meccanica delle vibrazioni laurea magistrale ingegneria meccanica parte 3 sistemi SDOF - particolari

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1 E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso meccanica delle vibrazioni laurea magisrale ingegneria meccanica!! pare 3 sisemi SDOF - paricolari

2 Sisemi SDOF E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso A parire dal sisema SDOF classico si possono sudiare diversi aspei e sisemi semplificai Vibrazioni indoe all base Trasmissibilià Acceleromeri e Vibromeri Aenuaori dinamici Roore di Jeffco

3 Sisemi SDOF - decremeno logarimico Sisema SDOF, smorzaore viscoso (sub criico) E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso m!!x + c!x + x = 0 x() = X o e ζω n cos( ω d + ϑ ) soluzione generale..prendiamo due puni, x1 e x2, disani un periodo e facciamone il rapporo.. x 1 () x 2 () =..semplifichiamo, X0, funzione armonica x 1 () x 2 () = e ζω n1 e ζω n 1 +T d ( ) ( ) + ϑ X 0 e ζω n1 cos ω d 1 + ϑ X 0 e ζω n( 1 +T d ) cos ω d 1 + T d ( ) = eζω nt d T d = 2π ( ) ω d ω d = ω n 1 ζ 2

4 Sisemi SDOF - decremeno logarimico Definiamo il decremeno lograrimico δ E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso δ = ln δ 2πζ x () 1 x 2 () = ζω T = ζω 2π n d n ω n 1 ζ = 2πζ 2 1 ζ 2..se ζ<<1 (comunemene <.1) si approssima con.. (rea rossa)..se invece di un solo periodo se ne prendono m.. δ = 1 m ln x 1 () x m+1 () (curva blu)

5 Sisemi SDOF - smorzameno equivalene E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso Meccanismi dissipaivi complessi (eq diff. non lineare) possono essere sosiuii da uno smorzaore viscoso equivalene..che dissipa la sessa energia in un ciclo. La variazione di energia nel empo di uno smorzaore viscoso è: dw d = forza *velocià = c!x *!x = c dx 2 d..immaginando un moo armonico x=xcos(ωd).. l energia dissipaa da ale smorzaore in un ciclo è: ΔW = 2π ω d 2 c dx d d = cx 2 ω d cos 2 ω d 0 2π 0 ( ) ( ) = πcx 2 ω d d ω d..da quesa si può ricavare l espressione dello smorzameno viscoso equivalene: c eq = ΔW π X 2 ω d

6 Sisemi SDOF - smorzameno coulombiano..ipico dei fenomeni d ario.. (smorzaore lavarici) E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso m!!x + x + µmg = 0 m!!x + x µmg = 0 la forza di richiamo elasica fs =x è conrasaa dalla forza d ario fd=μmg (si oppone al moo!)..in un semi-periodo (massa avanza, xdo>0)..nel successivo (massa riorna, xdo<0) Alla fine di ogni semi-periodo, cambia l eq del moo e le condizioni iniziali x() = A 1 cosω n + A 2 sinω n µmg x() = A 3 cosω n + A 4 sinω n + µmg..con sposameno limie x l = µmg = µg ω n

7 Sisemi SDOF - smorzameno coulombiano E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso x l = µmg = µg ω n semi-periodo2, eq(1), A 1 = X 0 3µMg x() = X 0 3µMg A 2 = 0 cosω n µmg Se lo sposameno è minore di xl, la forza d ario è maggiore di quella di richiamo elasico! pariamo da x(0)=x0, eq(2), semi-periodo1 A 3 = X 0 µmg x() = x ω n X 0 µmg A 4 = 0 π = X 2µMg 0 x π = ω n cosω n + µmg fine semi-periodo1, c.i. semi-periodo2, X 0 4µMg fine semi-periodo2, c.i. semi-periodo3

