Indice. 4 Funzioni lineari Introduzione Sistemi lineari Proprietà principali dei sistemi lineari

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Annunciata Fiora Fadda
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1 Indice 1 Richiami sugli insiemi Introduzione Insiemi Relazioni, funzioni, grafi Spaziorealeeuclideo Insiemi limitati, massimi, minimi Funzioni continue Teoremi del punto fisso Numeri complessi Vettori reali Operazioni sui vettori reali Vettori complessi Spazi e sottospazi lineari Introduzione Indipendenza lineare tra vettori Base Esercizi Matrici reali Introduzione Matrici diagonali, triangolari, a blocchi Operazioni sulle matrici Matrici elementari Serie di matrici Determinante Definizioni e proprietà fondamentali Minori, matrice aggiunta Determinante e dipendenza lineare delle linee Matrici di classe P, P 0,NP,NP 0, condizione H-S Tracce, matrice di Routh-Hurwitz Funzioni lineari Introduzione Sistemi lineari Proprietà principali dei sistemi lineari iii

2 iv Indice ISBN Metodi di soluzione Metodo gaussiano di eliminazione Metodo di Gauss-Seidel Sistemi di disequazioni lineari (rinvio) Matrice inversa Introduzione Proprietà dell inversa Metodi di calcolo dell inversa Inversegeneralizzate Autovalori e autovettori Introduzione Matricisimmetriche Matrici simili, diagonalizzazione Forme quadratiche Introduzione Forme quadratiche simmetriche Riconoscimento del segno di forme quadratiche Criteri di riconoscimento di una forma quadratica Primo criterio di riconoscimento Secondo criterio di riconoscimento Forme quadratiche vincolate Primo criterio di riconoscimento Secondo criterio di riconoscimento Esercizi Applicazioni (rinvio) Matrici connesse Introduzione Estensioni Funzioni connesse Connessione non standard Connessione tecnologica secondo Gale Connessione economica secondo Robinson La forma normale di Gantmacher Applicazioni della forma normale Forma normale e sistemi di equazioni lineari Forma normale e grafi Forma normale e modelli di produzione lineari Forma normale e autovalori Forma normale e potenze Forma normale e catene di Markov Matricicicliche Introduzione Potenze di grafi

3 ISBN Indice v Catene markoviane cicliche Il Teorema di Perron e Frobenius Introduzione Il teorema di Perron e Frobenius (versione forte) Cenni ad estensioni Matrici a diagonale dominante, di classe Z e K Introduzione Matrici a diagonale dominante La proposta di Hadamard La proposta di McKenzie Z-matrici e K-matrici Introduzione Il teorema sulle K-matrici K-matrici e dominanza di diagonale K-matrici e autovalori Applicazioni (rinvio) Insiemi convessi Segmenti, iperpiani, semispazi Insiemi convessi Teoremi di separazione Punti estremi di un insieme convesso Teoremi dell alternativa per sistemi lineari Introduzione Alcuni teoremi Free lunch e asset pricing Funzioni di vettore Introduzione Derivate parziali Introduzione Funzioni differenziabili Derivate direzionali Formula di Taylor Regola della catena Funzioni implicite Introduzione Teoremi di Dini Problemi di statica comparata (cenni) Cenni sull inversa di una funzione vettoriale Funzioniomogenee Introduzione Teorema di Eulero Applicazioni economiche (cenni)

4 vi Indice ISBN Funzioni convesse e concave Introduzione Definizioni standard Caratterizzazioni mediante subgradienti e derivate direzionali Caratterizzazioni per funzioni differenziabili Caratterizzazioni per funzioni di classe C Caratterizzazioni mediante epigrafico e ipografico Insiemi di livello di funzioni convesse o concave Altri criteri di riconoscimento Funzioni generalmente convesse e concave Funzioni quasiconvesse Funzioni pseudoconvesse La gerarchia tra le classi di funzioni convesse Un teorema dell alternativa non lineare Ottimizzazione statica - ottimo libero Introduzione Problemi di ottimo libero Esercizi ed esempi Ottimizzazione statica - ottimo vincolato Vincolo insiemistico Vincoli espressi da eguaglianze Metodo di esplicitazione Metodo delle curve di livello Metodo dei moltiplicatori di Lagrange Metodo dei moltiplicatori di Lagrange (caso generale) Analisi di sensitività e moltiplicatori di Lagrange Applicazioni economiche e finanziarie Vincoli espressi da diseguaglianze deboli Condizioni necessarie di ottimalità (caso differenziabile) Condizioni sufficienti di ottimalità (caso differenziabile) Vincoli di segno e condizioni di KKT Sui problemi di ottimo vincolato in R Ottimizzazione vincolata convessa (concava) Sul significato economico dei moltiplicatori Condizioni di sella e condizioni di Kuhn-Tucker Programmazione lineare Introduzione Forme e varianti Esercizi Proprietà generali Problemiduali Come costruire un problema duale

