Analisi dell onda monodimensionale nello spazio e nel tempo (corda vibrante)

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1 LE ONDE DEFINIZIONE: un onda elasica rappresena la propagazione di una perurbazione che raspora energia ma non maeria. Si possono disinguere onde meccaniche o maeriali, per le quali la propagazione è possibile solo denro un mezzo elasico (suono, onde liquide ) e onde non maeriali che si propagano anche nel vuoo (onde eleromagneiche). A seconda del numero di direzioni di propagazione si può disinguere ra: - onde monodimensionali (corda vibrane); - onde bidimensionali (membrana del amburo, onde liquide); - onde ridimensionali (suono). Prendendo in considerazione la direzione di propagazione dell onda e quella secondo cui avvengono le vibrazioni del mezzo, si possono classificare le onde in : rasversali, se ogni puno del sisema esegue vibrazioni in direzione perpendicolare a quella di propagazione (corda vibrane, onde eleromagneiche...); longiudinali, se le vibrazioni avvengono nella sessa direzione secondo cui si propaga l onda (molla che oscilla accorciandosi e allungandosi, onde sonore ). Raggi Le onde possono essere rappresenae graficamene mediane raggi corrispondeni alle direzioni di propagazione e mediane froni d onda. Il frone d onda è la linea congiungene ui i puni dell onda che si rovano in fase ed è perpendicolare in ogni puno alle direzioni di propagazione. Analisi dell onda monodimensionale nello spazio e nel empo (corda vibrane) Dao che un onda si propaga nel empo e nello spazio, la possiamo raffigurare in due modi. A O CASO Ho fissao un puno della corda e osservo il suo moo nel empo. O è il periodo disanza emporale ra due posizioni successive ideniche OA è l ampiezza massima elongazione del puno mobile Prof.ssa Fabrizia De Bernardi

2 A O B CASO Ho fissao un isane di empo e osservo i puni della corda. (foografia) è la lunghezza d onda, cioè la disanza spaziale ra due puni successivi che hanno la sessa. La velocià è il rapporo ra la disanza percorsa dall onda in un periodo e il periodo. oppure ν La frequenza ν è il numero di oscillazioni al secondo, si misura in Hz. ω π è la pulsazione, si misura in rad / s. ui i puni dell onda che si rovano nella sessa posizione, cioè che disano di k o di k, si dicono in fase. Puni che occupano posizioni caraerizzae da oppose si dicono in opposizione di fase. Equazione d onda L equazione di un onda sarà descria da una funzione di due variabili, posizione e empo. Moo armonico semplice α ω è la velocià angolare; prendendo come posizione iniziale B, si ha: α ω ; α ω ; r cos ω ; 0, r Posso prendere come posizione iniziale O ( r senω ), quindi un moo armonico è esprimibile indifferenemene con la funzione seno o coseno. In generale: rsen( ω + ϕ ); dove φ è l angolo di fase che dipende dalla posizione iniziale. Consideriamo ora una corda vibrane. Supponiamo che l equazione del moo del puno O sia: ω, dove A è l ampiezza del moo, e supponiamo che l impulso ondulaorio si sposi verso desra con velocià. L onda arriverà nel generico puno P con un cero riardo τ, cioè P assumerà le sesse posizioni di O, ma dopo un empo τ. Α O Α B π ω ; ω ; π ; ; π ; π π ω ; dove Prof.ssa Fabrizia De Bernardi k