8 Sisemi SDOF - smorzameno coulombiano E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso per ogni ciclo compleo (semi-periodo di andaa + semi-periodo di riorno) si perde.. X m+1 = X m 4µMg la frequenza del sisema smorzao non cambia!! (con smorzameno viscoso si!!) con smorzameno colombiano la massa si può fermare anche in posizione diversa da quella di equilibrio elasico, nel caso viscoso no!!..provae a cosruire un modello Simulin

9 Sisemi SDOF - ecciazione dalla base..dal diagramma di corpo libero.. E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso m!!x + c (!x!y ) + ( x y) = 0 m!!x + c!x + x = c!y + y y = Y sinω m!!x + c!x + x = AsinΩ + BcosΩ..soluzione paricolare.. x p = Y sin( Ω ϑ ) ( mω 2 ) 2 cω ( ) supponendo una forzane armonica.. cωy cos( Ω ϑ ) ( mω 2 ) 2 cω ( ) 2 A = Y B = cωy 1 2

10 Sisemi SDOF - ecciazione dalla base E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso X Y = X Y = 2 + cω ( mω 2 ) 2 cω ( ) ( ) 2 1+ ( 2ξr) 2 ( 1 r 2 ) 2 2ξr ( ) 2 r=0:0.01:5; csi=[ ]; for i=1:size(csi,2) r(i,:)=sqr((1+(2*csi(i)*r).^2)./((1-r.^2).^2+(2*csi(i)*r).^2)); end semilogy(r,r) hold un=ones(size(r,2)); semilogy(r,un,'') xlabel('r') ylabel('rasmissibilià') 1 2..prendendone il modulo.. si oiene la rasmissibilià X/Y 1 2..con le solie sosiuzioni e con rapporo ra la pulsazioni di ecciazione e naurale amplificazione riduzione r = Ω ω ζ cresce

11 Sisemi SDOF - ecciazione dalla base..si può poi calcolare la forza rasmessa E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso m!!x + c!x + x = c!y + y F = m!!x = c (!x!y ) + ( x y)..ed analogamene a quano fao precedenemene F Y = r 2 1+ ( 2ξr) 2 ( 1 r 2 ) 2 2ξr ( ) 2..aumenando lo smorzameno ed aumenando r cresce la forza rasmessa! 1 2 ζ cresce

12 Sisemi SDOF - ecciazione dalla base..si può calcolare lo sposameno relaivo z = x y E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso m!!z + c!z + z = m!!y = mω 2 Y sinω Z Y = r 2 ( 1 r 2 ) 2 ( 2ξr) 2..il rapporo Z/Y dice di quano si sposa la massa rispeo alla base.. per r>3 il rapporo è pressoché uniario..z=y.. (sensore per la misura dello sposameno della base > vibromero!) ζ cresce

13 Sisemi SDOF - ecciazione dalla base..volendo un sensore che misuri l accelerazione E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso Z Y = Ω ω ( 1 r 2 ) 2 2ξr 2 ( ) 2!!z per r<0.33 il rapporo è pressoché uniario..z=y.. (sensore per la misura dell accelerazione della base > acceleromero!)!!y = ω 2 Z Ω 2 Y = 1 1 r 2 ( ) 2 2ξr ( ) 2 ζ cresce

14 Sisemi SDOF - ecciazione dalla base..esempi cosruzione acceleromeri E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso laer on sensors

15 Sisemi SDOF - roore di Jeffco E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso Consideriamo un sisema cosiuio da un albero di lunghezza L vincolao alle esremià ed un disco caleao su queso a L/2 Supponiamo che l albero sia senza massa ed il disco rappresenao da una massa m posa ad una disanza e dall asse Supponiamo che il roore ruoi con una cera velocià..ci saranno da equilibrare (nel piano x e nel piano y) la forza cenrifuga della massa squilibrane la forza elasica dell albero m!!x + x = meω 2 cos(ω) con la solia procedura x = emω2 mω 2 = e Ω 2 ω n 2 Ω 2

