Classe Ingegneria dell Informazione Laurea in Ingegneria Informatica Insegnamento: Controlli dei Processi I ING-INF/04

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1 Classe Ingegneria dell Informazione Laurea in Ingegneria Informatica Insegnamento: Controlli dei Processi I ING-INF/4 Docente Numero di crediti: 6 Prof: Maria Pia Fanti Conoscenze preliminari Trasformata di Laplace. Funzioni di trasferimento. Concetti base dei controlli automatici. Matrici e algebra lineare. Uso di Matlab e Simulink. Obiettivi formativi: Il modulo ha l'obiettivo di fornire agli allievi gli strumenti per rappresentare e analizzare i sistemi dinamici lineari e tempo-continui in forma di stato. Inoltre metterà gli allievi in grado di utilizzare le principali tecniche di sintesi di controllori mediante retroazione di stato e di stima dello stato. Programma sintetico: - Definizione di sistema dinamico. Modelli in variabili di stato. I concetti di stato, movimento, traiettoria ed equilibrio. (4 ore) - Richiami di algebra lineare: operazioni tra matrici, autovalori ed autovettori, rango di una matrice, esponenziale di matrice (4 ore). - Sistemi regolari, lineari e tempoinvarianti ed equazioni di stato (). - Il problema della soluzione. Matrice di transizione di stato () - Definizione di stabilità alla Lyapunov () - Stabilità ed autovalori della matrice di stato. Forma di Jordan e polinomio minimo ( ore) - Controllabilità e osservabilità (6 ore) - Rappresentazioni canoniche di sistemii regolari, lineari e tempoinvarianti (4 ore). - Stabilizzabilità e rilevabilità. Forme canoniche di controllabilità e di osservabilità (4 ore) - Sintesi di controllori basati sulla retroazione di stato ( ore). - Realizzazione minima e retroazione di stato ( ore) Controllori Lineari quadratici ( ore). - Stimatori dello stato di ordine ridotto e di ordine pieno. (4) - Uno degli stimatori nell anello di controllo. Principio di separazione ( ore) Esercitazioni al calcolatore: esempi di sistemi con sintesi di controllori e di stimatori dello stato ( ore) Al termine del modulo gli allievi saranno in grado di utilizzare le principali tecniche di sintesi di controllori mediante retroazione di stato e di stima dello stato. Articolazione in Il corso comprende lezioni teoriche: 5 CFU, esercitazioni al tipologie didattiche calcolatore:,5 CFU. Supporti alla didattica Prova finale: PC, software di simulazione Matlab e Simulink. Esame scritto Testi di riferimento A. Giua, C. Seatzu. Analisi dei Sistemi Dinamici. 3 principali S. Rinaldi Teoria dei Sistemi CLUP Milano 977 Ulteriori testi suggeriti B. Friedland.- Control System Design.- McGraw Hill 987

2 CONTROLLO DEI PROCESSI I ESONERO DEL 3 NOVEMBRE 4 Un sistema LTI ha come matrici di stato: A 4 k B C [ ] D Discutere la stabilità del sistema al variare di k reale. Determinare un valore di k per cui il sistema è non completamente raggiungibile. In tale caso, determinare: o Una base del sottospazio di raggiungibilità o Uno stato non raggiungibile Fissato k e posto ()[ ] T, determinare l andamento dell uscita del sistema quando l ingresso è una rampa unitaria. Un sistema dinamico con ingresso u(t), vettore di stato (t) ed uscita y(t) è descritto dalle seguenti equazioni di stato: & & ( t) ( t) 3 ( t) + u( t) ( t) ( t) ( t) + u ( t) e dalla trasformazione di uscita y ( t) -Determinare: I punti di equilibrio relativi ad ingresso nullo e valutarne la stabilità Le matrici di stato relative al sistema linearizzato attorno ai punti di equilibrio trovati

3 Tema Sia data la seguente rappresentazione in variabili di stato di un sistema:. Determinare, se possibile, una retroazione di stato tale per cui il sistema retroazionato abbia gli autovalori in: -; -3; -5.. Costruire, se possibile, un osservatore degli stati che abbia gli autovalori in: -; - + j5; - - j5. 3. Trovare la funzione di trasferimento del sistema dato (ad anello aperto). 4. Dire se il sistema è BIBO stabile (ad anello aperto).

