1. Lunedì 2/10/2017, ore: 2(2) Introduzione e presentazione del corso. Richiami: equazioni cardinali della dinamica.

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1 Registro delle lezioni di MECCANICA 2 Corso di Laurea in Matematica 8 CFU - A.A. 2017/2018 docente: Francesco Demontis ultimo aggiornamento: 19 dicembre Lunedì 2/10/2017, ore: 2(2) Introduzione e presentazione del corso. Richiami: equazioni cardinali della dinamica. 2. Mercoledì 4/10/2017, ore: 2(4) Principio di D Alembert. Prima forma delle equazioni di Lagrange per sistemi soggetti a vincoli olonomi e lisci. Determinismo della prima forma delle equazioni di Lagrange. Richiami sul teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy. 3. Giovedì 5/10/2017, ore: 2(6) Seconda forma delle equazioni di Lagrange per sistemi soggetti a vincoli olonomi e lisci. Determinismo delle equazioni di Lagrange. Caso di sollecitazione conservativa e funzione lagrangiana. Sistemi lagrangiani generali. 4. Venerdì 6/10/2017, ore: 2(8) Richiami sugli integrali primi: definizione e principali integrali finora incontrati (integrale primo della quantità di moto, del momento delle quantità di moto, dell energia meccanica). Momenti cinetici e coordinate cicliche. Funzione Hamiltoniana. Espressione della funzione Hamiltoniana nel caso di un sistema soggetto a vincoli lisci, olonomi e fissi e soggetto a una sollecitazione conservativa. Conservazione dell energia meccanica. Esempio: Determinazione delle equazioni di moto (equazioni di Newton) per un punto libero usando le equazioni di Lagrange.

2 Registro di Meccanica /18 - F. Demontis 2 5. Lunedì 9/10/2017, ore: 2(10) Integrali primo associato ad un equazione di moto della forma q = f(q) + g(q) q 2. Invarianza in forma delle equazioni di Lagrange (per cambiamenti invertibili di coordinate lagrangiane). Costruzione di Lagrangiane differenti che conducono alle stesse equazioni di Lagrange. 6. Mercoledì 11/10/2017, ore: 2(12) Moto di un punto vincolato ad una curva liscia e fissa. Esempio del pendolo semplice. 7. Giovedì 12/10/2017, ore: 2(14) Moto di un punto vincolato a stare su una superficie liscia e fissa: generalità. Nozioni di base sulle superfici: definizione, esempi, curve su una superficie, spazio tangente in un punto, versore normale alla superficie, prima forma quadratica fondamentale. Equazioni delle geodetiche su una superficie. 8. Venerdì 13/10/2017, ore: 2(16) Caratterizzazione del moto di un punto vincolato a stare su una superficie liscia e fissa in assenza di forze attive (moto spontaneo). Equazioni delle geodetiche in forma normale e simboli di Christoffel. 9. Martedì 17/10/2017, ore: 2(18) Potenziali generalizzati: definizione e loro caratterizzazione. Il caso della forza di Lorentz. 10. Mercoledì 18/10/2017, ore: 2(20) Determinazione del potenziale generalizzato associato alla forza di Lorentz. Cenno alle equazioni di moto nel caso di vincoli analonomi (equazioni di Maggi). Discussione di Weierstrass: motivazioni e primi casi di discussione.

3 Registro di Meccanica /18 - F. Demontis Giovedì 19/10/2017, ore: 2(22) Discussione (analitica) di Weierstrass (ovvero studio qualitativo dell equazione q 2 = f(q)). Esempio: Studio qualitativo del moto del pendolo semplice mediante discussione (analitica) di Weierstrass. 12. Lunedì 23/10/2017, ore: 2(24) Discussione di Weierstrass per via grafica (tracciamento del grafico corrispondente all energia potenziale). Esempio del pendolo semplice. Introduzione ai principi variazionali: discussione di vari esempi. Variazione di un funzionale: definizione. Punti di stazionarietà di un funzionale: definizione. 13. Mercoledì 25/10/2017, ore: 2(26) Variazione e punti di stazionarietà di un funzionale (caso scalare): definizione ed esempi. Le equazioni di Eulero per la stazionarietà di un funzionale. Principio di Hamilton per sistemi con un solo grado di libertà. 14. Giovedì 26/10/2017, ore: 2(28) Risoluzione del problema della brachistocrona con gli strumenti del calcolo delle variazioni. Principio di Hamilton ed equazioni di Eulero-Lagrange (caso n-dimensionale). 15. Giovedì 02/11/2017, ore: 2(30) Applicazione del principio di Hamilton: le geodetiche come curve su una superficie che rendono stazionario il funzionale che esprime la lunghezza delle curve passanti fra due dati punti della superficie. Equazioni canoniche di Hamilton (senza dimostrazione) e Hamiltoniana.

