Fondamenti di Automatica

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1 Poliecnico di Milano Corso di Laurea in Ingegneria Gesionale Fondameni di Auomaica Spero di segnali e proprieà filrani dei sisemi dinamici lineari Prof. Bruno Picasso

2 Sommario Spero di segnali Lo spero come rappresenazione alernaiva dei segnali Spero e caraerisiche dei segnali Caso paricolare: segnali periodici (spero discreo) Filraggio di segnali I sisemi lineari visi come filri Filri passa-basso / filri passa-alo Esempi di applicazioni ed alri filri

3 u() = sen() u() = sen() Premessa Terminologia : sen (ω) o cos (ω) si dicono armoniche a pulsazione ω. Oss: al crescere di ω diminuisce il periodo T dell armonica, ossia aumena la frequenza /T. Terminologia : Armoniche a pulsazione bassa sono dee armoniche (o componeni) in bassa frequenza. (Analoga definizione per le componeni in ala frequenza)

4 Spero di segnali: l idea 4 Un segnale u() può essere rappresenao: nel dominio del empo araverso la sua rasformaa di Laplace U(s). Lo spero è una erza rappresenazione di u(). Idea Scomporre un segnale u() nella somma di differeni armoniche e quanificare il peso di ogni armonica che compone il segnale u() U(s) σ u ω

5 Moivazioni 5 La srumeno eorico per l analisi sperale è la Trasformaa di Fourier: non raeremo queso argomeno (e.g., non impareremo a calcolare gli speri dei segnali), ci limieremo ad uno sudio qualiaivo volo a:. Comprendere la relazione ra le caraerisiche macroscopiche di un segnale e le caraerisiche del suo spero;. Comprendere come lo spero di un segnale si modifica passando araverso un sisema lineare as. sabile (AS): u() G(s) y F () Noo lo spero di u() e noa G(s), che caraerisiche ha lo spero del corrispondene segnale di uscia y F ()?

6 Moivazioni 6. Comprendere la relazione ra le caraerisiche macroscopiche di un segnale e le caraerisiche del suo spero;. Noo lo spero di u() e noa G(s), che caraerisiche ha lo spero del corrispondene segnale di uscia y F ()? u() G(s) y F () La risposa a quese due domande permee di sudiare il comporameno di regime per sisemi dinamici lineari AS in risposa a segnali d ingresso qualsiasi. La rappresenazione dei segnali in ermini del loro spero permee dunque di allargare le nosre prospeive nello sudio del comporameno dei sisemi dinamici.

7 Spero di ampiezza: esempio 7 5 Supponiamo che un dao segnale u() sia la somma di ermini sinusoidali/cosinusoidali Esempio : u() = sen() + 4 sen(3) +.5 sen() u()

8 Spero di ampiezza: esempio 8 u() = sen() + 4 sen(3) +.5 sen() Armonica a pulsazione con peso σ u = ω =

9 Spero di ampiezza: esempio 9 u() = sen() + 4 sen(3) +.5 sen() Armonica a pulsazione con peso σ u = ω = Armonica a pulsazione con peso σ u = 4 ω = 3 Armonica a pulsazione con peso σ u =.5 ω =

10 Spero di ampiezza: esempio u() = sen() + 4 sen(3) +.5 sen() La funzione Armonica a pulsazione con peso σ u = ω σ u (ω) è dea spero di ampiezza del segnale u() ω = Armonica a pulsazione con peso σ u = 4 ω = 3 Armonica a pulsazione con peso σ u σ u =.5 ω = ω

11 Spero di ampiezza: esempio 6 4 u() u() = 3 sen(.) + cos() +.5 sen(7) σ u ω

12 Spero di ampiezza: farsi l occhio 4 3 sen(.) - u() u() = 3 sen(.) + cos() +.5 sen(7) 4 3 sen(.) - cos() u() Sagionalià (o endenza) Coningenza

13 Spero e caraerisiche dei segnali u() u() u() = sen() + 4 sen(3) +.5 sen() VS u() = 3 sen(.) + cos() +.5 sen(7) σ u ω σ u ω Lo spero fornisce una rappresenazione alernaiva di un segnale in cui è evidenziao il conribuo delle differeni armoniche che lo cosiuiscono

