Proprietà strutturali e leggi di controllo. Stima dello stato e regolatore dinamico

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1 Proprietà strutturali e leggi di controllo Stima dello stato e regolatore dinamico

2 Stima dello stato e regolatore dinamico Stimatore asintotico dello stato Esempi di progetto di stimatori asintotici dello stato Regolatore dinamico Proprietà del regolatore dinamico Esempio di progetto di un regolatore dinamico 2

3 Stima dello stato e regolatore dinamico Stimatore asintotico dello stato

4 Introduzione (1/3) L ingresso u ( ) fornito da una legge di controllo per retroazione statica dallo stato del tipo u() = Kx() + αr() può essere calcolato solo quando lo stato x ( ) risulta completamente accessibile (cioè misurabile) L unica variabile accessibile di un sistema dinamico è l uscita y ( ) che però fornisce, in generale, solo un informazione parziale sullo stato Pertanto nel caso di stato inaccessibile non si può, in generale, realizzare tale legge di controllo anche se il sistema risulta completamente raggiungibile 4

5 Introduzione (2/3) La proprietà di osservabilità di un sistema dinamico garantisce la possibilità di stimare (ricostruire) lo stato x ( ) a partire dalla misura di y ( ) e dalla conoscenza di u ( ) Vogliamo quindi studiare come si può sfruttare la proprietà di osservabilità di un sistema dinamico per ottenere una stima ˆ x () dello stato x ( ) Poi, studieremo se e come sia possibile impiegare la stima ˆ() x al posto di x ( ) per realizzare la legge di controllo per retroazione statica dallo stato stimato u() = Kxˆ () + αr() 5

6 Introduzione (3/3) Nella trattazione considereremo per semplicità un sistema dinamico LTI TC SISO (q = p = 1 B R n 1, C R 1 n, D R) descritto dalle equazioni di stato: x() t = Ax() t + Bu() t y () t = Cx() t + Du() t Tuttavia, i risultati che troveremo saranno validi anche: Per i sistemi dinamici LTI TD SISO Per i sistemi dinamici LTI MIMO 6

7 Lo stimatore dello stato La stima dello stato si può ottenere, come vedremo, sfruttando le caratteristiche di osservabilità del sistema mediante opportuni dispositivi detti stimatori o ricostruttori od osservatori dello stato Uno stimatore dello stato è un sistema dinamico che, utilizzando l uscita y (t ) e l ingresso u (t ) del sistema dinamico come propri ingressi, genera come uscita una stima ˆ( x t) dello stato u (t ) Sistema y (t ) Stimatore ˆ( x t) 7

8 Stimatore asintotico dello stato Per uno stimatore dello stato, si definisce l errore di stima e (t ) R n come la differenza tra lo stato stimato e lo stato vero: e() t = ˆ x() t x() t Uno stimatore per cui l errore di stima si annulla al tendere del tempo all infinito è detto stimatore asintotico dello stato lim et ( ) = lim ˆ xt ( ) xt ( ) = 0 t t 8

9 Osservazione (1/3) L uso di uno stimatore asintotico dello stato garantisce di ottenere stime con errore asintoticamente nullo Infatti, se la dinamica della stima dello stato fosse governata dalle medesime equazioni di stato del sistema, si avrebbe: x() t = Ax() t + Bu() t ˆ x() t = Axˆ() t + Bu() t e() t = ˆ x() t x() t = ( ) ( ) = Axˆ( t ) + Bu () t Ax () t + Bu () t = = A ˆ( x t) x() t = Ae() t 9

10 Osservazione (2/3) In tal caso quindi, il comportamento dinamico dell errore di stima e() t = ˆ x() t x() t coincide con il movimento libero dello stato del sistema: et () = Aet () et () = exp( Ate ) (0) Per ottenere la condizione lim et ( ) = 0 t bisogna che: Tutti i modi naturali associati agli autovalori di A siano convergenti sistema asintoticamente stabile oppure L errore di stima iniziale sia nullo e (0) = 0 10

11 Osservazione (3/3) Quindi, in generale, non è possibile ottenere la condizione di stima asintotica dello stato utilizzando le equazioni lim et ( ) = 0 t ˆ x() t = Axˆ() t + Bu() t Per superare tale limite basta usare la misura dell uscita y (t ) nelle equazioni di stato che governano la dinamica della stima dello stato 11

