Raggiungibilita e Controllabilita De nizioni e condizioni. Teoria della raggiungibilita e della invarianza. Invarianza e invarianza controllata.

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1 PROGRAMMA DI TEORIA DEI SISTEMI INTRODUZIONE Concetti di decisione e di controllo: similitudini e di erenze. Struttura dei problemi di decisione e controllo: dinamica obiettivi e vincoli. Sottomodelli di dinamica di obiettivi e di vincoli e modelli di problemi di decisione e controllo. Modelli statici e modelli dinamici. Classi cazione delle variabili nei modelli dinamici: ingressi stati ed uscite. Proprieta di linearita, stazionarieta nita dimensionalita. Modelli dinamici: proprieta e struttura. Rappresentazione di processi tramite modelli dinamici. Metodologie di modellistica. Esempi di modellistica.. Modelli dinamici a tempo discreto ed a tempo continuo: confronto e relazioni. Modelli lineari (e a ni) e modelli non lineari: confronto e relazioni. Il CONCETTO DI STATO PER I SISTEMI DINAMICI Introduzione al concetto di stato. Modelli di stato, spazi di stato. Esempi. Cenni alla teoria astratta dello stato. RICHIAMI DI TEORIA DEGLI SPAZI LINEARI MODELLI DI STATO LINEARI Modelli dinamici lineari stazionari nito dimensionali a tempo continuo e a tempo discreto. Analisi. Esistenza, unicita e continuita delle soluzioni. Espressione delle soluzioni. Risposta libera e risposta forzata. Ruolo dei semigruppi nel caso continuo e nel caso discreto: potenze della matrice dinamica ed esponenziale di matrice. Analisi delle loro proprieta. Trasformazioni dello spazio di stato ed invarianti. Rappresentazione spettrale ed analisi modale. Diagonalizzazione. Forma generale di Jordan. Risposta libera e risposta forzata. Caso a tempo continuo e caso a tempo discreto. TEORIA DELLA STABILITA Punti di equilibrio. Stabilita e stabilita asintotica. Condizioni di stabilita e di stabilita asintotica. Analisi qualitativa. Teoria di Lyapunov RAGGIUNGIBILITA Controllo della posizione e delle traiettorie dello stato come obiettivo. Visione classica. Raggiungibilita e Controllabilita De nizioni e condizioni. Teoria della raggiungibilita e della invarianza. Invarianza e invarianza controllata. Rivisita della teoria della raggiungibilita nell ottica dell invarianza. Rivisita della Raggiungibilita nell ottica dei sistemi vincolati APPLICAZIONI Applicazioni legate ai modelli della dinamica dei processi. Analisi e simulazione. What if experiments. Simulazione avanzata. Case study: modelli dinamici d impresa. Cenni alla riduzione dello spazio di stato ed alla proprieta di inosservabilita.

2 DOMANDE VERIFICA ENTRY LEVEL (Sforzati di evitare l uso del concetto di rango di una matrice e lavora nel dominio del tempo) - Fai vari esempi di vettori 2- Qual e la somma dei Ae? Ae linearmente 3- L insieme di Quante soluzioni ha il sistema 2 A x 4 2 A? 2 5-Indica la trasformazione di base per R 3 che corrisponde alla nuova base A A A Da che base sei partito? 6- Nell esercizio di esame qui sotto (tempo discreto) lo raggiungibile? E lo Ae A? Se uno stato e raggiungibile come trovi il controllo per raggiungerlo? E il tempo minimo per raggiungerlo? 7- Considera un sistema lineare a tempo continuo con A diagonale. Esprimi facendo il calcolo nel dominio del tempo la risposta forzata relativa ad un ingresso costante nel tempo (cioe u(t) = u 2 R p ). RACCOLTA ESERCIZI ESAME NOTA BENE: ESERCIZI GIA RISOLTI CHE E NON DANNO ANCUN CREDITO SE CONSEGNATI. (Non usare: rango di matrice e trasformate) CORSO DI TEORIA DEI SISTEMI COMPITO DI ESAME DEL 5//22 Dati due sistemi (lineari stazionari etc) dinamici, uno a tempo continuo ed uno a tempo discreto de niti dalle seguenti matrici A 2 2 A ; B A ; C = 3 2

3 Si chiede di: ) Determinare l insieme dei punti di equilibrio del sistema nel caso a tempo continuo e (fac) nel caso a tempo discreto 2) Determinare la forma di Jordan J di A senza utilizzare il calcolo degli autovettori 3) Determinale le matrici T e T tali che J = T AT 4)Determinare il tipo di stabilita dei punti di equilibrio del sistema sia nel tempo continuo che nel tempo discreto 5) Determinare il sottospazio deli stati raggiungibili del sistema sia nel tempo continuo che nel tempo discreto 6)Determinare la forma canonica del sistema e la trasformazione di coordinate necessaria per ottenerla 7)Determinare il kernel della risposta forzata del sistema sia a tempi continuo che a tempo discreto 8)Illustrare la teoria della raggiungibilita per sistemi a tempo discreto 9) Fac. Sapresti dimostrare che nel caso a tempo discreto qualsiasi tipo di stabilita di un qualsiasi punto di equilibrio implica ed e implicata dallo stesso tipo di stabilita di qualsiasi altro punto di equilibrio LAUREA SPECIALISTCA INGEGNERIA GESTIONALE E DELL"AUTOMAZIONE MODULI Teoria DEI SISTEMI E SISTEMI DI DECISIONE E CONTROLLO ESAMI LUGLIO 6 25 ESERCIZIO (Teoria Dei Sistemi) Si Consideri un sistema dinamico a tempo continuo con reale e: A = ; B = e sia x() = Calcolare e At, e At e la risposta nello stato x() all ingresso u(t) =, t. ESERCIZIO 2 (Teoria Dei Sistemi). Considerando ora il sistema a tempo discreto si calcoli A t. -TS Dare e dimostrare la condizione necessaria e su ciente perche un sistema sia lineare. 2- TS Qual e il semigruppo che nasce dalla derivazione delle equazioni di evoluzione, come agisce sullo stato e perche ha la struttura data? AA 25-6 MODULO: Teoria dei Sistemi. Esame 8/Feb./26 - Esponenziale di operatore: Continuita a sinistra 2- Calcola gli autovalori e autosottospazi della matrice A = 3- Esponenziale di operatore: Derivata nell origine a A 3

