Analisi Frequenziale di Segnali a Tempo Discreto

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Analisi Frequenziale di Segnali a Tempo Discreto"

Transcript

1 Capiolo 3 Analisi Frequenziale di Segnali a Tempo Discreo Nei capioli precedeni sono sae inrodoe le nozioni basilari di segnali analogici e a empo discreo, le operazioni fondamenali ra segnali, e, infine, è saa analizzaa la ecnica del campionameno, uno dei modi possibili per oenere un segnale a empo discreo. Si noi, uavia, che i segnali a empo discreo non sempre derivano da segnali analogici campionai. Ques ulima classe di segnali è uile solo perché è di fondamenale imporanza nell ambio delle elecomunicazioni digiali, ma anche nel seore dell elaborazione dei segnali numerici. Da queso puno in poi, quindi, ci occuperemo di segnali a empo discreo, x(n, senza preoccuparci del modo in cui siano sai oenui. Un qualsiasi segnale a empo discreo, o sequenza, può essere rappresenao come una combinazione lineare pesaa di dela numeriche del ipo δ(n k. I pesi corrispondono ai valori della sequenza negli isani di empo k, discrei, aorno a cui sono cenrae le funzioni dela numeriche. Quesa rappresenazione é uile per descrivere, nel dominio del empo, la relazione ingresso-uscia di un qualsiasi sisema LTI a empo discreo. Esisono delle relazioni alernaive che permeono di analizzare una qualsiasi sequenza x(n. Si raa di rappresenazioni che coinvolgono degli esponenziali complessi del ipo e jωn, oppure delle sequenze z n. La prima rappresenazione conduce alla naurale esensione al empo discreo della rasformaa di Fourier per segnali analogici, menre la seconda conduce all analisi dei segnali a empo discreo nel dominio della rasformaa z, la conropare della rasformaa di Laplace per il empo discreo. La rasformaa di Fourier a empo discreo, nel seguio indicaa con l acronimo DTFT, permee di rasformare una qualsiasi sequenza x(n del empo discreo in una funzione coninua X(e jω della variabile frequenza. Daa la periodicià degli esponenziali complessi preseni in X(e jω, la sequenza corrispondene ad ogni rasformaa di Fourier può essere dedoa araverso la rappresenazione in serie di Fourier. Infine, ogni sequenza di lunghezza N finia ammee una rappresenazione frequenziale che necessia di soli N campioni equamene spaziai della DTFT. Quesi N campioni cosiuiscono la cosiddea rasformaa di Fourier discrea (DFT, un modo praico per analizzare in frequenza le sequenze di lunghezza finia. La generalizzazione della DTFT ad una variabile complessa, dea rasformaa z, rivese un ruolo fondamenale nell analisi dei sisemi a empo discreo: la relazione analiica di una generica rasformaa z ne descrive una realizzazione praica in ermini di componeni elemenari, quali riardaori, sommaori e moliplicaori. Inolre, la rasformaa z, così come la rasformaa di Laplace per i segnali analogici, converge in modo uniforme per un insieme di funzioni o disribuzioni più ampio di quello per cui converge la DTFT. 3

2 3. La DTFT x( x( kt c T c... kt c Figura 3.: Analogia conceuale ra la rasformaa di Fourier di un segnale analogico e la DTFT. 3. La DTFT La DTFT di una sequenza x(n é definia come: X(e jπf = x(ke jπfk (3. E facile noare in queso operaore una srea analogia alla rasformaa di Fourier per segnali analogici: X(f a = + x(e jπfa d (3. E possibile immaginare la DTFT come oenua dalla rasformaa di Fourier in 3., discreizzandone l inervallo di inegrazione come mosrao in figura 3.. L inegrale sul coninuo divena una sommaoria sugli infinii ermini del ipo x(kt c e jπfaktc, dove però si deve porre f = f a T c. Inolre il differenziale d dell inegrale divena il passo di discreizzazione T c dell asse del empo. Soo quese condizioni, l inegrale di Fourier può essere scrio come segue: X(e jπf =T c + x(kt c e jπfk (3.3 Nonosane la similiudine evidenziaa, esisono diverse ragioni, anche conceuali, per considerare la DTFT come un operaore a se sane. Innanziuo, non è assoluamene deo che i segnali a empo discreo derivino da segnali analogici campionai. In queso caso, il passo di discreizzazione emporale T c non possiede alcun valore praico. Ponendo T c =nell equazione 3.3 si oiene la definizione di DTFT fornia nell equazione 3.. In secondo luogo, esise una differenza sosanziale ra la rasformaa di Fourier analogica e la DTFT: la DTFT X(e jπf è periodica di periodo rispeo alla frequenza f, menre la rasformaa di Fourier, X(f a,non possiede quesa proprieà. Per quesa ragione, in ciò che segue non si farà alcun riferimeno alle similiudini ra le due rasformae, ma si considererà la DTFT un operaore a se sane, oenuo ramie la definizione 3.. Nei paragrafi che seguono verranno analizzae le proprieà della DTFT di segnali a empo discreo non oenui da segnali analogici campionai. Nel paragrafo 3.3, invece, verranno prese in esame la definizione della DTFT e l analisi in frequenza di segnali analogici campionai. L espressione analiica della DTFT é in generale una funzione complessa della variabile ω =πf, chiamaa pulsazione, e, quindi, può essere scria in forma reangolare: X(e jω =X R (e jω +j X I (e jω (3.4 dove X R (e jω e X I (e jω sono, rispeivamene, la pare reale e la pare immaginaria della DTFT X(e jω, enrambe funzioni reali della variabile ω. Ricordando che ogni funzione complessa può essere scria anche in 3