12 Stimatore asintotico: equazioni dinamiche Per tenere conto della misura dell uscita y (t ) nelle equazioni ˆ x() t = Axˆ() t + Bu() t si può aggiungere il termine di correzione ( ˆ( ) y() t ) L y t che dipende dall errore tra l uscita misurata y (t ) e l uscita stimata del sistema ˆ y () t = Cxˆ() t + Du() t Si ha quindi: ˆ x() t = Axˆ() t + Bu() t L ˆ y() t y() t ( ) L R nx1 matrice dei guadagni dello stimatore 12

13 Stimatore asintotico: errore di stima (1/2) Calcoliamo con la nuova struttura: ˆ x() t = Axˆ() t + Bu() t L ˆ y() t y() t ( ) le proprietà dinamiche dell errore di stima et () = ˆ xt () xt () = ( )( ) ( ) ( ˆ ) ( ) = Axˆ() t + Bu () t L y () t y () t Ax () t + Bu () t = ( ) = Axˆ() t L Cxˆ() t + Du() t Cx() t + Du() t Ax() t = = Axˆ() t LCxˆ() t Ax() t + LCx() t = = A LC ˆ( x t) x() t = A LC e() t 13

14 Stimatore asintotico: errore di stima (2/2) La dinamica dell errore di stima è quindi governata dal movimento libero del sistema et () = ( A LC) et () et () = exp( A LCt ) e(0) Pertanto la condizione: lim et ( ) = 0 t sarà soddisfatta solo se A LC ha autovalori asintoticamente stabili Si tratta quindi di studiare sotto quali condizioni esiste una matrice L tale da rendere asintoticamente stabili gli autovalori di A LC 14

15 Stimatore asintotico: calcolo di L (1/3) Il problema può essere risolto grazie alla proprietà di osservabilità ed al principio di dualità Vale il seguente Teorema: Se il sistema dinamico x() t = Ax() t + Bu() t y () t = Cx() t + Du() t risulta completamente osservabile allora è sempre possibile trovare una matrice L tale da assegnare ad arbitrio tutti gli autovalori della matrice A LC 15

16 Stimatore asintotico: calcolo di L (2/3) Ci siamo quindi ricondotti ad un problema di assegnazione degli autovalori Ricordando il principio di dualità: (A,C ) osservabile (A T,C T ) raggiungibile si può applicare il Teorema di assegnazione degli autovalori che garantisce che è sempre possibile trovare una matrice L T R 1 n in grado di assegnare ad arbitrio gli autovalori di A T C T L T 16

17 Stimatore asintotico: calcolo di L (3/3) Poiché A T C T L T = (A LC ) T, il teorema di assegnazione degli autovalori permette di calcolare la matrice dei guadagni L in modo tale da rendere il sistema dinamico descritto da: ˆ x() t = Axˆ() t + Bu() t L ˆ y() t y() t ˆ y() t = Cxˆ() t + Du() t uno stimatore asintotico dello stato Per i sistemi LTI TD lo stimatore asintotico assume la forma: ˆ x( k + 1) = Axˆ( k) + Bu( k) L ˆ y( k) y( k) ˆ y( k) = Cxˆ( k) + Du( k) ( ) ( ) 17

18 Stima dello stato e regolatore dinamico Esempi di progetto di stimatori asintotici dello stato

19 Esempio 1: formulazione del problema Dato il seguente sistema dinamico LTI TC: xt () = xt () ut () yt () = 0 1 xt () trovare, se possibile, i coefficienti della matrice dei guadagni L di uno stimatore asintotico dello stato: ˆ x() t = Axˆ() t + Bu() t L ˆ y() t y() t ( ) ˆ y() t = Cxˆ() t + Du() t in modo che la dinamica dello stato stimato sia governata dagli autovalori: λ 1,des = 10, λ 2,des = 20 19

20 Esempio 1: procedimento di soluzione Per determinare gli elementi della matrice L occorre procedere come segue: Verificare la completa osservabilità del sistema (in caso contrario non è possibile calcolare L ) Dato l insieme degli autovalori da assegnare allo stimatore {λ 1,des, λ n,des }, si calcola il polinomio caratteristico desiderato p des (λ) Si calcola, in funzione degli elementi incogniti di L, il polinomio caratteristico della matrice A LC : p A LC (λ) Si determinano gli elementi incogniti di L applicando il principio di identità dei polinomi: p ( λ) p ( λ) = A LC des 20