4 4- Se A e come in 2- e B = e n, che sottospazio raggiungibile ottieni? Il risultato dipende da n? 5- Problema di Cauchy omogeneo: unicita della risposta, prova. 6- Che proprieta di invarianza ha il sottospazio degli stati raggiungibili e perche? 7- Veri ca che un sistema dinamico (strettamente proprio) descritto dalle equazioni ricorsive e causale 8- Che proprieta di regolarita ha la soluzione del problema di Cauchy in L 2?. Dai tutte le de nizioni e risultati pertinenti. 9- Enuncia e dimostra il teorema spettrale per e At. - Si puo applicare il teorema spettrale alla matrice A di cui al punto 2-? Giusti ca la risposta. - Supponendo applicabile il teorema spettrale, come puoi scrivere la risposta forzata di un sistema dinamico a tempo discreto? 2- Dai la caratterizzazione (con dimostrazione) del sottospazio degli stati raggiungibili in termini di invarianza ANNO ACCADEMICO 25-6 MODULO: Teoria dei Sistemi. Esonero 6//26 - Sistema e rappresentazione di stato 2- Sistemi dinamici 3- Sistemi Causali 4- Sistemi stazionari 5- Linearita, decomposizione risposta Spazio di stato ridotto 6- Sistemi Lineari Dinamici 7- Sistemi Lineari Causali 8- Sistemi Lineari Stazionari 9- Proprieta di Semigruppo, il Semigruppo delle equazioni di Evoluzione ANNO ACCADEMICO 25-6 MODULO: Teoria dei Sistemi.Esame del 27/4/25 Esercizio Dato un sistema lineare avente le matrici A A ; B Si chiede di: Determinare l insieme degli stati raggiungibili Eseguire la decomposizione canonica rispetto alla raggiungibilita determinando l isomor smo e i blocchi delle matrici che ri ettono la decomposizione A 4

5 nel nuovo spazio di stato. Far vedere che in tale spazio di stato l insieme degli stati raggiungibili e invariante rispetto ad A. Si chiede, per conseguire la su cienza, di ragionare solo in termini di teoria degli spazi lineari (indip. lineare, basi, sottospazi complementari isomor- smi etc.), senza mai nominare rango e determinante di matrice, possibilmente persino per invertire la matrice dell isomor smo lineare prescelto (solo se ci si riesce in questo caso, obbligatoriamente negli altri casi). ESAME INTERMEDIO TEORIA SISTEMI 25 Si formano 3 gruppi: cognomi A-D, E-M e N-Z. TC=tempo continuo; TD=tempo discreto; *=vale 5 punti;**=vale punti GRUPPO A= ; B = ; C = ; 2 - TC: Calcolare la rappresentazione spettrale del semigruppo e la risposta libera con stato iniziale x = ; 2-TC: Dare l espressione di e Jt dove J e un generico blocco di Jordan di dimensione >, giusti cando la risposta nel dominio del tempo. 3- TC: Dimostrare che un semigruppo su R n fortemente continuo nell origine e continuo a sinistra per ogni t. GRUPPO 2 A= ; B = ; C = ; 2 - TD: Calcolare la rappresentazione spettrale del semigruppo e la risposta libera con stato iniziale x = ; 2-TD: Dare l espressione di J t dove J e un generico blocco di Jordan di dimensione >, giusti cando la risposta nel dominio del tempo. 3-TC: Dimostrare che il semigruppo e At e invertibile, il suo inverso e derivabile e dare l equazione di erenziale che esso deve soddisfare giusti candola. GRUPPO 3 2 A= ; B = ; C = ; 2 - TC: Calcolare la rappresentazione spettrale del semigruppo e W (t) 2- TC: Che tipo di segnali sono possibili come risposta di un sistema a tempo continuo alimentato con ingressi in L 2. Dare tutte le de nizioni e proprieta rilevanti. 3- TC: Dimostrare che la soluzione del problema di Cauchy omogeneo e unica. TD: Dimostrare la proprieta di restart di un sistema dinamico a tempo discreto : TD: se fosse A= B e C come in GRUPPO 3, u(t) = ; :2 x() = sapresti dire se esiste un andamento asintotico della risposta nello stato e, in caso positivo, calcolarla, sempre operando nel dominio del tempo? 5

6 ULTERIORI ESERCIZI a/a ) TC. De nita la matrice Gramiana G(t) = Z t e A BB e A d dimostrare che il sottospazio degli stati raggiungibili e uguale a R(G(t)), t >. 2) TC. Costruisci un esempio di sistema dinamico lineare con spazio di stato di dimensione 3 e con sottospazio degli stati raggiungibili proprio e veri ca numericamente quanto asserito nell esercizio ) 3) TC. Costruisci un esempio di sistema raggiungibile con spazio di stato di dimensione almeno 2 assumi il sistema raggiungibile, ssa uno stato a piacere e usa la matrice Gramiana per costruire l ingresso necessario a raggiungerlo nell intervallo [; t]. 4)TC: Generalizza l uso della Gramiana per la costruzione dell ingresso necessario a raggiungere uno stato al caso di sottospazio degli stati raggiungibili proprio. 6