3 3. La DTFT forma polare, una rappresenazione equivalene della DTFT in 3. risula X(e jω = X(e jω e jϕ(ω (3.5 dove il modulo vale X(e jω = XR (ejω +XI (ejω (3.6 elafaseϕ(ω ( XI (e jω ϕ(ω = arcan X R (e jω. (3.7 Una delle proprieà fondamenali della DTFT riguarda la periodicià. Se nella DTFT in 3. si sosiuisce al poso di ω la variabile ω +πi, i inero, si verifica facilmene che: X(e jω+jπi = x(ke jωk jπik = x(ke jωk e jπik = x(ke jωk (3.8 essendo e jπik = cos(πik j sin(πik =, i, k ineri. La DTFT di una qualunque sequenza x(n risula periodica di periodo π. Una conseguenza della periodicià é che l andameno della DTFT può essere visualizzao nell inervallo base ω ( π; π]. Se si esprime la DTFT in funzione della frequenza f, si oiene una funzione X(e jπf periodica di periodo uniario nella variabile f. In queso caso l andameno della DTFT può essere visualizzao nell inervallo base f ( ;+ ]. Le considerazioni dedoe in precedenza suggeriscono che la DTFT é una funzione coninua e periodica di periodo π della variabile ω. L equazione 3. rappresena, perciò, lo sviluppo in serie di Fourier della funzione periodica X(e jω. Ricordando che lo sviluppo in serie di Fourier rappresena una generica funzione periodica X(e jω come combinazione lineare di esponenziali complessi pesai con le proiezioni della funzione X(e jω lungo i veori della base di funzioni esponenziali e jπf, si comprende che i valori della sequenza x(k nell equazione 3. rappresenano proprio le proiezioni in quesione. In queso modo si deduce la relazione d inversione della DTFT: x(k = +π X(e jω e jωk dω (3.9 π π Si noi che l equazione 3.9 esprime proprio il prodoo scalare della funzione X(e jω lungo le funzioni, e jωk, della base di segnali di Fourier, valuao sul periodo ( π, +π]. L equazione 3.9, rispeo alla variabile f, assume la seguene forma: x(k = + X(e jπf e jπfk df (3. Per comprendere che le equazioni 3. e 3. rappresenano una coppia di rasformaa-anirasformaa, si sosiuisca la relazione 3. in 3.. Scambiando la sommaoria con l inegrale, si oiene: + X(e jπf e jπfk df = + x(ne jπfn e jπfk df = + x(n e jπf(n k df L inegrale ha soluzione: + e jπf(n k df = sin(π(n k π(n k = δ(n k dal momeno che la funzione sinc(n k vale per ogni n = k, e zero per ogni n k. In definiiva, si oiene: x(nδ(n k =x(k. Enrambe le equazioni 3.9 e 3. sono chiamae anirasformaa di Fourier a empo discreo (IDFT. 3