21 Esempio 1: verifica dell osservabilità Le matrici A e C del sistema dato sono: 0 1 A =, C = Poiché il sistema è di ordine n = 2, la matrice di osservabilità è della forma: M O C CA C 0 1 = = = CA 1 2 n 1 CA 21

22 Esempio 1: verifica dell osservabilità Poiché risulta che: M O 0 1 = ρ( MO) = Allora il sistema è completamente osservabile 22

23 Esempio 1: determinazione di p des (λ) Gli autovalori desiderati da assegnare sono: λ = 10, λ = 20 1, des 2, des Il corrispondente polinomio caratteristico desiderato è quindi: n p ( λ) = ( λ λ ) = des i = 1 i, des = ( λ λ )( λ λ ) = 2 = + + 1, des 2, des = ( λ ( 10))( λ ( 20)) = λ 30λ

24 Esempio 1: determinazione di p A LC (λ) Poiché n = 2, la matrice dei guadagni L è della forma: 1 L = 2 si ha A LC = = = =

25 Esempio 1: calcolo di p A LC (λ) Per cui: A LC = ( λ ( )) p ( λ) = det I A LC = A LC λ (1 ) det 1 λ (2 ) 2 1 = = = λ λ (2 ) + 1 (1 ) = = λ + ( 2) λ

26 Esempio 1: calcolo di L Affinché i due polinomi: p λ λ λ 2 ( ) = des p λ λ λ 2 ( ) = + ( 2) + 1 A LC 2 1 abbiano le stesse radici, per il principio di identità dei polinomi deve risultare: 2 = 30 2 = = 200 = Per cui L = =

27 Esempio 2: formulazione del problema Dato il seguente sistema dinamico LTI TD: xk ( + 1) = xk ( ) uk ( ) yk ( ) = 0 1 xk ( ) trovare, se possibile, i coefficienti della matrice dei guadagni L di uno stimatore asintotico dello stato: ˆ x( k + 1) = Axˆ( k) + Bu( k) L ˆ y( k) y( k) ( ) ˆ y( k) = Cxˆ( k) + Du( k) in modo che la dinamica dello stato stimato sia governata dagli autovalori: λ 1,des = λ 2,des =

28 Esempio 2: procedimento di soluzione Per determinare gli elementi della matrice L occorre procedere come segue: Verificare la completa osservabilità del sistema (in caso contrario non è possibile calcolare L ) Dato l insieme degli autovalori da assegnare allo stimatore {λ 1,des, λ n,des }, si calcola il polinomio caratteristico desiderato p des (λ) Si calcola, in funzione degli elementi incogniti di L, il polinomio caratteristico della matrice A LC : p A LC (λ) Si determinano gli elementi incogniti di L applicando il principio di identità dei polinomi: p ( λ) p ( λ) = A LC des 28

29 Esempio 2: verifica dell osservabilità Le matrici A e C del sistema dato sono: A =, C = Poiché il sistema è di ordine n = 2, la matrice di osservabilità è della forma: M O C CA C 0 1 = = = CA 0 2 n 1 CA 29

30 Esempio 2: verifica dell osservabilità Poiché risulta che: M O 0 1 = ρ( MO) = 1< Allora il sistema non è osservabile Non è pertanto possibile determinare lo stimatore asintotico dello stato richiesto, poiché non è sempre possibile trovare una matrice L tale da assegnare ad arbitrio tutti gli autovalori della matrice A LC 30

31 MatLab In MatLab, la matrice dei guadagni L può essere calcolata, nel caso di autovalori di molteplicità unitaria, mediante l istruzione place sfruttando il principio di dualità: L = place(a,c,p) A, C: matrici della rappresentazione di stato x () t = Ax () t + Bu () t x ( k + 1) = Ax ( k ) + Bu ( k ) y () t = Cx () t + Du () t y ( k ) = Cx ( k ) + Du ( k ) p: vettore contenente gli autovalori da assegnare Se invece gli autovalori da assegnare non hanno molteplicità unitaria, bisogna usare l istruzione: L = acker(a,c,p) 31

32 Stima dello stato e regolatore dinamico Regolatore dinamico

33 Stima dello stato e legge di controllo Abbiamo visto come l impiego di uno stimatore asintotico possa fornire la stima dello stato Vogliamo quindi studiare come si possono sfruttare i risultati ottenuti finora dal punto di vista del calcolo di: Leggi di controllo per retroazione statica dallo stato Stimatori asintotici dello stato al fine di progettare leggi di controllo per assegnazione degli autovalori qualora lo stato non sia completamente accessibile 33