3 k è deo numero d onda in quano rappresena il numero di lunghezze d onda conenue in uno spazio equivalene a π. In definiiva l equazione d onda può essere scria come: ( ω k), dove il segno meno dipende dal fao che l onda si sposa verso la direzione posiiva dell asse (onda progressiva). ω + k rappresena un onda regressiva. L equazione ( ) FENOMENI ONDULAORI I principali fenomeni a cui sono soggee le onde sono: Riflessione Rifrazione Diffrazione Inerferenza Non ipicamene ondulaori ipicamene ondulaori RIFLESSIONE La riflessione avviene quando l onda inconra un osacolo da cui viene respina e si propaga quindi all indiero. Leggi della Riflessione Rappreseno le direzioni d onda ramie raggi. n rea normale all osacolo; i raggio incidene; r raggio riflesso; î angolo di incidenza; rˆ angolo di riflessione.. Raggio incidene, raggio riflesso e normale all osacolo apparengono ad uno sesso piano.. L angolo di incidenza è uguale all angolo di riflessione. Se l onda è circolare, il cenro dell onda incidene è simmerico di quello dell onda riflessa. RIFRAZIONE La rifrazione si ha quando un onda araversa la superficie di separazione di due mezzi diversi o di diversa densià. Si modifica, così la sua direzione di propagazione e la sua lunghezza d onda. Rimane invece cosane la frequenza. Prof.ssa Fabrizia De Bernardi 3

4 Leggi della Rifrazione. Raggio incidene, raggio rifrao e normale alla superficie di separazione dei due mezzi, apparengono ad uno sesso piano.. L angolo di incidenza e di rifrazione sono legai dalla relazione: sen iˆ n dove, n, è l indice di rifrazione del secondo mezzo senrˆ rispeo al primo. Se n > iˆ rˆ allora il secondo mezzo è più rifrangene del, > primo. Esise una relazione analoga a quella ra i seni degli angoli ra le due lunghezza d onda e ra le velocià nei due mezzi. ABseni ABsenr seniˆ senrˆ n, ν v ν v v facendo il rapporo si oiene: v La velocià varia nelle sessa proporzione della lunghezza d onda. DIFFRAZIONE Il fenomeno della diffrazione consise nel fao che un onda piana, araversando una srea fendiura, origina froni d onda circolari, oppure aggira gli osacoli. Il fenomeno è più evidene quando la larghezza della fendiura è paragonabile alla lunghezza d onda dell onda sessa. La diffrazione si può spiegare grazie al principio di Hugens. Principio di Hugens. Ogni puno di un frone d onda è generaore di microscopiche onde circolari; perano i froni d onda successivi sono dai dall inviluppo delle piccole onde circolari relaive al frone precedene. Prof.ssa Fabrizia De Bernardi 4

5 Principio di sovrapposizione di Fourier Quando due o più onde araversano una sessa zona dello spazio, si sovrappongono in modo che l ampiezza dell onda risulane è pari alla somma algebrica delle singole ampiezze, in ogni puno e in ogni isane. INERFERENZA E un fenomeno legao alla sovrapposizione delle onde in una sessa zona del mezzo. L inerferenza può essere di due ipi: cosruiva o disruiva. Nel primo caso le ampiezze delle onde si sommano, nel secondo si annullano a vicenda. Supponiamo che le due onde siano di uguale ampiezza, di uguale lunghezza d onda e sincrone (differenza di fase nulla). P è il generico puno di inconro; e sono i cammini delle onde dalla sorgene al puno P. Y π π + + A cos + π senπ + Y + A cos π senπ + Dell equazione oenua vediamo che l espressione π sen rappresena l equazione d onda vera e propria conenendo la variabile empo, menre l ampiezza risulane è: cos π A A r. ale ampiezza, come si vede, non è più cosane ma dipende dalla posizione del puno P rispeo alle due sorgeni. Inerferenza cosruiva L inerferenza cosruiva si avrà se l ampiezza risulane è massima in modulo, quindi: cos π ± / π k / π quindi k. L equazione rovaa rappresena una famiglia di iperboli di fuochi S ed S, dee linee venrali. (Per k 0 si ha l asse del segmeno S S.) La differenza ra le disanze percorse dalle due onde, perché vi sia inerferenza cosruiva, deve quindi essere uguale a un numero pari di mezze lunghezze d onda cioè a un numero inero di lunghezze d onda. Prof.ssa Fabrizia De Bernardi 5