14 Spero e caraerisiche dei segnali 4 5 u() u() = 8 sen() + sen() σ u 8 ω

15 Spero e caraerisiche dei segnali 5 5 u() u() = sen() + 8 sen() σ u 8 ω

16 Spero e caraerisiche dei segnali 6 5 u() u() = 5 sen() + 5 sen() σ u 5 ω

17 Spero e caraerisiche dei segnali 7 u() = sen() σ u VS σ u u() = sen() ω ω Da un puno di visa macroscopico, i segnali nel cui spero prevalgono le componeni armoniche in bassa frequenza sono caraerizzai da un andameno lenamene variabile. I segnali il cui spero è prevalenemene concenrao ad ala frequenza hanno invece un andameno più nervoso e caraerizzao da rapida variabilià. u() σ u 8 VS ω ω σ u 8 u() 5-5 -

18 Spero: definizione formale 8 Fino ad ora abbiamo considerao segnali scomponibili nella somma di un numero fino di armoniche: u() = i σ u(ω i ) cos ω i +ϕ u (ω i ). Più in generale, dao un segnale u : R + R u(), soo opporune e blande ipoesi, esisono due funzioni σ u : R + R + e ϕ u : R + R ω σ u (ω) ω ϕ u (ω) ali che è possibile scrivere il segnale nella seguene forma: u() = + σ u (ω) cos ω +ϕ u (ω) dω. Le funzioniσ u eϕ u sono dee, rispeivamene, sperodiampiezza esperodifase diu. Ci ineresseremo principalmene dello spero di ampiezza.

19 Spero discreo / spero coninuo 9 Analogia fisica fra speri discrei e speri coninui: u() = i σ u (ω i ) cos ω i +ϕ u (ω i ) u() u() = + σ u σ u (ω) cos ω +ϕ u (ω) dω Spero discreo: masse puniformi pose in corrispondenza di alcune pulsazioni ω..5 denza di alcune ω u() Modulo (spero di ampiezza).3.. Spero coninuo: densià di massa spalmaa su un inervallo di pulsazioni

20 Spero e caraerisiche dei segnali 4 u() u() - - Modulo (spero di ampiezza) VS (spero di ampiezza) Modulo ( L andameno più nervoso del segnale di desra rispeo a quello di sinisra si riflee a livello di spero, nella presenza di armoniche a più elevaa frequenza di quelle che compongono il segnale di sinisra.

21 Banda di un segnale Def. Un segnale è deo essere abandalimiaa se esise una pulsazione ω ale cheσ u (ω) = ω> ω (cioè, lo spero è definiivamene nullo). La banda del segnale è l inervallo di pulsazioni all inerno del quale lo spero non è nullo (in senso lao, la banda di un segnale è l inervallo di pulsazioni in cui è prevalenemene concenrao lo spero di ampiezza del segnale). 4 u() ) u() ) - - Modulo (spero di ampiezza) VS Banda [,3] rad/s VS Modulo (spero di ampiezza) Banda [, 4] rad/s

22 Banda e caraerisiche dei segnali 4 u() u() - - Modulo (spero di ampiezza) VS Banda [,3] rad/s VS (spero di ampiezza) Modulo ( Banda [, 4] rad/s In sinesi: La banda di un segnale individua la regione delle pulsazioni in cui si concenra il conenuo armonico di un segnale; L andameno di un segnale è ano più nervoso e rapidamene variabile quano più la sua banda si esende a frequenze elevae.

23 Complemeno: spero dei segnali periodici 3 Un caso speciale: i segnali periodici Siau() un segnale periodico di periodot e sia ω = π T. Allora lo spero diu() è discreo e diverso da solo per ω si dicearmonicafondamenale. ω =k ω, k N (k =,,,...); u() σ u T T ω ω 3ω 4ω ω

24 Sommario 4 Spero di segnali Lo spero come rappresenazione alernaiva dei segnali Spero e caraerisiche dei segnali Caso paricolare: segnali periodici (spero discreo) Filraggio di segnali I sisemi lineari visi come filri Filri passa-basso / filri passa-alo Esempi di applicazioni ed alri filri

25 Il Teorema della risposa armonica 5 u() G(s) y F () Teorema della risposa armonica: sia G(s) la funzione di rasferimeno di un sisema lineare AS, allora: u() =σ cos(ω +ϕ) = u() = n i= σ i cos(ω i +ϕ i ) = y R () = G(jω) σ cos ω +ϕ+ G(jω) ; y R () = n G(jω i ) σ i cos ω i +ϕ i + G(jω i ) ; i= u() = + σ u (ω) cos ω +ϕ u (ω) dω = y R () = + G(jω) σ u (ω) cos ω +ϕ u (ω) + G(jω) dω.