4 Soluzione prova di autovalutazione Punto N. Valutiamo la raggiungibilità del sistema. La matrice di raggiungibilità risulta: R 4 essa è evidentemente di rango due, in quanto la terza colonna è multipla della prima. Per poter progettare il regolatore lineare sullo stato si dovrà quindi verificare che un autovalore della matrice A sia coincidente con uno degli autovalori desiderati in anello chiuso. Inoltre, gli altri due autovalori devono far parte del sottosistema controllabile. Gli autovalori di A sono, -, -3. A questo punto bisogna verificare che -3 sia il modo del sistema non controllabile, mentre e - siano i modi del sottosistema controllabile. Una base del sottospazio di raggiungibilità è data dai vettori v [ ] T e v [ ] T (posso dividere la seconda colonna di R per due senza alterare le proprietà della base). Risulta qui evidente che il complemento ortogonale di questa base è costituito dal vettore v 3 [ ] T, ed esso costituisce una base del sottospazio di non raggiungibilità. La matrice che consente di operare una trasformazione di similitudine e portare così il sistema in forma di Kalman per la controllabilità è quindi T - [ v v v 3 ]. Eseguendo la trasformazione di similitudine A * T - A T ; B*T B, C*C T - si ottiene * A e B*[ ] T 3 La parte non controllabile contiene l autovalore -3. Possiamo quindi progettare un regolatore lineare sullo stato che permetta di allocare gli autovalori della parte controllabile ( e -) ai valori desiderati (- e -5). Pertanto il polinomio caratteristico desiderato è * ( λ + )( λ + 5) λ + 6λ + 5 Scegliendo un vettore di guadagni K [k k ] il polinomio caratteristico della parte controllabile retroazionata è: + ( λ ) det( λi A λ * A * B K * B K) λ k 4 k Dalle specifiche richieste, uguagliando il polinomio caratteristico del sistema retroazionato al polinomio caratteristico desiderato, è necessario porre k -6 e -k -45 da cui k -9/. Il vettore dei guadagni per il sistema del terzo ordine può dunque essere scelto pari a:

5 K * [ -6-9/ ] Il terzo elemento del vettore dei guadagni può essere nullo in quanto è noto dalla teoria che non è possibile riallocare, tramite retroazione lineare dello stato, un modo non controllabile, indipendentemente dal valore assunto da tale guadagno. Bisogna adesso trovare il vettore dei guadagni K che consente di allocare i poli di A+BK nel sistema di riferimento originale. KK * T [ -6-9/] Punto N. Valutiamo adesso l osservabilità del sistema. La matrice di osservabilità è data da M O 3 4 Essa ha rango massimo, pertanto il sistema è completamente osservabile. E quindi possibile progettare un osservatore asintotico che abbia gli autovalori fissati come richiesto. Il polinomio caratteristico desiderato è * 3 ( λ + )( λ + + 5i )( λ + 5i) λ + 3λ + 35λ + 5 Dato quindi il vettore dei guadagni dell osservatore L[L L L 3 ] T, valutiamo il polinomio caratteristico della matrice A+LC. A + LC 3 λ + ( 3 L ) λ + ( 3L 4 L3 L ) λ 6L3 Per cui, uguagliando i coefficienti dei due polinomi si ottiene L[58/ /3] T Punto N. 3 Per semplificare i calcoli la funzione di trasferimento può essere ricavata dalla parte completamente controllabile del sistema. Per fare ciò calcoliamo C * C T - [ ]. La funzione di trasferimento potrà quindi essere calcolata come * * * s G s) C ( si A ) B ( s 4 Ricordiamo che la funzione di trasferimento è un invariante rispetto alle trasformazioni di similitudine. Infatti, se essa si calcolasse dal sistema originario si troverebbe lo stesso risultato. Tramite quest ultimo procedimento risulterebbe evidente la cancellazione del modo non controllabile corrispondente all autovalore -3. Punto N. 4 Il sistema è lineare e tempo invariante, pertanto le condizioni per la BIBO stabilità e l asintotica stabilità coincidono. Il sistema pertanto è instabile, in quanto presenta un autovalore a parte reale positiva.

