Parte I Identificazione di modelli dinamici. 5: Analisi di sistemi dinamici alimentati da processi stazionari. Parte I 5, 1

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1 Parte I 5, 1 Parte I Identificazione di modelli dinamici 5: Analisi di sistemi dinamici alimentati da processi stazionari

2 Parte I 5, 2 Consideriamo un sistema dinamico lineare tempo-invariante con funzione di trasferimento : dove

3 Parte I 5, 3 Ricordiamo che se tutti i poli di circonferenza unitaria, e se sono interni alla allora a regime dove Valutazione di sulla circonferenza unitaria

4 Parte I 5, 4 Per l ipotesi di linearita` si ha: Risposta forzata (c.i. nulle) Risposta libera (ingresso nullo) Poi: dove e` la risposta impulsiva del sistema Per l ipotesi di asintotica stabilita`abbiamo

5 Parte I 5, 5 Quindi: Se tutti i poli di sono interni alla circonferenza unitaria, qualunque siano le condizioni iniziali, per si ha Formula di convoluzione

6 Parte I 5, 6 Supponiamo ora che atteso nullo, ovvero sia un processo stocastico con valore stazionarieta`

7 Parte I 5, 7 Avendo stabilito che il processo ha valore atteso nullo le funzioni di covarianza coincideranno con le funzioni di correlazione. Quindi:

8 Parte I 5, 8 Avendo ipotizzato che il processo sia stazionario, si perviene immediatamente alle importanti relazioni: Quindi la funzione di correlazione tra i processi d ingresso e di uscita e` la convoluzione tra la risposta impulsiva e la funzione di auto-correlazione dell ingresso. Analogamente, la funzione di auto-correlazione del processo d uscita e` data dalla convoluzione tra la risposta impulsiva e la funzione di correlazione uscita-ingresso.

9 Parte I 5, 9 Introduciamo ora le trasformate Z bilatere delle diverse funzioni di correlazione possibili:

10 Parte I 5, 10 Ricordando la definizione di densita` spettrale di potenza, si ha quindi: dove e prendono il nome di spettri complessi di ingresso e d uscita

11 Parte I 5, 11 Proprieta` (pero` in generale )

12 Parte I 5, 12 ma Si tratta di un risultato di grande importanza: si puo` calcolare lo spettro complesso del processo stazionario in uscita da un sistema asintoticamente stabile e alimentato da un processo stazionario in ingresso.

13 Parte I 5, 13 Tornando nel dominio della frequenza Anche questo e` un risultato notevole perche` mette in relazione la densita` spettrale con la risposta in frequenza.

14 Parte I 5, 14 Processi stazionari a spettro razionale di uso piu` comune Rumore bianco Processo a media mobile (MA Moving average ) Processo auto-regressivo (AR Auto-regressive ) Processo auto-regressivo ed a media mobile (ARMA) Come vedremo una caratteristica comune di questi processi sara` quella di essere generati a partire da un rumore bianco opportunamente filtrato.

15 Parte I 5, 15 Rumore bianco Come si vede dalla funzione di correlazione, in un processo bianco i valori del processo in istanti diversi non hanno alcun legame reciproco, ovvero la conoscenza di non e` di alcun aiuto per stimare

16 Processo MA Parte I 5, 16 Dato un rumore bianco Si definisce come processo MA di ordine ) il processo (e lo si indica con Quindi e` una combinazione lineare (media) dei valori assunti dal rumore bianco nella finestra temporale da a. Al variare di questa finestra si sposta (mobile)

17 Esempio 1 Parte I 5, 17 Si consideri il processo : Valore atteso:

18 Funzione di correlazione (= funzione di covarianza visto il valore atteso nullo): A priori potrebbe non essere stazionario Parte I 5, 18

19 Parte I 5, 19

20 Parte I 5, 20 In generale: Notiamo che e` in realta` sempre funzione solo di per cui il processo e` stazionario.

21 Quindi: Parte I 5, 21 Due casi possibili: tendenza a mantenere il segno in istanti contigui tendenza a cambiare segno in istanti contigui

22 Esempio 2 Parte I 5, 22 Si consideri il processo : Valore atteso:

23 Funzione di correlazione (= funzione di covarianza visto il valore atteso nullo): Parte I 5, 23 Con semplici calcoli analoghi al caso precedente si ottiene: Anche ora notiamo che e` in realta` sempre funzione solo di per cui il processo e` stazionario.