26 Il Teorema della risposa armonica 6 u() G(s) y F () Teorema della risposa armonica: sia G(s) la funzione di rasferimeno di un sisema lineare AS, allora: u() = + σ u (ω) cos ω +ϕ u (ω) dω = y R () = + G(jω) σ u (ω) cos ω +ϕ u (ω) + G(jω) dω. σ y (ω){ Quindi, lo spero di ampiezzaσ y dell uscia di regime è dao da σ y : R + R + ω G(jω) σ u (ω)

27 Il Teorema della risposa armonica: filraggio 7 u() G(s) y F () Spero di ampiezza dell uscia di regime: Conseguenze: σ y : R + R + ω G(jω) σ u (ω) Il peso delle varie armoniche che compongonoy F () è amplificao/aenuao a seconda che G(jω) ; Nel segnale di uscia non compaiono armoniche che erano asseni nel segnale d ingresso (non nascono nuove armoniche); Armoniche a pulsazioneω preseni nel segnale d ingresso possono apparire molo aenuae (quasi cancellae) nel segnale di uscia se G(jω) o addiriura cancellae se G(jω) = (proprieà bloccane degli zeri); La banda diy F () è più piccola o uguale a quella diu().

28 u() y() 4 - Esempio: filraggio G(s) u() y F () G(s) = + 3 s Modulo (spero di ampiezza) Modulo (spero di ampiezza) db Banda [, 4] rad/s G(jω) > amplificazione Diagramma di Bode - Modulo G(jω) < aenuazione -4 - Pulsazione [rad/s] Banda [,] rad/s

29 I sisemi lineari come filri 9 I sisemi lineari asinoicamene sabili possono essere classificai in base alle caraerisiche del loro diagramma di Bode del modulo, ossia in base alle loro proprieà filrani. Nel seguio ci soffermeremo su due caegorie fondamenali di sisemi lineari:. I filri passa-basso;. I filri passa-alo. Accenneremo poi ad alri ipi di filro (passa-banda, a spillo) e ai possibili impieghi dei filri nelle applicazioni e con riferimeno al problema di conrollo. Al riguardo, maggiori deagli seguiranno nelle prossime lezioni e nel prossimo laboraorio.

30 Filri passa-basso 3 Def. : Un filro passa basso è un sisema lineare AS con guadagno µ =G()> e diagramma di Bode del modulo dig(s) con le segueni caraerisiche: in bassa frequenza l andameno è circa cosane e pari ag() db ; alle alre frequenze il modulo ha valori inferiori e lim ω + G(jω) db = (cioè, lim ω + G(jω) = ). db Diagramma di Bode - Modulo Pulsazione [rad/s]

31 Filri passa-basso: banda passane 3 Def. : Per un filro passa basso, si definisce banda passane (BP) l inervallo di pulsazioni [, ω] rad/s, con ω ale che G() db G(jω) db 3 db ω ω G() db G(jω) db > 3 db Il valoreg() è deoguadagno del filro. ω> ω. Diagramma di Bode - Modulo db BP=[,] rad/s Pulsazione [rad/s]

32 Filri passa-basso: banda passane 3 Esempio: un esempio sandard di filro passa basso è dao da G(s) = µ, T >, µ>, +Ts che ha guadagno pari aµebanda passane pari a, T rad/s (vedi la Figura). Diagramma di Bode - Modulo µ db + 3 db µ db µ db 3 db /T db BP=[,/T] rad/s Pulsazione [rad/s]

33 Significao della banda passane 33 u() G(s) y F () SeG(s) è un filro passa basso a guadagno uniario G() = con BP=[, ω], dao un segnale d ingressou(), lo spero della corrispondene usciay F () ha le segueni caraerisiche: il peso delle armoniche a pulsazione ω < ω (cioè, all inerno della banda passane) è sosanzialmene uguale al peso che ali armoniche avevano nel segnale d ingresso G(jω) ; il peso delle armoniche a pulsazione ω > ω (cioè, fuori dalla banda passane) è minore del peso che ali armoniche avevano nel segnale d ingresso e, al crescere della pulsazione, ali armoniche endono ad essere cancellae limω + G(jω) =. L uscia replica le caraerisiche in bassa frequenza del segnale d ingresso e ne smorza il conenuo ad ala frequenza. Un filro passa basso lascia passare le basse frequenze e aglia quelle ale.