6 Linee guida per l autovalutazione Assegnate i seguenti punteggi ai quesiti o parti di essi che avete svolto correttamente: Punto Verifica Controllabilità... 4 Forma di Kalman... 6 Progetto Regolatore... 4 Ritorno nello spazio originario... 3 Totale... 7 Punto Verifica Osservabilità... 4 Progetto Osservatore... 4 Totale... 8 Punto Punto 4... Errori di calcolo penalizzano la singola parte del quesito da mezzo punto a un punto. Se il resto del quesito è svolto coerentemente con l errore di calcolo effettuato esso non influenza la valutazione dei punti rimanenti, a meno che non porti a uno stravolgimento dell esercizio (per cui ad esempio non si riescono a svolgere i punti successivi). L esercizio non completato comporta un punteggio parziale relativo ai punti svolti. Errori di impostazione implicano una valutazione delle singole parti dell esercizio e della coerenza con cui si è riusciti a condurre il proprio lavoro. Statisticamente, un esercizio male impostato ottiene una valutazione che va da al 5% del totale. E superfluo sottolineare che il punteggio ottenuto in fase di autovalutazione non è garanzia di risultati simili in sede di esame. Tuttavia, esso è tanto più veritiero quanto più l esercizio è svolto in condizioni simili a quelle dell esame.

7 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL DICEMBRE 4 Un sistema LTI ha come matrici di stato: A B C [ ] D Si trovi una rappresentazione di stato equivalente in forma diagonale Si studi la raggiungibilità e l osservabilità del sistema, determinando le dimensioni dei relativi sottospazi Si trovi, se esiste, uno stato iniziale tale che l uscita libera ad esso associato sia identicamente nulla Si determini la funzione di trasferimento del sistema Si studi la stabilità interna e quella esterna del sistema Si dica se è possibile progettare un osservatore asintotico dello stato ed in caso affermativo si progetti tale osservatore

8 CONTROLLO DEI PROCESSI I ESONERO DEL DICEMBRE 4 Determinare una realizzazione minima in forma diagonale del sistema con funzione di trasferimento s G ( s) ( s + )( s + ) Si progetti sulla forma di stato ottenuta un regolatore lineare con retroazione sullo stato in modo tale da ottenere, in anello chiuso, una coppia di poli p, -± j Dato il sistema LTI in forma di stato A 4 / 3 B 3 / 3 C [ ] D Studiare la raggiungibilità e la osservabilità del sistema, determinando le dimensioni dei relativi sottospazi Si determini, se esiste, uno stato iniziale tale che l uscita libera ad esso associato sia identicamente nulla Si dica se è possibile progettare un osservatore asintotico dello stato ed in caso affermativo si progetti tale osservatore

9 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 7 GENNAIO 5 Un sistema LTI ha come matrici di stato: A B C [ ] D Determinare, se possibile, una retroazione di stato tale per cui il sistema retroazionato abbia gli autovalori in: -;-;-. Costruire, se possibile, un osservatore asintotico degli stati che abbia gli autovalori in: -; - + j5; - - j5. Comunque venga effettuato il progetto, si riportino le matrici dei guadagni del regolatore e dell osservatore nello spazio di stato originario. Trovare la funzione di trasferimento del sistema dato (ad anello aperto). Dire se il sistema è BIBO stabile (ad anello aperto).