24 Parte I 5, 24 In generale si dimostra che per un processo si ha: Che il processo sia stazionario non deve sorprendere: e` costruito come combinazione lineare di campioni di un processo stazionario. Evidentemente:

25 Parte I 5, 25 Riconsideriamo ora l espressione generale per un processo : Utilizzando l operatore ritardo unitario abbiamo: dove si e` posto La funzione di trasferimento e` quindi che e` asintoticamente stabile ( poli nell origine)

26 Parte I 5, 26 Osservazione importante Caratterizziamo i processi stazionari tramite media e funzione di covarianza Nel caso del processo di covarianza e` data da la media e` nulla e la funzione il processo e` completamente caratterizzato dai parametri

27 Tuttavia la caratterizzazione tramite i parametri e` ridondante. Parte I 5, 27 Infatti poniamo e consideriamo il processo dove Se ed i due processi sono quindi indistinguibili. La ridondanza viene eliminata fissando uno dei parametri. Tipicamente si pone per cui il processo si scrive:

28 Continuazione Esempio 1 Parte I 5, 28

29 Parte I 5, 29 Determiniamo lo spettro: Modo a)

30 Parte I 5, 30 Modo b) Ma

31 Parte I 5, 31 Modo c) Ma

32 Se Parte I 5, 32

33 La variabilita` del processo e` concentrata alle basse frequenze Parte I 5, 33

34 Se Parte I 5, 34

35 La variabilita` del processo e` concentrata alle alte frequenze Parte I 5, 35

36 Processo Parte I 5, 36 Si tratta di un astrazione matematica di notevole importanza concettuale che utilizzeremo in seguito Si consideri Affinche` rappresenti un processo stazionario ben definito e` necessario che Si dimostra :

37 Parte I 5, 37 Processo AR Dato un rumore bianco Si definisce come processo AR di ordine ) il processo (e lo si indica con Quindi e` una combinazione lineare dei valori assunti da stesso nella finestra temporale da a piu` un processo bianco.

38 Esempio 1 Parte I 5, 38 Si consideri il processo :

39 Parte I 5, 39 In generale quindi per un processo possiamo scrivere: e` congruente con la teoria dei sistemi secondo la quale si puo` scomporre la risposta in risposta libera (dipende solo dalle condizioni iniziali) e risposta forzata (dipende solo dall ingresso) Definiamo Se

40 Parte I 5, 40 Ma: Processo stazionario Il processo (stazionario di tipo ) e` la soluzione di regime dell equazione del processo iniziale. Tale soluzione e` unica nell ambito dei processi stazionari.

41 Analisi del processo Parte I 5, 41 Media Varianza Il processo e` stazionario

42 Parte I 5, 42 Funzione di correlazione Consideriamo ( e` pari). A regime il processo e` formula generale per cui si puo` usare la

43 Un metodo algebrico alternativo per determinare la funzione di correlazione e`: Parte I 5, 43 Quindi:

44 Parte I 5, 44 Rispetto al caso di processi MA, la funzione di correlazione si smorza asintoticamente (e quindi un processo AR e` in ogni caso piu` lento di un processo MA).

45 Determiniamo lo spettro: Parte I 5, 45 Ma

46 Se Parte I 5, 46

47 La variabilita` del processo e` concentrata alle basse frequenze ed il processo e` piu` lento del corrispondente MA Parte I 5, 47

48 Se Parte I 5, 48

49 La variabilita` del processo e` concentrata alle alte frequenze ed il Parte I 5, 49 processo e le distribuzione in frequenza e` notevolmente diversa da quella del processo MA

50 Esempio 2 Parte I 5, 50 Si consideri il processo : e quindi da cui

51 Parte I 5, 51 Le equazioni che servono sono quindi: Possiamo organizzarle in modo matriciale Quindi dati e` possibile ricavare e poi proseguire col calcolo in modo ricorsivo. Le equazioni prendono il nome di equazioni di Yule-Walker e possono essere scritte per un processo AR di ordine generico

52 Analisi nel caso di rumore bianco a media non nulla Parte I 5, 52 Consideriamo il processo con Ricordando che e ponendo Osserviamo guadagno statico

53 Parte I 5, 53 Determiniamo ora la funzione di covarianza: Introduciamo un processo e quindi La funzione di correlazione del processo a media nulla coincide con quella di covarianza del processo di partenza.

