Esercitazione di Meccanica Razionale 16 novembre 2016 Laurea in Ingegneria Meccanica Latina

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1 Esercitazione di Meccanica Razionale 16 novembre 2016 Laurea in Ingegneria Meccanica Latina Quesito 1. Si studino i sistemi olonomi elencati nei quesiti seguenti seguendo lo schema qui proposto: costruzione del modello cinematico, individuazione del numero di gradi di libertà e definizione delle coordinate lagrangiane; espressione della velocità angolare delle componenti rigide eventualmente presenti in termini delle coordinate lagrangiane; determinazione dell energia cinetica del sistema; individuazione delle componenti della sollecitazione conservative in senso lagrangiano e determinazione dell associata energia potenziale lagrangiana; individuazione delle componenti della sollecitazione non conservative e calcolo delle associate componenti lagrangiane; determinazione delle equazioni pure del moto; determinazione delle configurazioni di equilibrio e studio della stabilità; eventuale discussione qualitativa dei moti del sistema; eventuale integrazione esplicita delle equazioni pure del moto (determinazione di tutti i moti del sistema); eventuale studio delle piccole oscillazioni attorno ai punti di equilibrio stabile (solo studenti del Laboratorio di Meccanica Razionale). Quesito 2. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una sbarretta pesante omogenea di massa m e lunghezza l vincolata a muoversi su un piano verticale (fisso rispetto all osservatore terrestre). I due estremi della sbarretta sono vincolati a muoversi rispettivamente su una retta orizzontale r e una verticale s appartenenti al piano del moto. Sull estremo della sbarretta vincolato a muoversi sulla retta s agisce una forza elastica di costante k > 0 e centro posto sulla medesima retta s a distanza 2l dal punto di intersezione delle rette r e s. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore terrestre.

2 Quesito 3. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una sbarretta pesante omogenea di massa m e lunghezza l vincolata a muoversi su un piano verticale fisso rispetto all osservatore terrestre. I due estremi della sbarretta sono vincolati a muoversi rispettivamente su una retta orizzontale r e una verticale s appartenenti al piano del moto. Sull estremo della sbarretta vincolato a muoversi sulla retta r agisce una forza elastica di costante k > 0 e centro posto sulla medesima retta r e a distanza 2l dal punto di intersezione delle due rette r e s. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore terrestre. Quesito 4. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo di massa m e raggio r vincolato a muoversi in un piano verticale (fisso rispetto all osservatore terrestre) mantenendosi costantemene a contatto con una retta orizzontale s appartenente al piano del moto. Il moto è di puro rotolamento. Sul centro del disco agisce la forza elastica di costante k > 0 e centro posto sulla retta s. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore terrestre. Quesito 5. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo di massa m e raggio r vincolato a muoversi in un piano verticale (fisso rispetto all osservatore terrestre) mantenendosi costantemene a contatto con una retta orizzontale s appartenente al piano del moto. Il moto è di puro rotolamento. Sul centro del disco agisce la forza elastica di costante k > 0 e centro posto sulla retta s e la forza costante orizzontale di intensità F parallela alla retta s. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore terrestre. Quesito 6. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una sbarretta pesante omogenea di massa m e lunghezza l vincolata a muoversi su un piano verticale. Il piano del moto ruota con velocità angolare costante α rispetto all osservatore terrestre attorno alla retta verticale s fissa rispetto all osservatore terrestre. I due estremi della sbarretta sono vincolati a muoversi rispettivamente sulla retta s e su una retta orizzontale r appartenente al piano del moto. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore solidale al piano del moto. Quesito 7. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo angolare costante rispetto all osservatore terrestre e attorno a un asse appartenente al piano stesso. Il disco si muove mantenendosi costantemene a contatto con una retta orizzontale appartenente al piano del moto. Il moto è di puro rotolamento. Sul centro del disco agisce la forza costante parallela alla retta di appoggio di intensità F. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore solidale al piano del moto.