4 3. La DTFT In sinesi, la coppia di equazioni X(e jω = x(ke jωk x(k = π +π π X(e jω e jωk dω (3. oppure X(e jπf = x(ke jπfk x(k = + X(e jπf e jπfk df (3. rappresenano la coppia rasformaa e anirasformaa di Fourier a empo discreo per il segnale x(k. 3.. Condizioni di esisenza della DTFT La DTFT é espressa ramie una sommaoria di funzioni nella variabile ω. Da un puno di visa maemaico, la sommaoria converge in modo uniforme ad una soluzione se l argomeno é sommabile in modulo, cioè se il segnale x(n da rasformare soddisfa la disuguaglianza: x(k < (3.3 La condizione di esisenza 3.3 é solo sufficiene e garanisce che X(e jω <, ω. Queso significa che la DTFT esise sicuramene se i segnali da rasformare soddisfano la condizione 3.3. Semplici passaggi maemaici permeono di osservare che una sequenza per cui valga la relazione in 3.3, ammee energia finia. Infai E x = x(k ( + x(k < (3.4 Una sequenza sommabile in modulo possiede energia finia. Si noi che in generale non é vero il viceversa. In alre parole, esisono delle sequenze x(n che, nonosane siano ad energia finia, non sono sommabili in modulo. Esempio 3. Si calcoli la DTFT del segnale x(n =δ(n. Soluzione: innanziuo si verifica facilmene che la sequenza in esame soddisfa la condizione sufficiene 3.3, e, perciò possiede DTFT finia. Applicando la definizione 3. si oiene facilmene la DTFT cercaa X(e jπf = δ(ke jπfk = Esempio 3. Si calcoli la DTFT del segnale x(n ={,, 3, }, dove il coefficiene soolineao indica quello corrispondene all isane di empo n =. I coefficieni non specificai sono nulli. Soluzione: applicando la definizione 3. si oiene facilmene la DTFT cercaa X(e jπf =+3e j4πf e j6πf Se la sequenza x(n possiede supporo finio, cioè x(n è non nulla solo in un numero finio di isani di empo discrei n, la DTFT può essere dedoa a visa: ciascun ermine é il prodoo di un campione all isane di empo n pesao per l esponenziale e jπnf. In analogia con la rasformaa di Fourier a empo coninuo, possiamo dire che le DTFT di sinusoidi, gradini o segnali cosani della variabile n, i quali non sono sommabili in valore assoluo, includono degli impulsi coninui del ipo dela di Dirac. 33

5 3. La DTFT Proprieà Segnali x(n, y(n DTFT Linearià a x(n+a y(n, a,a cosani a X(e jπf +a Y (e jπf ribalameno x( n X(e jπf riardo x(n N X(e jπf e jπfn modulazione e jπfon x(n X(e jπ(f fo derivaa in f n x(n j dx(e jπf π df convoluzione x(n y(n X(e jπf Y (e jπf prodoo x(n y(n X(e jπf Y(e jπf Tabella 3.: Proprieà generali della DTFT di segnali a empo discreo. 3.. Proprieà della DTFT La DTFT possiede delle proprieà molo simili a quelle della rasformaa di Fourier. Le principali sono mosrae in abella 3.. Le dimosrazioni vengono condoe sulla definizione 3., parendo dal presupposo di conoscere la DTFT X(e jω della sequenza x(n. Vediamone alcune a iolo di esempio. Riardo: noa la DTFT del segnale x(n, la DTFT del segnale x(n N riardao di N passi di empo discreo, vale: x(k Ne jωk (3.5 Con la sosiuzione di variabile n = k N, si oiene: x(ne jω(n+n = e jωn x(ne jωn = e jωn X(e jω (3.6 Modulazione: noa la DTFT del segnale x(n, la DTFT del segnale e jπfon x(n modulao con un esponenziale complesso e jπfon,vale: e jπfok x(ke jπfk = ( x(ke jπ(f fok = X e jπ(f fo. (3.7 Derivaa in f: si valua la derivaa rispeo a f della DTFT X ( e jπf ;informule: j dx ( e jπf = j d π df π df da cui, con semplici passaggi maemaici, si ricava: x(ke jπfk (3.8 j π x(k de jπfk df = k x(ke jπfk = DTFT [n x(n]. (3.9 Convoluzione lineare: si valua la DTFT di x(n y(n ricordando la definizione: x(n y(n = x(ky(n k. In formule: (x(k y(k e jωk = ( + x(ny(k n e jωk (3. 34