34 Introduzione Anche in questo caso considereremo per semplicità un sistema dinamico LTI TC SISO (q = p = 1 B R n 1, C R 1 n, D R) descritto dalle equazioni di stato: x() t = Ax() t + Bu() t y () t = Cx() t + Du() t Tuttavia, i risultati che troveremo saranno validi anche: Per i sistemi dinamici LTI TD SISO Per i sistemi dinamici LTI MIMO 34

35 Struttura del regolatore (1/2) Consideriamo lo schema r (t ) + u (t ) Sistema y (t ) α - dinamico x (t ) K in cui lo stato x () non è accessibile e quindi non si può realizzare la retroazione statica dallo stato 35

36 Struttura del regolatore (2/2) Tuttavia, sfruttando la misura di y (t ) e u (t ), r (t ) + α - u (t ) K Sistema dinamico y (t ) Stimatore asintotico ˆ( x t) si può ottenere ˆ() x con un opportuno stimatore e, retroazionando ˆ() x, si ha una legge di controllo per retroazione statica dallo stato stimato ut () = Kxt ˆ() +αrt () Il dispositivo di controllo ottenuto è anche detto regolatore dinamico 36

37 Descrizione La struttura di controllo si compone di: ut () = Kxt ˆ() +αrt () r (t ) + α Sistema da controllare Stimatore asintotico dello stato Legge di controllo - u (t ) K Sistema dinamico y (t ) x() t = Ax() t + Bu() t y () t = Cx() t + Du() t Stimatore asintotico ˆ( x t) ( ) ˆ x() t = Axˆ() t + Bu() t L ˆ y() t y() t ˆ y() t = Cxˆ() t + Du() t 37

38 Equazioni del regolatore Il comportamento dinamico di un sistema controllato con una legge di controllo per retroazione statica dallo stato stimato è descritto dal seguente insieme di equazioni: x( t) = Ax( t) + Bu( t) Eq. stato sistema y() t = Cx() t + Du() t Eq. uscita sistema ˆ x() t = Axˆ() t + Bu() t L ˆ y() t y() t Eq. stato stimatore ( ) ˆ y( t) = Cxˆ( t) + Du( t) Stima dell'uscita ut () = Kxt ˆ() + αrt () Legge di controllo 38

39 Equazioni del regolatore x( t) = Ax( t) + Bu( t) Eq. stato sistema y() t = Cx() t + Du() t Eq. uscita sistema ˆ x() t = Axˆ() t + Bu() t L ˆ y() t y() t Eq. stato stimatore ( ) ˆ y( t) = Cxˆ( t) + Du( t) Stima dell'uscita ut () = Kxt ˆ() + αrt () Legge di controllo Pertanto il sistema controllato complessivo è descritto da 2n equazioni di stato in 2n variabili di stato: n variabili di stato del sistema da controllare n variabili di stato dello stimatore asintotico 39

40 Progetto del regolatore Vogliamo ora studiare come si possono calcolare La matrice dei guadagni K della legge di controllo La matrice dei guadagni L dello stimatore asintotico dello stato al fine di: Assegnare arbitrariamente tutti gli autovalori del sistema controllato complessivo Ottenere una stima asintotica dello stato Al momento siamo in grado di calcolare K ed L in modo indipendente ma non sappiamo come procedere quando la legge di controllo e lo stimatore interagiscono fra di loro 40

41 Equazioni dinamiche I (1/2) I x() t Introducendo come vettore di stato xtot () t = ˆ( x t) e assumendo r (t ) ed y (t ) come ingresso ed uscita rispettivamente si possono scrivere le equazioni: I ( ) I I ( ) I x ( ) tot t = Areg xtot t + Bregr t ( ) I I ( ) I y t = C ( ) reg xtot t + Dregr t dove A I reg A BK I B = Breg = α LC A BK LC B I Creg = C DK Dreg = [ D] α I 41

42 Equazioni dinamiche I (2/2) A I reg = A BK LC A BK LC La forma della matrice A I reg non permette di evidenziare in modo immediato l influenza delle matrici dei guadagni K ed L sugli autovalori del sistema complessivo Pertanto le equazioni di stato non forniscono indicazioni utili ai fini della scelta di K ed L 42