10 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 8 FEBBRAIO 5 Dato il sistema non lineare con ingresso u, uscita y e vettore di stato [ ] T 4 3 y u & & Determinare TUTTI gli stati e le uscite di equilibrio in corrispondenza dell ingresso costante u; Linearizzare il sistema attorno ad UNO QUALSIASI degli stati di equilibrio sopra calcolati; Studiare la stabilità del punto di equilibrio adottato nel punto precedente. Dato il sistema LTI con funzione di trasferimento: 3 3 ) ( s s s s G Determinare una realizzazione minima in forma canonica di osservabilità ed indicare le dimensioni dei sottospazi di raggiungibilità ed osservabilità della forma di stato così ottenuta; Determinare l uscita libera corrispondente allo stato iniziale [ ] T ; Progettare un osservatore asintotico dello stato Studiare la stabilità asintotica (interna) dei seguenti sistemi in forma di stato; A B [ ] C A B [ ] C

11 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL APRILE 5 Dato il sistema non lineare con ingresso u, uscita y e vettore di stato [ ] T y u & & Considerando un ingresso costante u, si dica quale (o quali) dei seguenti stati sono di equilibrio: / ; ; Per lo stato (o gli stati) di equilibrio individuati al punto precedente, se ne valuti la stabilità. Dato il sistema LTI: A ; k B ; [ ] C ; Determinare un valore di k reale per cui il sistema non è totalmente raggiungibile Per tale valore di k, determinare uno stato raggiungibile ed uno non raggiungibile Determinare l uscita libera corrispondente allo stato [ ] T Dato il sistema LTI 3 A ; B ; [ ] C Studiare l osservabilità e specificare le dimensioni dei sottospazi di osservabilità e di non osservabilità Studiare la stabilità interna e quella esterna Determinare la funzione di trasferimento

12 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 7 MAGGIO 5 Data la seguente forma di stato Al variare del parametro, si studi la raggiungibilità e la stabilizzabilità del sistema. Fissato a piacere un valore di k ( ) per cui il sistema è non completamente raggiungibile, si determini uno stato non raggiungibile. Fissato k -, si determini un regolatore lineare sullo stato (senza osservatore asintotico) che permetta di posizionare i poli del sistema in ppp3 - Data la forma di stato Si determini, se esiste, uno stato iniziale che produca un uscita libera identicamente nulla. Si studi la stabilità del sistema. Si esponga cosa è il problema della realizzazione, indicando in particolare cosa è una realizzazione in forma minima. Si indichi inoltre una realizzazione in una forma canonica a scelta e se ne evidenzino le proprietà.

13 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 6 SETTEMBRE 5 Dato il sistema non lineare, con uscita y e vettore di stato [ ] T Si determinino i suoi stati di equilibrio; Scelto uno stato di equilibrio a piacere, si linearizzi il sistema e si studi la stabilità nell intorno del punto. Data la seguente forma di stato Si studi la controllabilità e l osservabilità (specificando dimensioni e base dei relativi sottospazi); la stabilizzabilità e la rivelabilità. Si studi la stabilità interna e quella esterna Si determini e At Si determini la funzione di trasferimento Dimostrare che, data una realizzazione di stato espressa tramite le matrici A, B, C, (D), la funzione di trasferimento si ottiene come G(s)C(sI-A) - B. Si esponga inoltre, se esiste, la differenza tra gli autovalori della matrice A ed i poli della funzione di trasferimento.

14 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL SETTEMBRE 5 Un sistema è descritto dalle seguenti equazioni di stato: Si dica, motivando la risposta, se il sistema è lineare o meno. Se il sistema è lineare, si determini una rappresentazione di stato in termini di matrici A,B, C, D. Se esso non è lineare lo si linearizzi intorno all origine [ ] T, con ingresso costante u (ottenendo sempre le matrici A,B,C,D). Utilizzando la matrice A del punto precedente, si ricavi e At con un metodo a scelta. Data la seguente forma di stato Stabilizzare, se possibile, il sistema tramite una retroazione lineare sullo stato. Si determini la funzione di trasferimento del sistema stabilizzato. Si dimostri che la funzione di trasferimento è invariante rispetto a trasformazioni di similitudine.

