intervalli di tempo. Esempio di sistema oscillante: Fig. 1 Massa m che può traslare in una sola direzione x, legata ad una molla di rigidezza k.

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1 Sudio delle vibrazioni raa ogni oscillazione di una grandezza inorno ad una posizione di equilibrio. La forma piu semplice di oscillazione e il moo armonico che puo i essere descrio da un veore roane Ae ω che si ripee ad uguali inervalli di empo. Esempio di sisema oscillane: Fig. 1 m x Massa m che può raslare in una sola direzione x, legaa ad una molla di rigidezza k.

2 La molla applica alla massa una forza di richiamo proporzionale allo sposameno e l equazione fondamenale della dinamica si scrive: 2 d x F = m = mx & = kx 2 (*) d Quesa equazione differenziale del secondo ordine, risola, definisce il moo di x. Moo di x = uscia del sisema oscillane Ingresso del sisema = evenuale forza eserna applicaa L equazione differenziale (*) suppone che non ci sia una forza eserna ecciane salvo all inizio del fenomeno (perurbazione iniziale). La soluzione rappresena le cosidee oscillazioni libere del sisema, dovue solo all azione di forze inereni il sisema e non eserne ad esso

3 Definendo ω n = k/m, l equazione precedene ha la seguene soluzione: x( ) = Asinω + con A e B deerminae dalle condiziono iniziali (=0). n B cosω n Le oscillazioni del sisema sono oscillazioni armoniche con frequenza ω n che prende il nome di pulsazione propria o naurale del sisema.

4 Oscillazioni smorzae Esempio: meccanica delle vibrazioni Fig. 2 m x m && x + cx& + kx = 0 Elemeno smorzane smorzameno viscoso R ( x) = cx&

5 In moli casi praici le azioni ecciani sono invece coninuamene applicae ed ineressa allora conoscere la legge del moo quese condizioni di oscillazioni forzae. Si consideri il sisema di Fig.2, a cui venga applicaa alla massa m una forza variabile con il empo F(). L equazione differenziale del moo divena: m &&+ x cx& + kx = F() Lo sudio della risposa ad una ecciazione arbiraria può essere oenuo considerando la forza ecciane cosiuia da un insieme di impulsi elemenari. Forza impulsiva che agisce nell isane =a e cosi definia: F( ) = F0δ ( a)

6 L impulso di Dirac puo essere considerao come il caso limie di un ingresso ad ampiezza finia, applicao per finio, ale che F 0 =1. Diminuendo ae che rimanga F 0 =1, l impulso ermina prima che il sisema si sia mosso sensibilmene, ma si raggiunge una noevole velocia! Per 0 il sisema non ha empo di sposarsi quindi x 0 e l equazione divena: risolvendo si oiene: v = m && x + cx& = mv& + cv = F m e 0 ( c / m) F 0 e quindi, il sisema risponde all impulso con condizioni iniziali: x(0) = 0 x& (0) = v 0 F0 = m

7 Con quese condizioni iniziali e definendo il faore di smorzameno: c δ = 2 km la soluzione divena: F0 δω n 2 x( ) = e sin( 1 δ ω ) F0h( ) 2 n = mω 1 δ n Risposa impulsiva del sisema La risposa sazionaria a una forza qualsiasi F() e oenibile come prodoo di convoluzione o prodoo convoluorio

8 La risposa sazionaria a una forza qualsiasi F() e oenibile come prodoo di convoluzione o prodoo convoluorio: ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 0 h F d h F x = = τ τ τ

9 Nello sudio delle vibrazioni e spesso assai piu facile lavorare nel dominio della frequenza che non nel dominio del empo. La ragione piu imporane dell uso sempre piu largo che si fa del dominio delle frequenze e che la maggior pare dei sisemi fisici e biologici risponde solo ad un campo limiao di frequenze. Es.1: l orecchio umano percepisce il suono solo nel campo 20Hz- 20kHz Es.2: l effeo delle vibrazioni sull uomo ineressa un campo di freq. 1-80Hz. Sruure meccaniche, circuii elerici, presenano risonanze rilevani solo in un campo di frequenze limiao e perano lo sudio del loro comporamene forzao puo essere risreo solo a queso campo di frequenze

10 Caso di sisemi lineari a caraerisiche cosani (ossia empo invariani) a) le risposa del sisema e addiiva e omogenea: vale cioe il principio di sovrapposizione e inolre la risposa ad una ecciazione per una cosane e pari alla cosane per la risposa dalla sola ecciazione: b) le caraerisiche dinamiche del sisema possono essere descrie dalla h()

11 Caso di sisemi lineari a caraerisiche cosani (ossia lineari e empo invariani) per la proprieà per cui la risposa di un sisema LTI si raduce nel dominio delle frequenze ad una semplice moliplicazione un ecciazione caraerizzaa da una cera frequenza fornisce una risposa solo a quella frequenza e quindi l analisi in frequenza permee di raare ogni frequenza individualmene senza preoccuparsi di cio che accade alle alre frequenze. Alro esempio di uilizzo della rappresenazione in frequenza di sisemi fisici: l analisi del conenuo in frequenza di un segnale proveniene da una macchina, puo essere usao diagnosicamene per sabilire la causa del malfunzionameno di qualche elemeno, oppure per capire quale e la sorgene di un fasidioso rumore.

12 Segnali Digiali I dai sperimenali che rappresenano un fenomeno fisico sono chiamai segnali. Es.: fluuazioni della emperaura in una sanza in funzione del empo, variazioni di pressione in un puno di un campo acusico. Il fenomeno fisico rilevao da un rasduore e rasformao in una grandezza elerica opporuna si presena di solio come segnale coninuo (o analogico) in funzione del empo. In moli casi i segnali possono assumere una rappresenazione discrea, o per moivi inereni al fenomeno sesso o per qualche procedimeno di campionameno. In queso caso i segnali sono caraerizzai da una sequenza di puni (numeri). Aenzione: non e deo che la variabile indipendene sia il empo, porebbe essere il profilo di una srada e quindi la variabile e la disanza.

13 Esempio di uso della FFT per la deerminazione dei parameri modali di una sruura parameri modali:auovalori (= pulsazioni proprie), auoveori (=modi di vibrazione), faori di smorzameno associai ad ogni modo. Faccio un esperimeno per deerminare la funzione di rasferimeno o risposa complessa in frequenza del sisema, ra vari puni della sruura. Si regisrano i segnali emporali della forza ecciane e della risposa, si fa la rasformaa di Fourier dei due segnali e si divide.