43 Equazioni dinamiche II Si possono ottenere indicazioni più utili se si considera come vettore di stato: II x() t x() t xtot () t = ˆ( x t) x() t = e() t Assumendo r (t ) e y (t ) come ingresso e uscita si ha II ( ) II II ( ) II x ( ) tot t = Areg xtot t + Bregr t ( ) II II ( ) II y t = C ( ) reg xtot t + Dregr t A II reg A BK BK II B = Breg = α 0n n A LC 0 n 1 II C reg = C DK DK Dreg = [ D ] α II 43

44 Proprietà di separazione (1/2) A II reg = A BK 0 n n BK A LC Si può notare che la matrice A II reg risulta triangolare a blocchi 44

45 Proprietà di separazione (1/2) A II reg = A BK 0 n n BK A LC Si può notare che la matrice A II reg risulta triangolare a blocchi per cui i suoi 2n autovalori (che sono gli autovalori del sistema controllato complessivo) sono dati da: λ( A II ) = λ( A BK ) λ( A LC) reg { } n n Tale caratteristica è nota come Proprietà di Separazione 45

46 Proprietà di separazione (2/2) La Proprietà di Separazione permette di progettare la legge di controllo per retroazione statica dallo stato stimato (cioè il regolatore) progettando in modo indipendente la matrice dei guadagni della legge di controllo K e la matrice dei guadagni dello stimatore L Il progetto del regolatore è quindi ricondotto al progetto separato di una legge di controllo ( matrice dei guadagni K ) uno stimatore asintotico dello stato ( matrice dei guadagni L ) secondo le modalità già studiate 46

47 Stima dello stato e regolatore dinamico Proprietà del regolatore dinamico

48 Matrice di trasferimento Si può dimostrare che la matrice di trasferimento H (s ) tra l ingresso r (t ) (riferimento) e l uscita y (t ) del sistema controllato mediante regolatore dinamico coincide con quella ottenuta nel caso della retroazione statica dallo stato: {( ) ( ) 1 } H( s) = C DK si A BK B + D α Questo dimostra che le dinamiche associate alla stima dello stato non influenzano il comportamento ingresso uscita del sistema controllato complessivo 48

49 Funzione di trasferimento Nel caso SISO: {( ) ( ) 1 } H( s) = C DK si A BK B + D α = = α {( C DK ) Adj si ( A BK ) B + D} det si A BK ( ) i poli di H (s ) sono solo gli autovalori di A BK Invece gli autovalori del sistema controllato complessivo sono gli autovalori di A BK e gli autovalori di A LC 49

50 Regolazione Come conseguenza di questo risultato si ha che per imporre la condizione di regolazione: y = r si può calcolare il parametro α della legge di controllo ut () = Kxt ˆ() +αrt () utilizzando la medesima relazione trovata nel caso della retroazione statica dallo stato ( )( ) 1 α = C DK A BK B + D 1 50

51 Sistemi LTI TD Risultati analoghi valgono per i sistemi LTI TD. In particolare: la matrice di trasferimento H (z ) tra l ingresso r (k ) (riferimento) e l uscita y (k ) è data da: {( ) ( ) 1 } H( z) = C DK zi A BK B + D α La condizione di regolazione si ottiene imponendo {( C DK ) I ( A BK ) 1 B D } 1 α = + 51

52 Stima dello stato e regolatore dinamico Esempio di progetto di un regolatore dinamico

53 Formulazione del problema Dato il seguente sistema dinamico LTI TC: xt () = xt () ut () yt ( ) = xt ( ) progettare, se possibile, un regolatore dinamico in modo da soddisfare i seguenti requisiti: Autovalori desiderati imposti dalla legge di controllo complessi coniugati e aventi ω n,des = 45 ζ,des = 0.2 Autovalori desiderati dello stimatore dello stato λ L 1,des = λ L 2,des = 100 Regolazione dell uscita 53

54 Procedimento di soluzione Per il progetto del regolatore dinamico richiesto si può procedere con i seguenti passi: Verifica della completa raggiungibilità ed osservabilità del sistema (in caso contrario non è possibile procedere con il progetto) Nel caso di completa raggiungibilità ed osservabilità, in virtù del principio di separazione, si procede al Calcolo dei parametri K ed α della legge di controllo u( t) = Kxˆ ( t ) +αr ( t ) Calcolo della matrice L dello stimatore ˆ x( t) = Axˆ( t) + Bu( t) L ˆ y( t) y( t) ( ) 54

55 Verifica della raggiungibilità Le matrici A e B del sistema dato sono: A =, B = Il sistema è di ordine n = 2, quindi: = = n 1 M B AB A B B AB R 0 9 = ρ( M ) = 2 R 9 0 Pertanto il sistema è completamente raggiungibile 55

