CAPACITA APPLICATIVE Applicazione dei concetti sopra detti per la risoluzione di problemi legati all analisi e alla geometria.

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1 Analisi 4 Docente: Claudia Anedda SSD: MAT/05 Codifica dell Ateneo: Tipologia: Integrato: (NO) Anno di corso: secondo Semestre: secondo Sede lezioni: Dipartimento di Matematica e Informatica CFU: 8 (64 ore di lezioni frontali) Prerequisiti: programma dei corsi di analisi 1, 2, 3. Propedeuticità: analisi 1, 2, 3. Obiettivi formativi: apprendimento dei concetti quali convergenza puntuale e uniforme di serie di funzioni (in particolare di serie di potenze e serie di Fourier), curve nel piano e nello spazio, forme differenziali, superfici e loro applicazioni, integrali curvilinei e superficiali, funzioni implicite ed estremi vincolati. Descrittori europei CONOSCENZA E CAPACITA DI COMPRENSIONE Conoscenza dei concetti quali serie di funzioni, curve nel piano e nello spazio, forme differenziali, superfici, integrali curvilinei e superficiali, funzioni implicite, estremi vincolati. CAPACITA APPLICATIVE Applicazione dei concetti sopra detti per la risoluzione di problemi legati all analisi e alla geometria. AUTONOMIA DI GIUDIZIO Comprensione di ragionamenti logici e consequenziali utilizzati nelle dimostrazioni, analisi e costruzione di modelli matematici per la risoluzione di problemi. ABILITÀ NELLA COMUNICAZIONE

2 Esposizione dei concetti con un linguaggio preciso e appropriato e capacità di confronto e collaborazione. CAPACITÀ DI APPRENDERE Capacità di operare collegamenti con argomenti affrontati in altri corsi. Programma Serie di funzioni: definizione; convergenza puntuale e uniforme; la serie geometrica; criterio di Cauchy; convergenza assoluta; convergenza totale; Teorema: la convergenza totale implica la convergenza uniforme (c.d.); teorema della convergenza totale per successioni a valori in uno spazio di Banach (c.d.); cenni sugli spazi di Banach e qualche esempio; criterio di Weierstrass (c.d.); teorema del limite di una serie; somma di una serie uniformemente convergente di funzioni continue; teorema della derivata di una serie; teorema dell integrale di una serie. Esempi. Serie di potenze: definizione; insieme di convergenza di una serie di potenze (c.d.); raggio di convergenza; criterio della radice (o di Cauchy-Hadamard); criterio del rapporto (o di d Alembert) (c.d.); esempi; convergenza uniforme di una serie di potenze (c.d.); definizione di funzione derivabile in senso complesso; serie delle derivate di una serie di potenze (c.d.); proprietà della funzione somma di una serie di potenze (c.d.); relazioni tra la somma di una serie di potenze e i coefficienti della serie (c.d.); esempi; comportamento di una serie di potenze sulla frontiera del cerchio di convegenza; serie integrale; teorema di Abel; serie di Taylor; esempio di funzione infinitamente derivabile con continuità non sviluppabile in serie di McLaurin; condizione sufficiente di sviluppabilità in serie di Taylor (c.d.); funzioni analitiche; differenza tra funzioni analitiche in senso reale e funzioni analitiche in senso complesso; esempi di funzioni sviluppabili in serie di Taylor: serie esponenziale; serie iperboliche; serie circolari; serie geometrica; serie logaritmica; serie binomiale. Costruzione dello sviluppo in serie di Taylor di funzioni a partire dallo sviluppo in serie noti; esempi. Serie di Fourier: definizione; periodicità; condizione sufficiente di convergenza; relazione tra i coefficienti e la somma della serie; calcolo dei coefficienti; serie di Fourier associata a una funzione; caso particolare di funzioni pari o dispari; esempi; serie di funzioni ortogonali; serie di Fourier nel campo complesso; un interpretazione musicale della serie di Fourier (cenni); polinomio trigonometrico; la disuguaglianza di Bessel (c.d.); funzioni continue a tratti; condizione di Dirichlet; teorema sulla convergenza puntuale; teorema sulla convergenza puntuale per funzioni che possono avere anche discontinuità di seconda specie; teorema sulla convergenza uniforme