3 Quesito 8. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo angolare costante rispetto all osservatore terrestre e attorno a un asse appartenente al piano stesso. Il disco si muove mantenendosi costantemene a contatto con una retta orizzontale appartenente al piano del moto. Il moto è di puro rotolamento. Sul centro del disco agisce la forza elastica di costante k > 0 e di centro C(t) in moto armonico semplice sulla retta di appoggio con elongazione A e pulsazione λ. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore solidale al piano del moto. Quesito 9. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo angolare costante rispetto all osservatore terrestre e attorno all asse s appartenente al piano stesso. Il disco si muove mantenendosi costantemente a contatto (dall esterno) con una circonferenza appartenente al piano del moto, di raggio R > r e centro sulla retta s. Il moto è di puro rotolamento. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore solidale al piano del moto. Quesito 10. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una disco pesante omogeneo angolare costante rispetto all osservatore terrestre e attorno all asse s appartenente al piano stesso. Il disco si muove mantenendosi costantemente a contatto (dall interno) con una circonferenza appartenente al piano del moto, di raggio R > r e centro sulla retta s. Il moto è di puro rotolamento. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore solidale al piano del moto. Quesito 11. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da un cono circolare retto pesante omogeneo di massa m, raggio di base r e altezza h vincolato a muoversi appoggiato a un piano orizzontale fisso rispetto all osservatore terrestre. Il moto è di puro rotolamento. Sul centro della base del cono agisce la forza elastica di costante k > 0 e centro posto sul piano di appoggio. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore terrestre. Quesito 12. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare all osservatore terrestre. La lamina si muove mantenendosi verticale, ovvero durante il moto una retta solidale alla lamina, a questa ortogonale e passante per il punto fisso si mantiene nel piano orizzontale passante per il punto fisso. Sul punto del bordo del disco opposto a quello fisso agisce la forza elastica di costante k > 0 e di centro posto alla stessa quota del

4 punto fisso e a distanza 2r da esso. Si consideri il moto della lamina rispetto all osservatore terrestre (gradi di libertà 2). Quesito 13. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare all osservatore terrestre. La lamina si muove mantenendosi verticale, ovvero durante il moto una retta solidale alla lamina, a questa ortogonale e passante per il punto fisso si mantiene nel piano orizzontale passante per il punto fisso. Sul punto del bordo del disco opposto a quello fisso agisce una forza costante orizzontale. Si consideri il moto della lamina rispetto all osservatore terrestre (gradi di libertà 2). Quesito 14. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare all osservatore terrestre. Sul punto del bordo del disco opposto a quello fisso agisce la forza elastica di costante k > 0 e di centro posto alla stessa quota del punto fisso e a distanza 2r da esso. Si consideri il moto della lamina rispetto all osservatore terrestre (gradi di libertà 3). Quesito 15. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una sbarretta pesante omogenea di lunghezza l e massa m con un suo estremo fisso rispetto all osservatore terrestre. Sull estremo libero agisce la forza elastica di costante k > 0 e di centro posto alla stessa quota del punto fisso e a distanza 2l da esso. Si consideri il moto della sbarretta rispetto all osservatore terrestre (gradi di libertà 2). Quesito 16. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una sbarretta pesante omogenea di lunghezza l e massa m con un suo estremo fisso rispetto all osservatore terrestre. Sull estremo libero agisce una forza costante orizzontale. Si consideri il moto della sbarretta rispetto all osservatore terrestre (gradi di libertà 2). Quesito 17. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare pesante omogenea di raggio R e massa M con un elemento del suo bordo fisso rispetto all osservatore terrestre. La lamina si muove mantenendosi in un piano verticale fisso rispetto all osservatore terrestre. Sulla retta del piano del moto passante per il punto fisso della lamina è vincolato a muoversi un elemento di massa m. L elemento del bordo del disco opposto a quello fisso si scambia con l elemento di massa m la forza elastica di costante k > 0. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore terrestre (gradi di libertà 2). Quesito 18. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare pesante omogenea di raggio R e massa M con un elemento del suo bordo vincolato a muoversi

5 sulla retta s orizzontale fissa rispetto all osservatore terrestre. La lamina si muove mantenendosi nel piano verticale fisso rispetto all osservatore terrestre e passante per s. Sulla retta s è vincolato a muoversi un elemento di massa m. L elemento del bordo del disco opposto a quello vincolato alla retta s scambia con l elemento di massa m la forza elastica di costante k > 0. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore terrestre (gradi di libertà 3). Quesito 19. Un sistema olonomo a vincoli perfetti è costituito da una lamina circolare pesante omogenea di raggio R e massa M vincolato a muoversi su un piano verticale in moto rotatorio uniforme rispetto all osservatore terrestre. Un elemento del bordo del disco è vincolato a muoversi sulla retta s orizzontale appartenente al piano del moto. Sulla retta s è vincolato a muoversi un elemento di massa m. L elemento del bordo del disco opposto a quello vincolato alla retta s scambia con l elemento di massa m la forza elastica di costante k > 0. Si consideri il moto del sistema rispetto all osservatore solidale al piano del moto (gradi di libertà 3).