56 Verifica dell osservabilità Le matrici A e C del sistema dato sono: 0 1 A =, C = Il sistema è di ordine n = 2, per cui: M O C CA C = = = ρ( M ) = 2 O CA n 1 CA Pertanto il sistema è completamente osservabile 56

57 Calcolo di K : procedimento Per determinare gli elementi della matrice K occorre procedere come segue: Dato l insieme degli autovalori da assegnare {λ K,1des, λ K,n,des }, si calcola il polinomio caratteristico desiderato p K,des (λ) Si calcola, in funzione degli elementi incogniti di K, il polinomio caratteristico della matrice A BK : p A BK (λ) Si determinano gli elementi incogniti di K applicando il principio di identità dei polinomi: p ( λ) p ( λ) = A BK K, des 57

58 Determinazione di p K,des (λ) (1/2) Gli autovalori che la legge di controllo deve assegnare sono dati da: λ = σ + jω, λ = σ jω 1, K, des des des 2, K, des des des Poiché: σ = ζ ω, ω = ω 1 ζ ω 2 des des n, des des n, des des ndes, = 45, ζ = 0.2 des Si ha: λ σ des = 9, ω = des = 9 + j 44.09, λ = 9 j , K, des 2, K, des 58

59 Determinazione di p K,des (λ) (2/2) Dati gli autovalori desiderati: λ = 9 + j 44.09, λ = 9 j , K, des 2, K, des il corrispondente polinomio caratteristico desiderato è quindi: p K, des λ λ λ1, K, des λ λ2, K, des ( ) = ( )( ) = = ( λ ( 9 + j44.09))( λ ( 9 j 44.09)) = 2 = λ + λ

60 Determinazione di p A BK (λ) (1/2) Poiché n = 2, la matrice dei guadagni K è della forma: si ha K = k k A BK = k k = = = 9k 9k k 9k

61 Determinazione di p A BK (λ) (2/2) 0 1 A BK = 900 9k 9k Notiamo che la matrice A BK è in forma compagna inferiore Si può quindi determinare direttamente il polinomio caratteristico p A BK (λ) in base ai coefficienti dell ultima riga: 2 p ( λ) = λ 9k λ 900 9k A BK

62 Calcolo di K Affinché i polinomi: e p λ λ λ 2 ( ) = K, des p k k 2 ( λ) = λ 9 λ A BK 2 1 abbiano le stesse radici, per il principio di identità dei polinomi deve risultare: 9k = k = k = 2025 k = K = k k =

63 Calcolo di α Applicando la condizione per la regolazione di sistemi LTI TC ( )( ) 1 α = C DK A BK B + D con i dati A =, B =, C = 600 0, D = 0, K = α si ottiene: = =

64 Calcolo di L : procedimento di soluzione Per determinare gli elementi della matrice L occorre procedere come segue: Dato l insieme degli autovalori da assegnare allo stimatore {λ L,1,des, λ L, n,des }, si calcola il polinomio caratteristico desiderato p L,des (λ) Si calcola, in funzione degli elementi incogniti di L, il polinomio caratteristico della matrice A LC : p A LC (λ) Si determinano gli elementi incogniti di L applicando il principio di identità dei polinomi: p ( λ) p ( λ) = A LC L, des 64

65 Determinazione di p L,des (λ) Gli autovalori desiderati da assegnare sono: λ = λ = 100 1, Ldes, 2, Ldes, Il corrispondente polinomio caratteristico desiderato è quindi: p ( λ) = ( λ λ )( λ λ ) = Ldes, 1, Ldes, 2, Ldes, 2 = ( λ ( 100)) = 2 = λ + 200λ

66 Determinazione di p A LC (λ) (1/2) A Poiché n = 2, la matrice dei guadagni L è della forma: 1 L = 2 si ha LC = = = =

67 Determinazione di p A LC (λ) (2/2) A 1 LC = Notiamo che la matrice A LC èin forma compagna sinistra Si può quindi determinare direttamente il polinomio caratteristico p A LC (λ) in base ai coefficienti della prima colonna: p λ λ λ ( ) = A LC

68 Calcolo di L Affinché i due polinomi: p λ λ λ 2 ( ) = Ldes, p λ λ λ 2 ( ) = A LC 1 2 abbiano le stesse radici, per il principio di identità dei polinomi deve risultare: 600 = = = = L = =