3 ore Integrali di Fresnel Serie bilatere. Sviluppo in serie di Laurent. Teorema di Laurent, sviluppabilità in serie bilatera.

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Flaviana Grilli
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1 Lezioni Svolte Curve (14 ore) Presentazione del corso. Funzioni a valori vettoriali. Definizione di limite e di funzione continua. Curve (arco di curva parametrica). Definizione di curva continua, semplice e chiusa. Derivata di una curva: significato geometrico. Retta tangente. Curve regolari e generalmente regolari. Esempi di curve. Curve in coordinate polari. Curve rettificabili. Lunghezza di una curva. Teorema di rettificabilità delle curve regolari. Esempio di curve non rettificabili. Cambiamenti di parametro. Curve equivalenti. Orientazione. Invarianza della lunghezza. Integrale curvilineo (di prima specie) di una funzione. Invarianza dell'integrale per parametrizzazioni equivalenti e cambi di orientazione. Ascissa curvilinea. Esempi. Applicazioni: calcolo del baricentro e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di una linea materiale. Esempi. Curve nello spazio. Curvatura e torsione. Versore tangente, normale e binormale. Triedro fondamentale. Campi vettoriali nello spazio e in R^n. Lavoro di un campo di forze lungo un cammino orientato (integrale curvilineo di seconda specie). Esempi: campo elettrico e gravitazionale. 1-Forme differenziali ed equivalenza tra forme e campi. Esempio: il differenziale di una funzione reale di più variabili reali. Invarianza per curve equivalenti ed equiorientate. Differenziabilità delle funzioni composte. Integrazione delle forme esatte. Teorema di caratterizzazione delle forme esatte. Forme esatte e chiuse. Esempio di forme chiuse e non esatte. Domini stellati e semplicemente connessi. Teorema di Poincare'. Integrazione multipla, superfici e teorema della divergenza (19 ore) Teorema di Poincaré. Fome chiuse e localmente esatte. Esempi di calco,lo di potenziale: legge di Biot-Savart. Integrali doppi. Definizione di dominio normale e sua misura. Lemma di esistenza di una delta griglia. Partizioni in insiemi normaili. Somme superiori e inferiori.integrale di Riemann. Interpretazione dell'integrale doppio come volume. Esempi Funzioni uniformemente continue e teorema di Heine Cantor. Integrabilità delle funzioni continue.

2 Formule di riduzione Formule di riduzione e teorema di Fubini. Applicazioni dell'integrale doppio al calcolo del baricentro e dei momenti d'inerzia. Cambi di coordinate per trasformazioni lineari. Trasformazioni di coordinate ammissibili e formula del cambiamento di coordinate negli integrali doppi. Coordinate polari nel piano. Esempi. Integrale su un insieme limitato. Insiemi misurabili e loro area. Esercizi sui cambi di variabili. Teorema di Jordan. Convenzione sull'orientazione dei circuiti nel piano. Formule di Gauss-Green. Teorema della divergenza. Formula di Stokes. Teorema di Poincare' su stellati. Integrazione per parti. Formule dell'area. Integrale su un insieme limitato di R^3. Formule di riduzione. Applicazioni dell'integrale triplo al calcolo del baricentro e dei momenti d'inerzia rispetto a un asse fissato di un corpo solido materiale. Trasformazioni di coordinate ammissibili. Formula del cambiamento di coordinate negli integrali tripli. Coordinate sferiche e coordinate cilindriche nello spazio. Esempi. Integrali tripli: esempi. Superfici regolari. Superfici equivalenti. Normale. Area di una superficie. Integrali di superficie e invarianza per superfici equivalenti. Superfici come grafici e superfici di rotazione. Esempi. Superfici di rotazione: coni e tori. Teoremi di Guldino. Superfici orientabili e nastro di Moebius. Flusso di un campo attraverso una superficie. Superfici con bordo e orientazione indotta. Teorema della divergenza e del rotore. Equazioni differenziali ordinarie (15 ore) Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine in forma normale. Definizione di soluzione. Funzioni localmente Lipschitziane.Condizione iniziale. Problema di Cauchy. Teorema di esistenza di Peano. Teorema di esistenza e unicità. Soluzioni massimali. Equazioni a variabili separabili. 4 ore Equivalenza tra equazioni e sistemi. Equazioni differenziali di ordine n omogenee e non omogenee. Spazio delle soluzioni per equazioni omogenee e non. Equazioni del primo ordine: formula risolutiva. Esempi. Cenni sulle serie di Fourier