54 In generale: Parte I 5, 54 Si consideri il processo con Se le radici di (ovvero i poli di ) sono tutte interne alla circonferenza unitaria si ottiene a regime un processo stazionario equivalente ad un processo

55 Processo ARMA Parte I 5, 55 Dato un rumore bianco Si definisce come processo ARMA di ordine indica con ) il processo (e lo si con Se ritardo tra ingresso ed uscita

56 Parte I 5, 56 Se la condizione di stabilita` e` soddisfatta ovvero se le radici di (ovvero i poli di ) sono tutte interne alla circonferenza unitaria si ottiene a regime un processo stazionario equivalente ad un processo : dove e` la risposta impulsiva del sistema dinamico Se la condizione di stabilita` e` soddisfatta Varianza del processo e` finita

57 Osservazioni Parte I 5, 57 In riferimento ad un generico processo stazionario: Equazione alle differenze Modello del Processo Soluzione stazionaria dell eq. alle differenze Processo In generale si ha Processi st. stazionari Processi stocastici Processi ARMA

58 Esempio Parte I 5, 58 Si consideri il processo : Determiniamo lo spettro:

59 Parte I 5, 59

60 Parte I 5, 60

61 Fattorizzazione spettrale Parte I 5, 61 Abbiamo descritto alcune famiglie di processi stocastici stazionari a spettro razionale. Il problema della predizione verra` riferito a questa categoria di processi. E` pero` necessaria una ulteriore discussione sulla rappresentazione di processi a spettro razionale. Consideriamo dove e razionale

62 Domanda: Parte I 5, 62 Esiste tale che per un opportuno processo in ingresso si abbia ovvero In termini qualitativi, esiste un altra funzione di trasferimento che dia luogo alla stessa funzione di correlazione ovvero allo stesso spettro? Porsi la domanda ha senso in quanto se tale esistesse allora esisterebbero rappresentazioni razionali diverse per lo stesso processo Tentare di ricostruire una funzione di trasferimento (per esempio di un predittore) a partire dai dati sarebbe un problema mal posto.

63 Parte I 5, 63 Cerchiamo quindi di individuare come sono legate tra loro funzioni di trasferimento di rappresentazioni equivalenti dello stesso processo. E` pero` necessaria una ulteriore discussione sulla rappresentazione di processi a spettro razionale. Ricordiamo e` lo spettro complesso dove Problema della fattorizzazione spettrale: Dato lo spettro complesso, determinare tutte le coppie tali che

64 Parte I 5, 64 Vediamo allora in quali modi e` possibile modificare modificare senza Modo a) Scegliendo si ottiene che le coppie e hanno lo stesso Questo risultato non e` sorprendente: la varianza di un processo stazionario puo` essere cambiata sia agendo sul guadagno della funzione di trasferimento che sulla varianza dell ingresso.

65 Parte I 5, 65 Modo b) Le coppie e hanno lo stesso Anche questo risultato non e` sorprendente: moltiplicare per significa considerare realizzazioni ritardate nel tempo di passi il che non altera certo le caratteristiche probabilistiche del processo.

66 Parte I 5, 66 Modo c): caso banale Le coppie e hanno lo stesso

67 Modo c): caso non banale Parte I 5, 67 Scegliendo si ottiene che le coppie e hanno lo stesso

68 Parte I 5, 68 Quindi se Filtro passa-tutto nel senso che gli spettri di e di coincidono. Quindi cancellare un polo (zero) con uno zero (polo) che coincida con il suo reciproco lascia inalterato lo spettro (a meno di una costante)

69 In riferimento ai casi a), b), c) visti in precedenza: Parte I 5, 69 Il problema che stiamo affrontando e` quello di garantire unicita` alla rappresentazione del processo stazionario ovvero che esista unica la funzione di trasferimento per cui il processo si possa rappresentare come uscita di un sistema lineare con funzione di trasferimento ed ingresso un processo bianco. Evidentemente ci sono molti modi di vincolare la rappresentazione in modo che sia unica. I modi che vedremo saranno utili nel contesto della soluzione del problema della predizione. Caso a): basta fissare qualche parametro. Imponiamo che e siano monici Caso b): imponiamo che e abbiano grado fissato (per esempio lo stesso grado) Caso c): imponiamo che e siano coprimi e che tutti gli zeri e tutti i poli siano interni alla circonferenza unitaria

70 Parte I 5, 70 Teorema della fattorizzazione spettrale: Dato un processo a spettro razionale, esiste una ed una sola rappresentazione del processo come uscita di un sistema lineare alimentato da un processo bianco e con funzione di trasferimento se si impongano le seguenti condizioni su : e monici, coprimi e di ugual grado Tutte le radici di (zeri di ) hanno Tutte le radici di (poli di ) hanno