6 3. La DTFT Segnale x(n C DTFT x(n X(e jπf x( n X(e jπf x (n X (e jπf x ( n X (e jπf [ R (x(n X (e jπf = X(e jπf +X (e jπf ] [ jim(x(n X (e jπf = X(e jπf X (e jπf ] IDTFT(X (e jπf X R (e jπf IDTFT(X (e jπf jx I (e jπf Tabella 3.: Proprieà di simmeria della DTFT di sequenze complesse. Segnale x(n R DTFT x(n X(e jπf =X R (e jπf +jx I (e jπf x(n pari X(e jπf =X R (e jπf x(n dispari X(e jπf =jx I (e jπf x(n X(e jπf =X (e jπf x(n X R (e jπf =X R (e jπf x(n X I (e jπf = X I (e jπf x(n X(e jπf = X(e jπf x(n ϕ ( X(e jπf = ϕ ( X(e jπf Tabella 3.3: Proprieà di simmeria della DTFT di sequenze reali. da cui, con semplici passaggi maemaici, si ricava: x(n y(k ne jωk (3. Con il cambio di variabile z = k n nella seconda sommaoria, si oiene: ( + ( + x(n y(ze jω(z+n = x(ne jωn y(ze jωz z= z= (3. che corrisponde al prodoo X(e jω Y (e jω ra le due DTFT X(e jω e Y (e jω. Le sequenze complesse godono delle proprieà mosrae in abella 3., menre le proprieà principali delle sequenze reali sono evidenziae in abella 3.3. Tue quese proprieà si dimosrano in modo analogo a quano viso in precedenza. Per quano concerne le sequenze reali e pari del empo discreo n, adoperando la relazione di Eulero e jα = cos(α+j sin(α, si oiene: ( + ( + X(e jπf = x(ke jπfk = x(k cos(πfk j x(k sin(πfk (3.3 Inolre, ricordando che la sommaoria di una funzione dispari eseguia su un inervallo simmerico rispeo all origine, é nulla, si deduce che la DTFT di una sequenza reale e pari è una funzione reale della frequenza f: X(e jπf = x(k cos(πfk =X R (e jπf (3.4 35

7 3. La DTFT.6.4 H(e jω f 5 Fase f Figura 3.: Modulo e fase della risposa in frequenza 3 e jω. essendo + x(k sin(πfk =per ogni sequenza x(n reale e pari. Tue le alre proprieà mosrae nella abella 3.3 si dimosrano in modo analogo. Isegnalix(n reali possiedono DTFT con simmeria coniugaa inorno alle frequenze f =e f =,cioè: X(e jπf =X (e jπf (3.5 e ( X e jπ(f ( = X e jπ(f. (3.6 Quesa proprieà si raduce nella consaazione che il modulo della DTFT di un segnale reale é pari e la fase è dispari inorno all origine delle frequenze f numeriche. In formule: X(e jπf = X(e jπf, ϕ(x(e jπf = ϕ(x(e jπf. (3.7 Infine, di seguio sono riporae due relazioni deducibili dalle coppie DTFT-IDTF riporae nell equazione 3.. Dalla definizione della DTFT é facile dimosrare una relazione ra l area della DTFT di una sequenza ed il valore che la sequenza assume nell origine del empo: x( = [ + X(e jπf e jπfn df ] n= = + X(e jπf df (3.8 Inolre, l area di una sequenza x(n é pari al valore che la sua DTFT assume nell origine delle frequenze, vale a dire X(e jπf f= = x(k. (3.9 Queso risulao suggerisce che un segnale x(n a valor medio nullo possiede DTFT nulla nell origine delle frequenze. Esempio 3.3 Calcolare la DTFT del segnale x(n = ( 3 n u(n. Soluzione: innanziuo si noi che la sequenza in esame è sommabile in modulo secondo la condizione 3.3, e, quindi, possiede DTFT finia. La DTFT del segnale x(n vale: X(e jω = ( k u(ke jωk = 3 k= ( k e jωk = 3 k= ( k 3 e jω = (3.3 3 e jω 36