34 u() 4 - Esempio: filraggio passa-basso u() Modulo (spero di ampiezza) Diagramma di Bode - Modulo G(s) y F () G(s) = +s -3 BP = [, ] db BP Pulsazione [rad/s] y() Modulo (spero di ampiezza)

35 u() y() 4 - Esempio: filraggio passa-basso G(s) u() y F () G(s) = + BP = [, 4] 4 s Modulo (spero di ampiezza) db Diagramma di Bode - Modulo BP -3 - Pulsazione [rad/s] Modulo (spero di ampiezza)

36 u() y() 4 - Esempio: filraggio passa-basso G(s) u() y F () G(s) = + 5 s BP = [, 5] Modulo (spero di ampiezza) db Diagramma di Bode - Modulo BP - - Pulsazione [rad/s] Modulo (spero di ampiezza)

37 Riassumendo: filraggio passa-basso 37 4 u() - u() G(s) y F () Modulo (spero di ampiezza) Banda [, 4] rad/s All aumenare della banda passane del sisema, l uscia replica sempre più fedelmene l andameno del segnale d ingresso BP = [, ] y() BP = [, 4] y() BP = [, 5] y()

38 Un risulao fondamenale 38 4 u() - u() G(s) y F () Modulo (spero di ampiezza) Banda [, 4] rad/s Osservazione imporane: Se la banda del segnale u() è conenua nella bandapassane del sisema G(s), allora l uscia di regime y R () è sosanzialmene una replica del segnale d ingresso, cioè: y R () u() BP = [, ] y() BP = [, 4] y() y() BP = [, 5]

39 Filri passa-alo 39 Def. : Un filro passa alo è un sisema lineare AS con G( ) = lim ω + > e diagramma di Bode del modulo dig(s) con le segueni caraerisiche: ad ala frequenza l andameno è circa cosane e pari ag( ) db ; alle alre frequenze il modulo ha valori inferiori e lim ω + G(jω) db = (cioè,g() = ). db Diagramma di Bode - Modulo - - Pulsazione [rad/s]

40 Filri passa-alo: banda passane 4 Def. : Per un filro passa alo, si definisce banda passane (BP) l inervallo di pulsazioni [ ω, + ) rad/s, con ω ale che G( ) db G(jω) db 3 db ω ω G( ) db G(jω) db > 3 db ω< ω. Il valore G( ) è deo faore di amplificazione del filro. Diagramma di Bode - Modulo db BP=[,+ ) rad/s - - Pulsazione [rad/s]

41 Filri passa-alo: banda passane 4 Esempio: un esempio sandard di filro passa alo è dao da G(s) = µs, T >, µ>, +Ts che ha faore di amplificazione pari aµ/t e banda passane pari a T, + rad/s (vedi la Figura). Diagramma di Bode - Modulo G( ) db + 3 db G( ) db G( ) db 3 db /T db BP=[/T,+ ) rad/s Pulsazione [rad/s]

42 Significao della banda passane 4 u() G(s) y F () SeG(s) è un filro passa alo con faore di amplificazione uniario G( ) = e BP=[ ω, + ), dao un segnale d ingresso u(), lo spero della corrispondene usciay F () ha le segueni caraerisiche: il peso delle armoniche a pulsazione ω > ω (cioè, all inerno della banda passane) è sosanzialmene uguale al peso che ali armoniche avevano nel segnale d ingresso G(jω) ; il peso delle armoniche a pulsazione ω < ω (cioè, fuori dalla banda passane) è minore del peso che ali armoniche avevano nel segnale d ingresso e, al diminuire della pulsazione, ali armoniche endono ad essere cancellae lim ω + G(jω) =. L uscia replica le caraerisiche ad ala frequenza del segnale d ingresso e ne smorza il conenuo in bassa frequenza. Un filro passa alo lascia passare le ale frequenze e aglia quelle basse.

43 u() y() 4 - Esempio: filraggio passa-alo G(s) u() y F () Modulo (spero di ampiezza).3.. G(s) =.s +.s -3 BP = [, + ) db Diagramma di Bode - Modulo BP - Pulsazione [rad/s] Modulo (spero di ampiezza)

44 u() 4 - y() Esempio: filraggio passa-alo G(s) u() y F () G(s) = s +s BP = [, + ) Modulo (spero di ampiezza) db.3.. Modulo (spero di ampiezza) Diagramma di Bode - Modulo BP - - Pulsazione [rad/s]

45 Un risulao fondamenale 45 4 u() Modulo (spero di ampiezza) Banda [, 4] rad/s Osservazione imporane: Se la banda del segnale u() è conenua nella bandapassane del sisema G(s), allora l uscia di regime y R () è sosanzialmene una replica del segnale d ingresso, cioè: y R () u() u() BP = [, + ) G(s) y() BP = [, + ) y() y F ()

46 u() y() - Esempio: filraggio fuori banda G(s) u() y F () G(s) =.s + s BP = [, + ) Modulo (spero di ampiezza) db Diagramma di Bode - Modulo 46 Banda [, 3] rad/s BP - 3 Pulsazione [rad/s] Modulo (spero di ampiezza) ZOOM

47 Esempio: filraggio fuori banda 47.. u() y() - -. Modulo (spero di ampiezza) Banda [, 3] rad/s u() G(s) ampiezza).4 Modulo (spero di ampiezza).3.. y F () BP = [, + ) Osservazione (duale dell osservazione imporane ): ZOOM Se la banda del segnale u() è al di fuori della banda-passane del sisema G(s), allora le armoniche che compongono il segnale sono agliae e l uscia di regime y R () è un segnale di piccolo modulo.