6 Inerferenza disruiva L inerferenza disruiva si ha quando l ampiezza risulane è zero: π cos π 0 π + kπ π + kπ + k π / / π / π / k +. E una famiglia di iperboli di fuochi S ed S, dee linee nodali. Si ricava: ( ) La differenza ra le disanze percorse dalla due onde, affinché vi sia inerferenza disruiva, deve quindi essere un numero dispari di mezze lunghezze d onda. Si può generalizzare il risulao oenuo al caso in cui la differenza di fase sia cosane: la condizione necessaria affinché ci sia inerferenza è proprio che la differenza di fase sia cosane. Onde Sazionarie Per ogni perurbazione in ao in un sisema meccanico è noo che non si riesce ad eliminare la forza di ario, che dissipa l energia soo forma di calore, riducendo gradualmene l ampiezza dell oscillazione. Si parla quindi di oscillazioni smorzae. Se si vuole manenere cosane l ampiezza della vibrazione si deve fornire al sisema un energia ale che compensi la perdia dovua agli arii; si parla allora di oscillazione forzaa. Ogni oscillaore è caraerizzao da frequenze proprie di vibrazione che si calcolano considerando il sisema come sede di onde sazionarie. Le onde sazionarie si generano per la sovrapposizione di due onde armoniche di uguale ampiezza e frequenza che si propagano in verso opposo. Caraerisico è l esempio di un onda con la sua onda riflessa. ipico il caso di corde e ubi sonori. Analizziamo due esempi. Corda fissaa ai due esremi Non si vede oscillare la corda, che sembra invece fissa a forma di fuso. Per queso si parla di onde sazionarie. Essendo la corda lunga L ed essendo gli esremi due nodi di vibrazione, si ha necessariamene: L L n ; e dao che ν, si avrà n n ν cioè la corda può vibrare solo per L deerminae frequenze; ponendo n,, 3, si oengono le frequenze caraerisiche o frequenze armoniche. Per n, si ha la prima armonica o frequenza fondamenale. Poiché per una corda la velocià dell onda dipende dalla ensione e dalla densià lineare, cioè, µ si avrà che la frequenza fondamenale di una corda fissaa agli esremi è : ν. L µ Prof.ssa Fabrizia De Bernardi 6

7 Corda fissaa a un esremo - ubo sonoro In al caso ad un esremo ci deve essere un nodo e all alro esremo un venre dell onda; la lunghezza del ubo è mulipla di un numero dispari di quari di lunghezza d onda: (n ) 4 ; L ; L ( n ) 4ν ν ( n ) 4L Anche in queso caso la corda vibra per deerminae frequenze muliple di una fondamenale. Quano deo fino ad ora non riguarda solamene il suono e le corde, ma ogni sisema meccanico: poni, edifici. Risonanza Quando dall eserno applico ad un sisema meccanico un impulso di ipo oscillaorio, forzando una cera frequenza, l ampiezza di vibrazione è piccola se la frequenza forzane è molo diversa dalla frequenza propria del sisema. Se la frequenza imposa dall eserno è molo vicina o uguale alla frequenza caraerisica, si oiene una vibrazione di ampiezza elevaa. Si dice che il sisema considerao enra in risonanza o vibra per simpaia. Suonando una noa su una corda di una chiarra corrispondene alla fondamenale di un alra corda, si può osservare che la corda libera inizia a vibrare per simpaia. La risonanza può avere luogo anche fra oggei diversi purché vibrino con la sessa frequenza; ad esempio se si fa vibrare un diapason vicino ad un bicchiere conenene acqua, il bicchiere suona e l inensià del suono si modifica aumenando o diminuendo la quanià di acqua. Quando la colonna d aria conenua nel bicchiere è di alezza ale da produrre una frequenza caraerisica uguale a quella del diapason c è un fore aumeno dell inensià del suono. Moli srumeni musicali a corde hanno una cassa armonica o cassa di risonanza di forma e dimensioni ali da amplificare il suono prodoo dalle corde che sarebbe viceversa molo debole. Prof.ssa Fabrizia De Bernardi 7