15 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 8 OTTOBRE 5 Un sistema LTI ha come funzione di trasferimento: G ( s) s + s 3 Si realizzi il sistema in forma minima, utilizzando una forma canonica a piacere. Si progetti un regolatore lineare sullo stato che stabilizzi il sistema. Data la seguente forma di stato 7 A 3 5 k B C [ ] Al variare di k R, k si studi l osservabilità (indicando anche la dimensione dei relativi sottospazi) e la rilevabilità. Scelto un valore di k per cui il sistema è rilevabile, ma non completamente osservabile, si progetti opportunamente un osservatore asintotico dello stato. Si studi la stabilità interna e quella esterna, al variare di k Si determini la funzione di trasferimento Si indichi la condizione per cui è possibile ottenere per similitudine, da una forma di stato assegnata, una rappresentazione in forma canonica di controllo. Si ricavi la matrice di passaggio relativa a tale cambio di coordinate.

16 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 9 DICEMBRE 5 Dato il sistema non lineare, con ingresso u, uscita y e vettore di stato [ ] T Si determinino i suoi stati di equilibrio in corrispondenza di un ingresso u identicamente nullo; Scelto uno stato di equilibrio a piacere, si linearizzi il sistema (scrivendo le matrici A,B,C,D relative al sistema linearizzato) e si studi la stabilità nell intorno del punto scelto. Data la seguente forma di stato Si studino la raggiungibilità (specificando dimensioni e basi dei relativi sottospazi) e la stabilizzabilità del sistema. Si studino la stabilità interna e quella esterna. Se possibile, si stabilizzi il sistema. Un sistema LTI ha come funzione di trasferimento Si determini una realizzazione minima in forma canonica di ricostruzione; Si progetti opportunamente un osservatore asintotico dello stato.

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18 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 8 OTTOBRE 5 Un sistema LTI ha come funzione di trasferimento: Si realizzi il sistema in forma minima, utilizzando una forma canonica a piacere. Si progetti un regolatore lineare sullo stato che stabilizzi il sistema. Data la seguente forma di stato Al variare di si studi l osservabilità (indicando anche la dimensione dei relativi sottospazi) e la rilevabilità. Scelto un valore di k per cui il sistema è rilevabile, ma non completamente osservabile, si progetti opportunamente un osservatore asintotico dello stato. Si studi la stabilità interna e quella esterna, al variare di k Si determini la funzione di trasferimento Si indichi la condizione per cui è possibile ottenere per similitudine, da una forma di stato assegnata, una rappresentazione in forma canonica di ricostruzione. Si ricavi la matrice di passaggio relativa a tale cambio di coordinate.

19 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 7 FEBBRAIO 6 Data la seguente forma di stato Dire, motivando la risposta, se per tale sistema è possibile progettare un regolatore lineare sulla stima dello stato (complesso regolatore-osservatore). In caso affermativo, progettare opportunamente il regolatore e l osservatore in modo tale che il sistema in anello chiuso abbia due autovalori coincidenti in -. Determinare le funzioni di trasferimento in anello aperto ed in anello chiuso. Un sistema con ingresso u e uscita y è descritto dalle seguenti equazioni Determinare i punti di equilibrio e le corrispondenti uscite di equilibrio, considerando l ingresso costante u; Linearizzare il sistema attorno a un punto di equilibrio a scelta (scrivendo le matrici A, B, C, D), e valutare la stabilità del punto di equilibrio scelto; Considerata la matrice A calcolata per linearizzazione al punto precedente, determinare e At con un metodo a scelta. Dare la definizione di: Movimento Movimento stabile e asintoticamente stabile

20 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 5 APRILE 6 Data la seguente forma di stato Si determinino uno stato raggiungibile, uno non raggiungibile, uno osservabile, uno non osservabile Si studi la stabilità interna del sistema Un sistema LTI è descritto dalla seguente funzione di trasferimento Si realizzi il sistema in forma minima in una forma canonica a scelta Si progetti opportunamente un osservatore asintotico dello stato sulla realizzazione scelta Si disegni lo schema a blocchi dell osservatore e se ne scrivano in forma simbolica le relative equazioni di stato. Data la seguente forma di stato Dire se essa può essere diagonalizzata. In caso affermativo diagonalizzare la forma di stato. IN OGNI CASO, calcolare l uscita libera a partire dallo stato iniziale [ ] T con un metodo a scelta.