5 ISBN Indice vii Teoremi di esistenza, dualità, complementarità Esercizi I vettori ammissibili di base Il teorema della base Significati economici del duale Uno pseudoteorema Utilizzo ottimale di risorse limitate e loro valutazione Una scorciatoia per trovare la struttura dei tassi a termine Portafogli di super-replica Modelli lineari di produzione e scambio Introduzione Processi di produzione Il versante delle quantità Il versante dei prezzi L identità fondamentale della Contabilità Nazionale Modelli produttivi Modelli profittevoli Un test generale di produttività e profittabilità Esercizi Il modello a produzioni semplici con B = I La produttività del modello Esercizi La profittabilità delmodello L equilibrio nei prezzi La curva distributiva L equilibrio nelle quantità Iteoremidinon-sostituzione Il primo teorema di non-sostituzione Il secondo teorema di non-sostituzione Qualchecommento Modelli a produzioni congiunte Introduzione Il paradosso di Steedman La proposta di Morishima Le altre anomalie Modelli con disequazioni e vincoli di segno debole Il modello di von Neumann (cenni) Sistemi dinamici continui Introduzione Sistemi di equazioni differenziali ordinarie Il problema di Cauchy Esistenza e di unicità (sist. 1 ord., forma normale) Il problema di Cauchy (EDO 1 ord., forma normale) Risultati di esistenza e unicità Prolungamento della soluzione

6 viii Indice ISBN Alcune EDO del 1 ordine in forma normale EDO a variabili separabili EDO lineari EDO di Bernoulli EDO di Riccati EDO omogenee (o di Manfredi) EDOesatte Sistemi lineari di EDO del 1 ordine Proprietà generali Soluzioni del sistema completo Metodo della variazione delle costanti arbitrarie EDO lineari di ordine n in forma normale EDO lineari: sistemi omog. 1 ord., coeff. costanti Autovalori reali ma non tutti tra loro distinti Autovalori non tutti reali Caso generale Uso della matrice esponenziale Sistemi completi di EDO lineari del 1 ordine EDO lineari a coefficienti costanti Caso di EDO omogenea Caso di EDO completa Stabilità delle soluzioni di equilibrio Stabilità nel senso di Liapunov Stabilità (asintotica) locale Stabilità (asintotica) nel senso di Liapunov Stabilità (asintotica) globale Stabilità per sistemi lin. omogenei a coeff. costanti Criteri di stabilità diunamatricerealequadrata Stabilità per sistemi lineari completi a coefficienti costanti StabilitàperEDOlineariacoefficienticostanti StabilitàpersistemidiEDOnonlineari Linearizzazione di un sistema autonomo di EDO non lineari Il secondo metodo di Liapunov Stabilità dell equilibrio walrasiano Tecniche grafiche per la stabilità Cenni di ottimizzazione dinamica Cenni di Calcolo delle Variazioni Introduzione Il problema standard del CdV La condizione di Eulero Una condizione necessaria e sufficiente di ottimalità Varianti e generalizzazioni del problema standard del CdV Cenni sui problemi di controllo ottimo Il problema standard di controllo ottimo

7 ISBN Indice ix Gli elementi del problema Il principio di ottimo di Pontryagin Varianti sulle condizioni finali Variabili di co-stato e prezzi-ombra nel modello di Dorfman Sulle condizioni al contorno nel modello di Dorfman Controllo ottimo e attualizzazione dei valori futuri Orizzonte infinito Condizioni sufficienti di ottimalità Vincoli sulle variabili di stato e/o sui controlli Un esempio: il modello di Schworm Traildireeilfare Cenni di programmazione dinamica Introduzione Il principio di ottimalità dibellman Il principio di Bellman in tempo continuo

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