3 (c.d.); convergenza uniforme locale ; teorema sull integrale di una serie di Fourier (c.d.); esempi. Funzioni implicite: definizione; esempi; teorema di Dini (c.d.); equazione della retta tangente al grafico di una funzione implicita in un punto; regolarità delle funzioni implicite; punti critici o singolari; linee di livello; ortogonalità tra il vettore gradiente della funzione implicita in un punto regolare e la tangente al grafico della funzione implicita in quel punto; teorema globale sulle funzioni implicite, esempi; il teorema delle funzioni implicite in più di due variabili; equazione del piano tangente al grafico di una funzione implicita in un punto non singolare; superfici di livello; ortogonalità tra il gradiente della funzione implicita e il piano tangente a una superficie di livello in un punto non singolare; funzioni definite da un sistema di equazioni; teorema di inversione locale; esempi di funzioni definite da un sistema di due equazioni in tre incognite. Curve nel piano e nello spazio: definizione di curva; proprietà e caratteristiche; esempi; curve in forma parametrica; curve cartesiane; curve in forma implicita; curve in forma polare; curve regolari; vettore velocità e accelerazione; versore tangente; esempi; cambi di parametro; curve equivalenti; curve rettificabili; esempio di curva non rettificabile; lunghezza di una curva; invarianza della lunghezza rispetto a cambi di parametro (c.d.); unione di più curve; ascissa curvilinea; versore normale principale e binormale; curvatura e torsione (cenni e qualche esempio); integrali curvilinei di prima specie: definizione, proprietà e applicazioni; forme differenziali lineari; integrali curvilinei di seconda specie; proprietà; orientazione positiva per curve di Jordan regolari; esempi: lavoro che il campo di forze gravitazionale newtoniano compie per spostare una particella da un punto a un altro del campo lungo una curva; flusso di un fluido che si muove di moto piano stazionario; teorema dell energia cinetica; forme differenziali esatte; forme differenziali chiuse; legame tra integrale curvilineo di seconda specie e funzione potenziale (c.d.); esempio di forma differenziale chiusa ma non esatta; integrali curvilinei su curve chiuse e su curve aventi stesso punto iniziale e finale (c.d.); condizione necessaria per l esattezza di una forma differenziale; condizione necessaria e sufficiente in insiemi stellati (c.d.); condizione necessaria e sufficiente in insiemi semplicemente connessi (cenni della dimostrazione); curve omotope; costruzione della funzione potenziale per forme differenziali esatte; esempi. Superfici in R 3 : definizione; superfici in forma parametrica; superfici cartesiane; punti regolari e significato geometrico; esempi; superfici definite implicitamente; bordo di una superficie; superfici regolari a pezzi; linee coordinate e coordinate locali; cambiamento regolare di parametri; parametrizzazioni equivalenti; superfici di rotazione; versore normale; piano tangente a una superficie; orientazione; esempi di superfici non orientabili; area di una superficie; integrali

4 superficiali; calcolo di baricentri e momenti di inerzia; flussi di campi vettoriali attraverso una siperficie; esempi; cenni di ipersuperfici e varietà differenziabili. I teoremi di Gauss, Green e Stokes: formula di Gauss-Green nel piano (c.d.); formula di Gauss-Green in domini semplicemente decomponibili (c.d.); applicazioni della formula di Gauss-Green: calcolo di aree mediante integrali curvilinei; esempi; invarianza rispetto a deformazioni della traiettoria per integrali curvilinei di campi vettoriali irrotazionali (c.d.); significati fisici della formula di Gauss-Green: la formula di Stokes nel piano; la formula della divergenza nel piano; orientazione positiva del bordo di una superficie rispetto all orientazione della superficie; il teorema di Stokes nello spazio; il teorema di Gauss (o della divergenza); esempi. Estremi vincolati: massimi e minimi vincolati con vincoli di uguaglianza e disuguaglianza; esempi; insieme vincolo e funzione obiettivo (funzioni di due variabili); punti critici condizionati; esempi in cui dall equazione del vincolo si può esplicitare una variabile in funzione dell altra; esempi in cui l insieme vincolo coincide con una curva di cui si può trovare una parametrizzazione; metodo dei moltiplicatori di Lagrange; condizione necessaria e sufficiente affinché un punto regolare per l insieme vincolo sia punto critico vincolato (c.d.); funzione Lagrangiana; matrice hessiana orlata; esempi; interpretazione geometrica e meccanica della Lagrangiana; generalizzazione a funzioni di n variabili con m < n vincoli (cenni). c.d. = (con dimostrazione) Testi di riferimento (testi adottati e testi di consultazione) C.D. Pagani, S. Salsa - Analisi Matematica Vol. 2 ZANICHELLI; C.D. Pagani, S. Salsa - Analisi Matematica Vol. 1 ZANICHELLI; E. Giusti - Analisi Matematica Vol. 2 BOLLATI BORINGHIERI; N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone Elementi di Analisi Matematica 2 LIGUORI EDITORE; P. Marcellini, C. Sbordone Esercitazioni di Matematica 2 volume, parte prima e seconda LIGUORI EDITORE. Strumenti didattici: Lavagna, proiettore. Metodi didattici: Lezioni frontali, esercitazioni, correzione degli esercizi assegnati. Lingua di insegnamento: Italiano Materiale didattico a disposizione degli studenti

5 Esercizi svolti in aula; esercizi e soluzioni delle prove scritte precedenti; esempi sugli argomenti del corso. Modalità di iscrizione all esame Per gli studenti immatricolati dall a.a. 2008/2009: da effettuare mediante la procedura di iscrizione online sul sito Per gli studenti immatricolati prima dell a.a. 2008/2009: da effettuare tramite comunicazione via mail al docente almeno due giorni prima della prova. Modalità d esame Una prova scritta e una orale; per gli studenti che seguono il corso sono previste due prove scritte in itinere e una prova orale; chi non supera le prove scritte non può accedere alla prova orale. Commissione d esame Consultabile sulla bacheca.