21 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 5 MAGGIO 6 Un sistema è descritto dalle seguenti equazioni di stato: Si dica, motivando la risposta, se il sistema è lineare o meno. Se il sistema è lineare, si determini una rappresentazione di stato in termini di matrici A,B, C, D. Se esso non è lineare lo si linearizzi intorno ad un suo punto di equilibrio, determinato con ingresso costante u (ottenendo sempre le matrici A,B,C,D). Utilizzando la matrice A del punto precedente, si ricavi e At con un metodo a scelta. Date le seguenti forme di stato Dire, motivando la risposta, se una o entrambe le forme di stato sono stabilizzabili. In caso affermativo, stabilizzare mediante retroazione lineare sullo stato una delle due forme di stato. Determinare la funzione di trasferimento del sistema stabilizzato. Si dimostri che la funzione di trasferimento è invariante rispetto a trasformazioni di similitudine.

22 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 6 LUGLIO 6 Un sistema è descritto dalla seguente funzione di trasferimento Si determini una realizzazione minima in una forma canonica a scelta Si progetti un regolatore lineare sullo stato che stabilizzi il sistema Si determini la funzione di trasferimento del sistema in anello chiuso Data la seguente forma di stato Dire quale o quali dei seguenti stati iniziali producono un uscita libera identicamente nulla,, Si selezioni, se esiste, uno tra i tre stati iniziali del punto precedente che NON produce un uscita libera identicamente nulla e si calcoli l uscita libera in corrispondenza di tale stato iniziale. Si enunci il teorema di Cailey-Hamilton e se ne illustri una possibile applicazione nell analisi dei sistemi LTI

23 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 7 SETTEMBRE 6 Data la seguente forma di stato Scrivere le equazioni di stato e la trasformazione di uscita del sistema Determinare l evoluzione libera a partire dallo stato iniziale [ ] Dire se il sistema è asintoticamente stabile, marginalmente stabile, instabile Determinare la funzione di trasferimento del sistema Dire se è possibile, tramite una opportuna retroazione lineare sullo stato, posizionare a piacimento tutti gli autovalori del sistema in anello chiuso Dire se esistono stati non osservabili. In caso affermativo, determinare uno stato non osservabile. Un sistema LTI ha come funzione di trasferimento: Si realizzi il sistema in forma minima, utilizzando una forma canonica a piacere. Si progetti opportunamente, sulla forma di stato ottenuta al punto precedente, un osservatore asintotico dello stato. Data la forma di stato Determinare i poli e gli autovalori del sistema Discutere la stabilità interna ed esterna del sistema

24 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL NOVEMBRE 6 Dato il sistema LTI con funzione di trasferimento: s + 3 G ( s) s + s + Determinare una realizzazione minima in forma canonica di osservabilità ed indicare le dimensioni dei sottospazi di raggiungibilità ed osservabilità della forma di stato così ottenuta; Determinare l uscita libera corrispondente allo stato iniziale [ ] T ; Progettare un osservatore asintotico dello stato Data la seguente forma di stato 3 A B C [ ] Si studi la raggiungibilità e l osservabilità (specificando dimensioni e base dei relativi sottospazi); la stabilizzabilità e la rivelabilità. Si studi la stabilità interna e quella esterna Si determini e At Si determini la funzione di trasferimento Dimostrare che, in occasione di una trasformazione di similitudine: La dimensione del sottospazio di raggiungibilità rimane invariata La base del sottospazio di raggiungibilità, invece, subisce un cambiamento