3 Equazioni del 2^o ordine omogenee. Definizione di Wronskiano e teorema del Wronskiano. Equazioni non omogenee: metodo di somiglianza. Esempi. Formula di variazione delle costanti. Esempi. Battimenti e risonanza. Circuiti RLC. Analisi complessa (27 ore) Il campo complesso. Proprietà algebriche. Numeri complessi: forma algebrica e forma trigonometrica. Formule di de Moivre. Potenze e radici n-esime. Equazioni in campo complesso. Limiti complessi, proiezioni stereografiche. Regioni fondamentali: potenze radici, esponenziali e logaritmi. Continuità, derivabilità, differenziabilità. Condizioni di Cauchy-Riemann. Condizioni di Cauchy-Riemann, cond. di Cauchy-Riemann in coord. polari. Funzioni olomorfe: esempi. Proprietà elementari della derivata. Definizione di integrale complesso Proprietà elementari dell' integrale complesso. Integrali e forme differenziali e loro relazione. Primitive di una funzione. Funzioni che ammettono primitive e loro caratterizzazione, corrispondenza con le forme. Teorema dell'integrale nullo di Cauchy e sue conseguenze. Formula integrale di Cauchy. Serie di potenze in campo complesso. Richiami sulle serie di potenze in campo reale e complesso. Teorema di derivazione per serie. Funzioni analitiche. Analiticità delle funzioni olomorfe. Alcune proprietà delle funzioni analitiche: principio di identità, prolungamento analitico. Integrali di Fresnel Serie bilatere. Sviluppo in serie di Laurent. Teorema di Laurent, sviluppabilità in serie bilatera. Teorema dei residui. Calcolo di integrali con il metodo dei residui.

4 Lemma del grande cerchio e del piccolo cerchio. Lemma di Jordan. Esercizi vari. Disuguaglianze di Cauchy. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Esercizi vari. Classificazione delle singolarità: eliminabili, polari ed essenziali. Serie di Fourier (5 ore) Esercizi sulle serie bilatere. Prodotti di serie. Serie di Fourier: Spazi L^p, spazi metrici, normati ed euclidei. Proiezioni ortogonali. Disuguaglianza di Bessel. Convergenza puntuale e uniforme delle serie di Fourier. Identità di Parceval Definizione di trasformata di Fourier (TF), e sua relazione con le serie di Fourier (formula di inversione). Trasformata di Fourier (5 ore) Continuità e proprietà asintotiche della TF. Teorema della convergenza dominata di Lebesgue (enunciato). Formula di inversione e di dualità. Proprietà algebriche e differenziali della TF. TF della derivata e derivata della TF. I teoremi di Fubini e Tonelli (enunciato). Prodotto di convoluzione e sua TF. Esempi. Esempi di TF. Prodotto di convoluzione e sua TF. Esempi. Funzioni a decrescenza rapida e operatore TF su tale spazio. Teorema di Plancherel. Definizione di trasformata di Laplace (TL). Primi esempi di TL. Trasformata di Laplace e funzioni speciali (5 ore) Proprietà asintotiche della TL. Derivata della TL e TL della derivata Teorema del valore finale e del valore iniziale. Inversione della TL e legame con la trasformata di Fourier. TL di segnali periodici.

5 Prodotto di convoluzione e sua TL. Funzioni Gamma e Beta di Eulero.

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