convenzione lineare In regime di capitalizzazione semplice il fattore di montante è f t = 1 it In regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale il fattore di montante è f t = 1 i t In regime di capitalizzazione composta con convenzione lineare il fattore di montante è f t = 1 i n 1 i f Graficamente si ha: Confronto grafico tra regimi di capitalizzazione with(plots): a:=plot(1+0.5*t,t=0..3,color=green,thickness=2,legend=

7 `Capitalizzazione semplice`): b:=plot((1.5)^t,t=0..3,color=blue,legend=`capitalizzazione composta con convenzione esponenziale`): c:=plot((1+0.5)^(floor(t))*(1+0.5*(frac(t))),t=0..3, color= red,legend=`capitalizzazione composta con convenzione lineare`): display(a,b,c,view=[0..3, ]);

8 t Capitalizzazione semplice Capitalizzazione composta con convenzione esponenziale Capitalizzazione composta con convenzione lineare A parità di capitale impiegato e tasso di interesse i applicato: - il montante ottenuto in regime di capitalizzazione composta con convenzione lineare è maggiore di quello ottenuto negli altri due regimi.

9 - per periodo di tempo inferiori all'unità di tempo a cui si riferisce il tasso di interesse i, il montante ottenuto in regime di capitalizzazione semplice è maggiore di quello ottenuto in regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale. - per periodo di tempo superiori all'unità di tempo a cui si riferisce il tasso di interesse i, il montante ottenuto in regime di capitalizzazione composta con convenzione esponenziale è maggiore di quello ottenuto in regime di capitalizzazione semplice.