Controlli Automatici

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1 Controlli Automatici (Prof. Casella) I Prova in Itinere - 21 Novembre 2008 Soluzioni Domanda 1 Con riferimento al seguente sistema: ẋ 1 = x 1 ẋ 2 = 2 x 1 x 2 u ẋ 3 =x 1 5 x 2 x 3 y=3 x 1 2 x Valutare la stabilità degli equilibri corrispondenti all'ingresso u=23.54, al variare del parametro reale α. Essendo il sistema lineare tempo-invariante, la stabilità degli equilibri non dipende dal particolare valore dell'ingresso, ma solo dagli autovalori della matrice A A=[ ] Gli autovalori della matrice A, che è triangolare inferiore, si leggono direttamente sulla diagonale, e valgono α, α, 1. Quando α 0, esiste un autovalore a parte reale strettamente positiva, quindi il sistema è instabile. Quando α = 0, un autovalore ha parte reale strettamente negativa, gli altri due sono coincidenti e nulli. E' immediato verificare che la loro molteplicità geometrica, ovvero il numero di corrispondenti autovettori linearmente indipendenti, è solamente pari ad 1, quindi anche in questo caso il sistema è instabile. 1.2 Valutare la raggiungibilità e l'osservabilità del sistema, al variare del parametro reale α. La matrice di raggiungibilità vale: K r =[ B AB A 2 B]=[0 0 0 * * * * * *]

2 essendo la prima riga nulla, la matrice ha sicuramente rango inferiore a tre; pertanto il sistema non è raggiungibile, come è del resto intuibile dalla struttura del sistema, visto che l'ingresso u non può influenzare nemmeno indirettamente la variabile x 1. La matrice di osservabilità vale: K o =[C ' A' C ' A 2 ' C ' ]=[* * * * * * 0 0 0] essendo l'ultima riga nulla, la matrice ha sicuramente rango inferiore a tre; pertanto il sistema non è osservabile, come è del resto intuibile dalla struttura del sistema, visto che il moto libero corrispondente al movimento della sola variabile x 3 corrisponde ad un andamento dell'uscita identicamente nullo 1.3 Calcolare la funzione di trasferimento del sistema, valutarne la stabilità, e commentare il risultato rispetto a quanto stabilito ai punti precedenti (si consiglia di procedere per sostituzione). Trasformando secondo Laplace le prime due equazioni del sistema è immediato verificare che X 1 =0 X 2 = 1 s U Y = 2 s U La funzione di trasferimento del sistema vale quindi G s = 2 s ed è la funzione di trasferimento di un sistema del primo ordine, che risulta asintoticamente stabile per α < 0, semplicemente stabile per α = 0, instabile per α > 0. Il risultato differisce da quello trovato al punto 1.1 a causa della non raggiungibilità e non osservabilità del sistema, verificabile anche dal fatto che l'ordine della funzione di trasferimento (uno) è inferiore a quello del sistema nello spazio di stato (tre). Esercizio 2 Si consideri il sistema dinamico: ẋ 1 = x 1 u ẋ 2 = x 1 x 2 y= x Valutare per quali valori del parametro α è possibile progettare un controllore con assegnamento degli autovalori e stato accessibile. E' necessario che il sistema sia raggiungibile. La matrice di raggiungibilità del sistema vale:

3 K r =[ B AB ]=[ ] il cui determinante vale α. Occorre quindi che sia α Progettare tale controllore in modo da spostare entrambi gli autovalori del sistema nel punto -2 Il polinomio caratteristico del sistema vale: s =s 2 1= s 1 s 1 =s 2 2s 1 che ha due radici in 1; il polinomio caratteristico desiderato ad anello chiuso vale s = s 2 s 2 =s 2 4s 4. Se il sistema fosse in forma canonica di controllo, la matrice dei guadagni del controllore sarebbe: K =[ ]=[ 3 2 ]. La matrice di trasformazione che porta il sistema in forma canonica si può trovare calcolando: K 1 r =[ 1 1/ 0 1/ ] A=[ ], B=[ 0 1] ; K r =[ B A B]=[ ] ; T = K r K r 1 =[ La matrice dei guadagni del controllore u = Kx vale quindi K = K T =[ 2 1/ ]. 0 1/ 1 1/ ]. Si verifica immediatamente che il polinomio caratteristico della matrice A + BK è quello desiderato, indipendentemente dal valore di α. E' interessante notare, en passant, che con l'avvicinarsi del sistema alla condizione di non raggiungibilità (cioè per valori di α prossimi allo zero), il guadagno del regolatore tende a diventare molto grande, al limite infinito. 2.3 Disegnare lo schema a blocchi di un sistema di controllo con inseguimento del riferimento, sempre nell'ipotesi che entrambi gli stati siano misurabili. Descrivere sinteticamente la procedura di progettazione del regolatore, senza effettuare calcoli. y e K I u S x K y

4 Si costruisce il sistema aumentato, aggiungendo un integratore alimentato dall'errore, in modo che a regime sia garantita la relazione di inseguimento y = y. Lo stato è accessibile, quindi non occorre prevedere stimatori. Si progetta quindi il controllore con stato accessibile per il sistema aumentato: A=[ A 0 C 0], B=[ B 0 ] posizionandone gli autovalori come desiderato (per esempio, tutti in 2); il valore del vettore di guadagni K è dato dai primi due elementi del controllore per il sistema aumentato, mentre il valore del guadagno K I è dato dal terzo elemento. Esercizio 3 Si consideri il seguente sistema di controllo s 2 G s = s 1 s 2 R s =k s 3 s 4 y y R(s) G(s) 3.1 Tracciare il luogo delle radici corrispondente a valori di k > 0. L s = s 2 s 3, =k s 1 s 2 s R o o t L o c u s I m a g i n a r y A x i s R e a l A x i s

5 3.2 Tracciare il luogo delle radici corrispondente a valori di k < 0. 4 R o o t L o c u s I m a g i n a r y A x i s R e a l A x i s 3.3 Valutare per quali valori di k > 0 il sistema ad anello chiuso è asintoticamente stabile. I tre rami del luogo diretto partono tutti dal semipiano sinistro. Al crescere di ρ = k, il polo sul ramo più a destra attraversa l'asse immaginario nell'origine, in corrispondenza ad un valore pari a: k = = = D 0 N 0 = = 4 3 Il sistema è pertanto asintoticamente stabile per k < 4/ Si supponga ora di impiegare un generico regolatore R(s) del primo ordine. Cosa si può dire della stabilità del sistema ad anello chiuso quando il guadagno di tale regolatore tende ad infinito? Comunque preso R(s) del primo ordine (o anche di ordine superiore), il regolatore non può cancellare lo zero a fase non minima in +2 con un polo, perchè si verrebbe a creare una cancellazione polo/zero con dinamica instabile, ovvero una parte instabile non raggiungibile o non osservabile del sistema. Pertanto, lo zero in +2 rimane comunque presente nella funzione d'anello L(s). Di conseguenza, sia un ramo del luogo diretto che un ramo del luogo inverso tendono a +2 al tendere del guadagno del regolatore (e quindi di ρ) all'infinito. Si può quindi concludere che comunque preso R(s), il sistema ad anello chiuso diventerà instabile per valori sufficientemente elevati del guadagno, a causa dell'attrazione esercitata dallo zero a fase non minima su uno dei poli del sistema ad anello chiuso.