48 Sommario 48 Spero di segnali Lo spero come rappresenazione alernaiva dei segnali Spero e caraerisiche dei segnali Caso paricolare: segnali periodici (spero discreo) Filraggio di segnali I sisemi lineari visi come filri Filri passa-basso / filri passa-alo Esempi di applicazioni ed alri filri

49 Filraggio passa-basso 49 Filraggio passa-basso: Se uno vuole esrarre da un segnale u() il conenuo sperale limiaamene alle pulsazioni in bassa frequenza [, ω max ], ad esempio perché gli ineressa solo il suo andameno sagionale e non le variazioni dovue a fai coningeni, basa porre ale segnale in ingresso ad un filro passa-basso avene BP [, ω max ] e considerare la corrispondene uscia y(). Ad esempio: Si voglia sudiare il rend della emperaura in una daa area Si voglia capire l andameno endenziale dell indice MIB (o dello spread)

50 Alri filri Filro passa-banda: db Diagramma di Bode - Modulo Ad esempio: G(s) = BP=[, ] rad/s. s (+s)(+.s) BP Pulsazione [rad/s] Se si vuole esrarre da un segnale u() il suo conenuo sperale limiaamene ad un inervallo di pulsazioni [ω min, ω max ], basa porre ale segnale in ingresso ad un filro passa-banda avene BP= [ω min, ω max ] e considerare la corrispondene uscia y().

51 Alri filri Filro noch (a spillo): db Diagramma di Bode - Modulo ω Ad esempio: s G(s) = s + (+s) ω = rad/s. Pulsazione [rad/s] Se si vuole cancellare da un segnale u() il suo conenuo sperale limiaamene ad una specifica armonica ω, basa porre ale segnale in ingresso ad un filro a spillo avene una coppia di zeri posi in jω e considerare la corrispondene uscia y().

52 Alre applicazioni: ingegneria del suono 5 Pulizia della regisrazione di un suono sporcaa da del rumore Ad esempio: di una vecchia regisrazione (un album dei Beales); oppure si raa di una regisrazione live (rumore di soofondo) Poiché, ipicamene, ali rumori sono caraerizzai da uno spero concenrao in ala frequenza, si porà procedere ad un filraggio passa-basso del segnale sonoro u(). Progeo di chiarre eleriche performani Progeazione dei componeni elerici e sruurali (forma, casse di risonanza ) in modo ale che la chiarra si compori come un filro che enfaizza deerminae armoniche e ne aenua alre. Progeo di disposiivi che isolano dal rumore (cuffie con conrollo aivo del rumore)

53 Conclusioni 53 In sinesi: I sisemi lineari si comporano come filri: essi realizzano il rapporo ingresso/uscia modulando lo spero del segnale d ingresso (Teorema della risposa armonica): σ y : R + R + ω G(jω) σ u (ω) I filri passa-basso esraggono dal segnale d ingresso il conenuo sperale in bassa frequenza Più in generale, i filri esraggono dal segnale d ingresso il conenuo sperale all inerno della banda passane del sisema Se la banda del segnale u() è conenua nella banda-passane del sisema G(s), allora l uscia di regime y R () è una replica del segnale d ingresso: y R () u()

54 Conclusioni 54 In sinesi: I sisemi lineari si comporano come filri: essi realizzano il rapporo ingresso/uscia modulando lo spero del segnale d ingresso (Teorema della risposa armonica): σ y : R + R + ω G(jω) σ u (ω) I filri passa-basso esraggono dal segnale d ingresso il conenuo sperale in bassa frequenza Più in generale, i filri esraggono dal segnale d ingresso il conenuo sperale all inerno della banda passane del sisema Se la banda del segnale u() è conenua nella banda-passane del sisema G(s), allora l uscia di regime y R () è una replica del segnale d ingresso:y R () u() Ques ulima osservazione sarà fondamenale per affronare il problema del conrollo, cioè il progeo di un disposiivo che garanisca che... y() y o ()