Controlli Automatici

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1 Controlli Automatici (Prof. Casella) I Prova in Itinere - 21 Novembre 2005 Soluzioni

2 Esercizio 1 Con riferimento al seguente sistema dinamico: ẋ 1 = x 1 x 2 2x 3 ẋ 2 = 2x 2 x 3 ẋ 3 =x 2 2x 3 u y=x 2 x Spiegare perchè la stabilità di tutti gli stati di equilibrio del sistema non dipende dal particolare equilibrio preso in esame. Il sistema proposto è lineare, tempo-invariante. Per tali sistemi, le proprietà di stabilità non dipendono dal particolare equilibrio preso in esame. Infatti, la stabilità alla Lyapunov dell'equilibrio dipende dall'evoluzione temporale della differenza tra movimento nominale e movimento perturbato, che per questi sistemi vale: x p t x n t =e At x p 0 x n 0 ed è quindi unicamente determinata dalle proprietà della matrice A del sistema. 1.2 Valutare la stabilità di tali equilibri. A=[ ] La matrice A è triangolare a blocchi; i suo autovalori valgono 1, 1, 3, ed hanno tutti parte reale negativa; pertanto il sistema è asintoticamente stabile. 1.3 Valutare la raggiungibilità del sistema. La matrice di raggiungibilità vale: K r =[B AB A 2 B]=[ ] ed ha rango 3. Pertanto il sistema è completamente raggiungibile. 1.4 Valutare l'osservabilità del sistema. La matrice di osservabilità vale: K r =[C ' A 'C ' A 2 ' C' ]=[ ] ed ha rango 1. Pertanto il sistema non è completamente osservabile.

3 1.5 Giustificare il risultato del punto 1.4 basandosi sulla sola definizione di sistema osservabile (si consiglia di considerare attentamente la struttura delle equazioni del sistema). La variabile di stato x 1 non compare nell'equazione d'uscita, e non influenza l'evoluzione delle variabili di stato x 2 e x 3. Scelto quindi, per esempio, uno stato iniziale x 0 = [1 0 0]', il movimento libero vale x(t) = [e t 0 0], e l'uscita risulta identicamente nulla. Questo va contro la definizione di sistema osservabile, che richiede che l'uscita corrispondente al moto libero del sistema sia non identicamente nulla per ogni stato iniziale non nullo. Esercizio 2 Si consideri il sistema dinamico: 2.1 Supponendo lo stato accessibile, progettare un sistema di controllo che stabilizzi il sistema portando l'autovalore positivo nella stessa posizione di quello negativo. Le matrici del sistema valgono: A=[ ], B= [ 1 0] C=[1 0] Il polinomio caratteristico del sistema vale: s =s 2 1= s 1 s 1 che ha radici +1 e 1; pertanto il polinomio caratteristico desiderato ad anello chiuso vale s = s 1 s 1 =s 2 2s 1. Se il sistema fosse in forma canonica di controllo, la matrice dei guadagni del controllore sarebbe: K=[ ]=[ 2 2]. La matrice di trasformazione che porta il sistema in forma canonica di controllo è la seguente: K r =[B AB]=[ ] =I A=[ ] B=[, 0 1] ; K r =[ B A B]=[ ] ; T = K r K 1 r =[ ]. La matrice dei guadagni del controllore u = Kx vale quindi K= K T =[ 2 2 ]. ẋ 1 =x 2 u ẋ 2 =x 1 y=x Progettare un osservatore dello stato, assegnando la dinamica dell'errore in modo che abbia autovalori coincidenti ed una dinamica 5 volte più veloce di quella del controllo. Si scrivano per esteso le equazioni dell'osservatore ricavato. Gli autovalori dell'osservatore devono essere cinque volte più grandi di quelli del sistema controllato, e devono quindi valere entrambi 5; pertanto il polinomio caratteristico desiderato ad anello chiuso vale s = s 5 s 5 =s 2 10s 25.

4 Se il sistema fosse in forma canonica di osservazione, la matrice dei guadagni dell'osservatore varrebbe: L' =[ ]=[ ] Si noti che il sistema duale coincide con il sistema primale; pertanto la matrice di trasformazione che porta in f.c.o. è la stessa che portava in f.c.c. La matrice dei guadagni dell'osservatore vale quindi: L= L' T '=[ 10 26] Le equazioni dell'osservatore sono quindi: x 1 = x 2 u 10 y y x 2 = x 1 26 y y y= x Si supponga ora di progettare un nuovo osservatore, la cui dinamica sia 20 volte più veloce del controllo. Quali controindicazioni può avere tale scelta, rispetto a quella del punto precedente? I valori dei guadagni della matrice L diventano molto più grandi; l'effetto del rumore di misura sulla stima dello stato sarà quindi molto maggiore. 2.4 Nell'ipotesi che lo stato sia misurabile, disegnare lo schema a blocchi di un sistema di controllo con inseguimento del riferimento. Indicare sinteticamente la procedura da seguire per la determinazione dei parametri di tale sistema, nell'ipotesi di voler assegnare tutti gli autovalori al valore trovato al punto 2.1 (non si richiede il calcolo di tali parametri). y e K I u S x K y Si costruisce il sistema aumentato, aggiungendo un integratore alimentato dall'errore, in modo che a regime sia garantita la relazione di inseguimento y = y. Lo stato è accessibile, quindi non occorre prevedere stimatori. Si progetta quindi il controllore con stato accessibile per il sistema aumentato: A=[ A 0 C 0], B=[ B 0] posizionandone i tre autovalori in 1; il valore del vettore di guadagni K è dato dai primi due elementi del controllore aumentato, mentre il valore del guadagno K I è dato dal terzo elemento.

5 Esercizio 3 Si consideri il seguente sistema di controllo G s = 10 s 1 2 R s =k s 3 s 5 y y R(s) G(s) 3.1 Tracciare il luogo delle radici corrispondente a valori di k > 0. La funzione d'anello del sistema vale L s = s 3, =10k s 1 2 s 5 pertanto il luogo corrispondente a valori positivi di k è il luogo diretto, e quello corrispondente a valori negativi di k è il luogo inverso. 3.2 Tracciare il luogo delle radici corrispondente a valori di k < 0.

6 3.3 Valutare per quali valori di k il sistema ad anello chiuso è asintoticamente stabile. Il luogo diretto è interamente contenuto nel semipiano sinistro aperto, quindi il sistema è asintoticamente stabile per tutti i valori di k 0. Il luogo inverso attraversa l'asse reale nell'origine. La punteggiatura di tale punto porta ad un valore di ρ = 5/3, corrispondente ad un valore di k = 1/6. Pertanto il sistema è asintoticamente stabile per k > 1/6, semplicemente stabile per k = 1/6 e instabile per k < 1/ Proporre una modifica alla funzione di trasferimento del regolatore in modo che, per valore di k sufficientemente elevati, tutti i poli ad anello chiuso abbiano parte reale minore di 3. Valutando solo il luogo diretto (per k < 0 elevati il sistema è comunque instabile) è facile rendersi conto che il valore asintotico della parte reale dei poli più lenti è quello dell'asintoto, che vale: p x a = i z i 2 E' quindi sufficiente spostare a sinistra il polo di R(s), e/o a destra lo zero di R(s) in modo che x a < 3. Ad esempio: R s =k s 3 s 10