4 Registro di Meccanica /18 - F. Demontis Lunedì 06/11/2017, ore: 2(32) Dimostrazioni delle equazioni di Hamilton (tramite la trasformata di Legendre). Espressione dell Hamiltoniana nel caso in cui la lagrangiana sia della forma T + U e significato fisico dell Hamiltoniana. Esempi di Hamiltoniane: 1) Hamiltoniana in coordinate cartesiane per un punto di massa m soggetto a una sollecitazione conservativa; 2) Hamiltoniana e equazioni di Hamilton nel caso di un punto di massa m soggetto a una forza centrale. 17. Martedì 07/11/2017, ore: 2(34) Approfondimento sulla trasformata di Legendre. Coordinate cicliche e integrali primi. Metodo di Routh. Illustrazione del metodo di Routh nel caso di un punto di massa m soggetto a una forza centrale. 18. Mercoledì 08/11/2017, ore: 2(36) Determinazione delle equazioni di Hamilton con il principio di Hamilton esteso. Versione lagrangiana del teorema di Noether (senza dimostrazione) e integrali primi. Esempi che illustrano il teorema di Noether. 19. Martedì 21/11/2017, ore: 1(37) Trasformazioni puntuali (estese). Definizione di trasformazione canoniche. Esempio di una trasformazione invertibile e regolare nello spazo delle fasi che non è canonica. 20. Mercoledì 22/11/2017, ore: 2(39) Esempi di trasformazioni canoniche. Teorema (di Lie) della canonicità di una trasformazione canonica (dimostrazione della sola condizione necessaria). 21. Giovedì 23/11/2017, ore: 2(41) Funzioni generatrici di funzioni canoniche e trasformazioni canoniche da esse definite. Esempi.

5 Registro di Meccanica /18 - F. Demontis Giovedì 23/11/2017, ore: 2(43) Cenni all equazione di Hamilton-Jacobi. Parentesi di Poisson: definizione e loro proprietà algebriche. Collegamento fra parentesi di Poisson e integrali primi del moto. Equazioni di Hamilton espresse tramite le parentesi di Poisson. Invarianza delle parentesi di Poisson sotto trasformazioni canoniche (senza dimostrazione). 23. Lunedì 27/11/2017, ore: 2(45) Definizione di configurazione di equilibrio stabile secondo Lyapunov. Dimostrazione del teorema di Dirichlet-Lagrange (stabilità configurazioni di equilibrio). Enunciato del teorema di Ljapunov-Chetaev (instabilità configurazioni di equilibrio). Criteri per stabilire l instabilità delle configurazioni di equilibrio. 24. Mercoledì 29/11/2017, ore: 2(47) Piccole oscillazioni attorno a una configurazione di equilibrio stabile per sistemi olonomi tipici con un solo grado di libertà. Esercizio (assegnato in una precedente sessione d esame) sulle piccole oscillazioni attorno a una configurazione di equilibrio stabile per un sistema olonomo tipico con un solo grado di libertà. 25. Giovedì 30/11/2017, ore: 2(49) Ho terminato lo svolgimento dell esercizio d esame iniziato la lezione precedente. Linearizzazione dell equazione di moto per sistemi olonomi tipici con un solo grado di libertà e carattere delle soluzioni ottenute. Ho iniziato a trattare lo studio delle piccole oscillazioni attorno a una configurazione di equilibrio stabile per sistemi olonomi tipici con due gradi di libertà.

6 Registro di Meccanica /18 - F. Demontis Lunedì 04/12/2017, ore: 2(51) Piccole oscillazioni per un sistema olonomo tipico con due gradi di libertà attorno a una configurazione di equilibrio stabile. Variabili normali. Composizione di moti armonici. Studio delle piccole oscillazioni attorno a una configurazione di equilibrio stabile per sistemi a vincoli olonomi tipici con n gradi di libertà. Variabili normali. Linearizzazione delle equazioni di moto per un sistema olonomo tipico con n gradi di libertà attorno a una configurazione di equilibrio. 27. Mercoledì 06/12/2017, ore: 2(53) Linearizzazione delle equazioni di moto per un sistema olonomo tipico con N gradi di libertà attorno a una configurazione di equilibrio: Analisi del moto approssimato (modi normali oscillatori, lineari e esponenziali e loro contributo, moto approssimato). Ho iniziato lo svolgimento di un esercizio assegnato in una precedente sessione d esame (su stabilità e moti in prima approssimazione per un sistema olonomo tipico con due gradi di libertà attorno a una configurazione di equilibrio). 28. Giovedì 07/12/2017, ore: 2(55) Ho completato lo svolgimento dell esercizio assegnato in una precedente sessione d esame sui moti in prima approssimazione per un sistema olonomo tipico con due gradi di libert attorno a una configurazione di equilibrio stabile. 29. Lunedì 11/12/2017, ore: 2(57) Forze centrali: definizioni e principali proprietà. Studio qualitativo del moto di un punto in un campo centrale soggetto a una forza gravitazionale. 30. Mercoledì 13/12/2017, ore: 2(59) Determinazione della traiettoria di un punto in un campo centrale: il caso della forza gravitazionale. Legame fra eccentricità della conica e energia del sistema e rappresentazione della conica in coordinate cartesiane (sempre nel caso di forza gravitazionale). Prime due leggi di Keplero per il moto di un punto in un campo centrale.

7 Registro di Meccanica /18 - F. Demontis Giovedì 14/12/2017, ore: 2(61) Dimostrazione della terza legge di Keplero per il moto di un punto in un campo centrale. Il problema dei due corpi. 32. Lunedì 18/12/2017, ore: 2(63) Equazioni cardinali per lo studio della dinamica del corpo rigido. Corpo rigido con un punto fisso: equazioni di Eulero. Dinamica del corpo rigido con un punto fisso: moti per inerzia. Integrali primi dei moti per inerzia. 33. Martedì 19/12/2017, ore: 2(65) Rotazioni permanenti. Solidi a struttura giroscopica. Carattere precessionale del moto dei solidi a struttura giroscopica. Corpo rigido con un asse fisso e liscio.