25 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 3 FEBBRAIO 7 Data la seguente forma di stato Scrivere le equazioni di stato che descrivono il sistema Calcolare e At con un metodo a scelta Calcolare l evoluzione libera a partire da condizioni iniziali [ ] T Dire se esistono ingressi limitati in grado di produrre un uscita y(t) tale che Data la seguente forma di stato Si determini se il sistema è rivelabile In caso affermativo, si progetti un osservatore asintotico dello stato in grado di stimare le variabili osservabili Scrivere la forma di stato di un sistema lineare tempoinvariante ad un ingresso ed un uscita, con le seguenti caratteristiche: Del terzo ordine In forma canonica di controllo Stabile esternamente, ma instabile internamente Che sia completamente raggiungibile, ma non completamente osservabile, con dim Xo e dim Xno Una volta definita la forma di stato, se ne calcoli la funzione di trasferimento

26 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 7 FEBBRAIO 7 Un sistema è descritto dalle seguenti equazioni di stato: Si dica, motivando la risposta, se il sistema è lineare o meno. Se il sistema è lineare, si determini una rappresentazione di stato in termini di matrici A,B, C, D. Se esso non è lineare lo si linearizzi intorno all origine [ ] T, con ingresso costante u (ottenendo sempre le matrici A,B,C,D). Si studi la stabilità del sistema (se il sistema è lineare) o dell origine (se il sistema non è lineare) Utilizzando la matrice A del punto precedente, si ricavi e At con un metodo a scelta. Data la seguente forma di stato Dire quale o quali dei seguenti stati iniziali producono un uscita libera identicamente nulla,, Si selezioni, se esiste, uno tra i tre stati iniziali del punto precedente che NON produce un uscita libera identicamente nulla e si calcoli l uscita libera in corrispondenza di tale stato iniziale. Si indichi la condizione per cui è possibile ottenere per similitudine, da una forma di stato assegnata, una rappresentazione in forma canonica di controllo. Si ricavi la matrice di passaggio relativa a tale cambio di coordinate.

27 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 3 APRILE 7 Un sistema LTI ha come matrici di stato: Discutere la stabilità del sistema al variare di k reale. Determinare un valore di k per cui il sistema è non completamente raggiungibile. In tale caso, determinare: o o Una base del sottospazio di raggiungibilità Uno stato non raggiungibile Fissato k e supponendo di partire da condizioni iniziali ()[ ] T, determinare l andamento dell uscita del sistema quando l ingresso è una rampa unitaria. Dato il sistema LTI con funzione di trasferimento: Determinare una realizzazione minima in forma canonica di osservabilità ed indicare le dimensioni dei sottospazi di raggiungibilità ed osservabilità della forma di stato così ottenuta; Determinare l uscita libera corrispondente allo stato iniziale [ ] T ; Progettare un osservatore asintotico dello stato Si esponga cosa è il problema della realizzazione, indicando in particolare cosa è una realizzazione in forma minima. Si indichi inoltre una realizzazione in una forma canonica a scelta e se ne evidenzino le proprietà.

28 CONTROLLO DEI PROCESSI I APPELLO DEL 5 LUGLIO 7 Scrivere le equazioni di stato di un sistema del secondo ordine, completamente osservabile, non completamente raggiungibile ma stabilizzabile. Successivamente, progettare opportunamente un regolatore lineare sulla stima dello stato (complesso osservatore asintotico e regolatore) che stabilizzi il sistema. Un sistema con ingresso u e uscita y è descritto dalle seguenti equazioni Determinare i punti di equilibrio e le corrispondenti uscite di equilibrio, considerando l ingresso costante u; Linearizzare il sistema attorno a un punto di equilibrio a scelta (scrivendo le matrici A, B, C, D), e valutare la stabilità del punto di equilibrio scelto; Considerata la matrice A calcolata per linearizzazione al punto precedente, determinare e At con un metodo a scelta. Si dimostri che la proprietà di asintotica stabilità è invariante rispetto a trasformazioni di similitudine.

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