16 Sisemi SDOF - roore di Jeffco E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso x = emω2 mω 2 = e Ω 2 ω n 2 Ω 2 x e = r 2 1 r 2 y C G e x ipo-criico C iper-criico Auocenraura: roore ruoa aorno cenro di massa piuoso che cenro geomerico e y G x

17 Sisemi SDOF - risposa ecciazione generica E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso x p = p o x = p o + e ζω n ( ) = 0 ( ) = 0 x 0!x 0 ( A 1 cosω d + A 2 sinω d ) con le condizioni al conorno x = p o 1 e ζω n..se l ecciazione non è di ipo armonico, la soluzione paricolare deve essere calcolaa caso per caso.. es. ecciazione a gradino m!!x + c!x + x = p o 0 cosω d ζω n ω d sinω d

18 Sisemi SDOF - risposa ecciazione generica E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso x p = r p o con le condizioni al conorno x = p o x = p o r 1 ω n r sinω n 1 1+ ω n r sinω n es. ecciazione rampa / smorzameno nullo x = m!!x + x = r ( ) = 0 ( ) = 0 x 0!x 0 ( ) r sinω n r p 0 p 0 0 r r p o + A 1 cosω d + A 2 sinω d ( )

19 Sisemi SDOF - risposa ecciazione generica es. ecciazione impulso uniario / smorzameno nullo E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso I = con le condizioni al conorno ( ) = 0 ( ) = 0 x 0!x 0 nuova condizione al conorno d o p()d d T n m!!x + x = inegrando, e valuano per d ->0 m!x + x av d = I m!x ( 0 + ) = I!x ( 0 + ) = I m con smorzameno ζ<<1 x() = p() 0 I mω n sinω n 0 d d risposa all impulso uniario x() = I mω d e ζω n sinω d

20 Sisemi SDOF - risposa ecciazione generica es. ecciazione generica / inegrale Duhamel E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso x( ) = di = p( τ )dτ I mω n 0 x() = dx( ) = I mω n di mω n sinω n sinω n risposa all impulso uniario ( τ ) risposa all impulso infiniesimo divido l ecciazione generica in una serie di impulsi infiniesimi (scalai dal valore della funzione (p(τ)) la risposa sarà l inegrale di ue le rispose infiniesime p( τ )sinω ( n τ )dτ ( ) = p τ x 0 ( )h( τ )dτ Inegrale di Duhamel - Inegrale di Convoluzione, ra ecciazione e risposa all impulso

21 E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso Sisemi SDOF - risposa ecciazione generica..se il sisema è smorzao.. x( ) = x( ) = I mω d I mω d 0 0 p( τ )e ζω n( τ ) sinω ( d τ )dτ p( ( τ )e jω d ζω n )( τ ) dτ..nel caso in cui il sisema avesse C. I. diverse da zero, la sol.generica sarebbe x( ) = x( ) = I mω n I mω d p( τ )sinω n ( τ )dτ + x 0 cos(ω n ) +!x p( τ )e ζω n( τ ) sinω d τ ( )dτ ω n + x 0 e ζωn ( τ ) sin(ω ) n ( ) +!x 0 +ζω n x 0 cos ω d..senza smorzameno ω d e ζωn τ ( ) sin( ω d )..con smorzameno

22 Sisemi SDOF - risposa ecciazione generica E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso p() = p o 1 d 0 0 d d..sisema non smorzao 0<<d ( ) = p o x..d < sinω n sinω n cosω n cosω n + ( ) = p o x d d sinω n ω n d cosω n + ω n d cosω n ω n d sinω n +1 sinω n ω n d cosω n + ω n d + cosω n 1 ω n d sinω n +

23 Sisemi SDOF - valuazione numerica E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso per inerpolazione della funzione di ecciazione cosane a rai lineare a rai per inegrazione passo passo (approssimazione delle derivae) per sisemi non lineari da aggiungere..

24 E vieao ogni uilizzo diverso da quello inerene la preparazione dell esame del corso