Nome, Cognome: punti corrispondono alla nota massima.

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1 Nome Cognome: Gli esercizi 11 e 12 sono obbligatori il terzo esercizio deve essere scelto tra 13 e punti corrispondono alla nota massima 12 novembre 2016 ing Ivan Furlan 1

2 11 Sistema di controllo per un sistema di isolazione delle vibrazioni (25 punti) Sia dato il sistema meccanico rappresentato in figura (11) k k x d (t) m F (t) x w (t) x(t) Figura 11: Sistema attivo per isolare la massa m dal movimento x w (t) Domande: 1 Modellizza il sistema e trova la rappresentazione di stato le entrate del sistema corrispondono alla forza F (t) e la posizione x w (t) dell involucro contenente la massa m La grandezza misurata corrisponde invece a l estensione della molla x d (t) rispetto il punto di equilibrio (1/2 punto) 2 Progettare il controllore di stato con osservatore completo che agendo su F (t) mantenga il più possibile costante la posizione della massa rispetto il sistema di riferimento inerziale a fronte di disturbi non misurabili di movimento dell involucro x w (t) Rappresenta il tutto in forma compatta (1 punto) 3 Supponendo che il sistema di controllo funzioni in modo perfetto cioè che la massa rimanga perfettamente ferma rispetto al riferimento fisso quale è in questo caso l andamento della forza F (t)? (ragiona su l equazione differenziale del sistema) (1 punto) Soluzione: 1 Applicando la seconda legge di Newton si ottiene la seguente equazione differenziale m ẍ d (t) F (t) 2 k x d (t) m ẍ w (t) 2 ing Ivan Furlan 12 novembre 2016

3 Considerando le azioni esterne F (t) e x w (t) come ingressi ed la grandezza misurata x d come uscita in forma di stato l equazione sopra diventa ẋd (t) 0 1 xd (t) 0 0 F (t) ẍ d (t) 2k ẋ m d (t) 1 ẍ m w (t) xd (t) F (t) x d (t) ẋ d (t) ẍ w (t) Definiamo le matrici B F B 1 0 T D F D 1 0 T che saranno utili di seguito 2 Progettazione del controllore di stato: da cui det(s I A + B 1 K) p(s) ( ) s 1 det 2k + k 1 s + k (s + P 2 1 ) (s + P 2 ) m m m s 2 + s k2 m + 2 k m + k 1 m s2 + s (P 1 + P 2 ) + P 1 P 2 k 1 m P 1 P 2 2 k k 2 m (P 1 + P 2 ) Il poli del controllore dovranno essere scelti lenti In modo tale che il controllore non cerchi di mantenere costante l estensione della molla I poli ideali sono quelli che danno come k 1 risultante 2 k e k 2 risultante 0 Progettazione dell osservatore di stato completo: da cui det(s I A + L C) p o (s) ( ) s + l1 1 det 2k + l (s + P m 2 s o1 ) (s + P o2 ) s 2 + s l k m + l 2 s 2 + s (P o1 + P o2 ) + P o1 P o2 l 1 P o1 + P o2 l 2 P o1 P o2 2 k m Forma compatta partendo dalle equazioni dˆx(t) dt A o ˆx(t) + B of B oxd F (t) K ˆx(t) + r(t) F (t) x d (t) 12 novembre 2016 ing Ivan Furlan 3

4 dove A o A L C B of B F L D F B oxd L ed eliminando F (t) dal sistema di equazioni dˆx(t) dt (A o B of K) ˆx(t) + B of B oxd u(t) K ˆx(t) si ottiene la forma compatta r(t) x d (t) r(t) x d (t) 3 Se la massa rimane ferma rispetto il sistema di riferimento inerziale significa che x d (t) x w (t) e conseguentemente ẍ d (t) ẍ w (t) sostituendo questo nell equazione differenziale del sistema si ottiene F (t) 2 k x w (t) vale a dire la forza che compensa esattamente l influsso che esercitano le molle sulla massa m a causa del movimento del telaio x w (t) 4 ing Ivan Furlan 12 novembre 2016

5 12 Progettazione di un osservatore ridotto e forma compatta (25 punti) Siano date le matrici di un sistema continuo A B C d 1 a b c D dove gli ingressi ed uscite sono cosi definiti u(t) u 1 (t) u 2 (t) T y(t) y 1 (t) y 2 (t) T Domande: 1 A quali condizioni su i parametri a b c d (scalari reali) il sistema risulta osservabile quando l ingresso del sistema è u 1 (t) e l osservatore utilizza solo l uscita y 1 (t)? (1/2 punto) 2 Determinare l osservatore ridotto che utilizzi solo u 1 (t) e y 1 (t) i parametri valgono: a 2 b 1 c 2 d 1 Scegliere tutti i poli a 6 (1 punto) 3 Supponendo che dal calcolo del controllo di stato con parte integrale risultino i seguenti gain K ext ricavare la forma compatta controllore + osservatore ridotto (1 punto) Soluzione: 1 Siccome l uscita disponibile per la stima degli stati corrisponde a y 1 per determinare l osservabilità del sistema si deve considerare la matrice C C 1 b La matrice di osservabilità risulta dunque O 1 a a 2 + a Essendo una matrice quadrata per determinare l osservabilità si può semplicemente verificare che il determinante sia diverso da 0 dunque det(o) a a 2 a 2 0 a 2 1 a ±1 2 Determinazione dell osservatore ridotto Matrice P P C T novembre 2016 ing Ivan Furlan 5

6 Cambio di rappresentazione matrice A P AP 1 A11 A A 21 A Cambio di rappresentazione matrice B u1 B 1 0 T Calcolo matrice L 1 P B u det(s A 22 +L 1A 12 ) s+p o1 A 22 +L 1A 12 P o1 L 1 P o1 + A 22 A Calcolo matrici dell osservatore ridotto 0 Â L 1 I P A P 1 6 I I I 0 ˆB L 1 I P B u1 P A P 1 L 1 D I 0 2 Ĉ P 1 I 1 0 I I ˆD P 1 0 L 1 D I Forma compatta: combinando le equazioni v(t) Â v(t) + ˆB u1 u 1 (t) + ˆB y1 y 1 (t) ˆx(t) Ĉ v(t) + ˆD u1 u 1 (t) + ˆD y1 y 1 (t) u 1 (t) K ˆx(t) k e x e (t) ẋ e (t) r(t) y 1 (t) dove in generale M u M 1 0 T e M y M 0 1 T si ottiene v(t) Â ˆBu1 X K Ĉ ˆB u1 X k e v(t) + ẋ e (t) 0 0 x e (t) 0 ˆBy1 ˆB u1 X K ˆD y1 r(t) 1 1 y 1 (t) u 1 (t) v(t) X K Ĉ X k e + 0 X K x e (t) ˆD y1 r(t) y 1 (t) dove X ( I + K ˆD u1 ) 1 6 ing Ivan Furlan 12 novembre 2016

7 13 Progettazione di un controllore per regolare il livello d acqua in una cisterna (5 punti) Sia data una cisterna di forma cubica di lato l appoggiata su di un piano orizzontale La cisterna viene riempita con un flusso d acqua u 1 (t) m 3 /s e svuotata con un flusso d acqua u 2 (t) m 3 /s Domande: 1 Trovare la rappresentazione di stato del sistema utilizzare come variabile di stato l altezza h(t) dell acqua nella cisterna come variabili di ingresso i flussi u 1 (t) e u 2 (t) e come variabile di uscita h(t) (15 punti) 2 Progettare un controllore di stato con parte integrale che agendo su u 1 (t) sia in grado di mantenere l altezza h(t) dell acqua nella cisterna costante a fronte di un flusso d uscita di disturbo u 2 (t) (1 punto) 3 Si vuole implementare il sistema di controllo su di un calcolatore Serve dunque il modello discreto del sistema Utilizzando l approssimazione di Eulero ḣ h k+1 h k T s ricavare le matrici di stato discrete Φ Γ(1 punto) 4 Supponendo il flusso d uscita proporzionale all altezza h k ciè u 2 α u 1 determinare la sequenza di entrate ottima u 1k tale da portare lo stato del sistema h k da h 0 0 ad un valore h desiderato nel numero di passi minimo possibile Determinare inoltre il relativo controllore di stato (15 punti) Soluzione: 1 Il volume nella cisterna varia per unità di tempo secondo la legge ḣ(t) l 2 u 1 (t) u 2 (t) da cui ḣ(t) 1 l 2 (u 1(t) u 2 (t)) La rappresentazione di stato diventa dunque ḣ(t) 0 h(t) + 1 l 2 1 l 2 h(t) 1 h(t) + u1 (t) u 2 (t) 0 0 u1 (t) u 2 (t) 12 novembre 2016 ing Ivan Furlan 7

8 2 Progettazione del controllore di stato matrice di ingresso B 1 B 1 0 T matrici estese A ext B 1 0 ext l 2 0 determinazione di k e k e det (s I A ext + B ext k k e ) det ( s + k l 2 k e l 2 1 s ) s 2 +s k l 2 k e l 2 s2 +s(p 1 +P 2 )+P 1P 2 da cui k l 2 (P 1 + P 2 ) k e l 2 P 1 P 2 3 Approssimando la derivata come richiesto si ottiene T s l 2 h k+1 1 h k + T s }{{} l } 2 {{} Φ Γ h k 1 h k u1k u 2k u1k u 2k 4 Supponendo si ottiene u 2k α h k h k+1 1 α T s Ts h }{{ l 2 k + }}{{ l 2 } u1k Φ Γ h k 1 h k + 0 u 1k Essendo il sistema di primo ordine si può arrivare al valore h desiderato in un solo passo: u 10 C 1 ( ) h Φ 1 l 2 h 0 h T s Il controllore di stato ottimo corrisponde a u 1k q 0 Φ 1 h k + q 0 h l2 T s }{{} K h k + l2 h T }{{} s K precomp 8 ing Ivan Furlan 12 novembre 2016

9 14 Controllabilità ed osservabilità (5 punti) Sia dato un sistema a tempo continuo SISO in forma minima del quale si conosce che det(a) 0 traccia di A equivalente a 0 La funzione di trasferimento possiede poli stabili e asintoticamente stabili Il ranghi della matrice di controllabilità ed osservabilità valgono 4 e rispettivamente 8 Non esistono dinamiche completamente isolate da u ed y (cioé non controllabili e non osservabili allo stesso tempo) Domande: 1 È possibile osservare tutti gli stati (1/2 punto)? 2 Determinare l ordine minimo del sistema l uscita y(t) per qualche x(0) (1 punto)? 3 Il sistema potrebbe essere controllabile? (1/2 punto) 4 In quale caso il sistema risulta non osservabile? (1/2 punto) 5 Il sistema potrebbe essere stabile? (1 punto) 6 È possibile determinare l ordine massimo (15 punti) Attenzione: tutte le risposte devono essere motivate in modo dettagliato! Soluzione: 1 Risulta possibile solo nel caso l ordine del sistema fosse 8 Per ordini maggiori no 2 L ordine minimo del sistema corrisponde a min(rank(c) rank(o)) 8 3 Il sistema di sicuro non è controllabile in quanto l ordine minimo del sistema è 8 e il rango della matrice di controllabilità corrisponde a 4 Dunque almeno 4 stati sono non controllabili 4 Il sistema risulta non osservabile se l ordine è maggiore di 8 12 novembre 2016 ing Ivan Furlan 9

10 5 Siccome la traccia di A vale zero e ci sono sicuramente autovalori a parte reale negativa (in quanto presenti come poli) il sistema deve per forza avere autovalori a parte reale positiva Non può dunque essere stabile 6 Siccome non esistono dinamiche isolate e siccome la funzione di trasferimento presenta almeno 2 poli l ordine massimo del sistema corrisponde a rank(c) + rank(o) ing Ivan Furlan 12 novembre 2016