8 3. La DTFT 8 H(e jω f 3 Fase f N jω Figura 3.3: Modulo e fase della risposa in frequenza e sin(ω N sin( ω per N =. Si noi che la serie di funzioni + ( k= 3 e jω k converge in modo uniforme alla funzione perché 3 e jω la ragione 3 e jω èinmodulominorediuno. Il modulo della risposa in frequenza X(e jω e la relaiva fase, espressa in gradi, sono mosrai in figura 3.. Si noi che il modulo della risposa in frequenza è pari, menre la fase è dispari perchè la sequenza x(n è reale. Inolre, si noi che il modulo della risposa in frequenza è periodico di. Esempio 3.4 Calcolare la DTFT del segnale x(n =u(n u(n N, dove N è una cosane finia e posiiva. Soluzione: innanziuo si noi che la sequenza possiede un numero finio di ermini, N, ed è sommabile in modulo secondo quano espresso dalla condizione di esisenza in 3.3. La DTFT vale: X(e jω = Con un pò di calcoli, l equazione 3.3 divena: X(e jω = e jω N e j ω (u(k u(k N e jωk = e+jω N e jω N e +j ω e j ω N k= e jωk = e jωn e jω (3.3 N jω = e sin ( ω N sin ( ω (3.3 Il modulo e la fase della risposa in frequenza in 3.3 sono mosrai nella figura 3.3 nel caso N =. Si noi che il modulo della risposa in frequenza possiede gli zeri nelle frequenze muliple di N nelle quali si annulla la funzione sin ( ω N. Inolre, la fase della risposa in frequenza, espressa in radiani, è una funzione dispari e lineare a rai Le relazioni di Parseval La relazione di Parseval per i segnali a empo discreo ci permee di valuare l energia di un segnale reale x(n a parire dalla conoscenza della relaiva DTFT araverso la seguene equazione: E x = x(k = + X(e jπf df. (3.33 In ermini praici, quesa relazione esprime il fao che l energia di un segnale non dipende dal dominio in cui è calcolaa. 37

9 3. La DTFT x(n DTFT-X(e jω DTFT-X(e jπf δ(n a n u(n, a < ae jω na n u(n, a < ae jω ( ae jω ae jπf ae jπf ( ae jπf (n +a n u(n, a < ( ae jω ( ae jπf a n, a < a a cos(ω+a a a cos(πf+a πδ(ω δ(f cos(ω o n π (δ(ω + ω o +δ(ω ω o (δ(f + f o+δ(f f o sin(ω o n jπ (δ(ω + ω o δ(ω ω o j (δ(f + f o δ(f f o sin(ω on πn P fo (ω P fo (f sgn(n e jω/ +e jω/ e jπf +e jπf p K+ (n, N =K + e jω/ e jω/ sin(ωn/ sin(ω/ e jπf e jπf sin(πfn sin(πf u(n πδ(ω+ e jω δ(f+ e jπf Tabella 3.4: DTFT di segnali noevoli. Dae due sequenze x(n e y(n con DTFT X(e jπf e Y (e jπf, la relazione di Parseval generalizzaa asserisce che: 3..4 DTFT noevoli x(ky (k = + X(e jπf Y (e jπf df. (3.34 Alcune DTFT di segnali noevoli sono riporae nella abella 3.4. Quese DTFT si ricavano applicando l operaore di rasformaa di Fourier a empo discreo alle relaive sequenze. Alcune di esse si ricavano per esensione del caso a empo coninuo. Analizziamone alcune. La sequenza sgn(n è definia come segue: n> sgn(n = n = n< (3.35 La DTFT[sgn(n] si ricava osservando che la DTFT della sequenza incremeno x(n, definia come x(n x(n, vale: DTFT[ x(n] = DTFT[x(n x(n ] = DTFT[x(n] ( e jπf da cui si oiene: DTFT[x(n] = DTFT[ x(n] ( e jπf Nel nosro caso specifico, si verifica facilmene che: x(n =sgn(n sgn(n = δ(n+δ(n da cui si ricava: DTFT[ x(n] = + e jπf. Raccogliendo le relazioni rovae, si oiene il risulao cercao: DTFT[sgn(n] = +e jπf e jπf. 38

10 3. La DTFT La DTFT del segnale u(n vale πδ(ω + e. Essa si ricava per analogia al caso coninuo dove la jω rasformaa di Fourier del segnale u( vale δ(f a+ jπf a. Vediamo come. Ricordando che: u(n = sgn(n+ + δ(n ed impiegando le DTFT delle sequenze sgn(n e δ(n riporae in Tabella 3.4, si oiene: DTFT[u(n] = δ(f+ e jπf. La DTFT della sequenza sinc( a empo discreo, sin(ωon πn, è pari ad una pora P fo (ω in frequenza di ampiezza uniaria, supporo pari a f o nell inervallo [ f o ;+f o ], e con simmeria pari rispeo all origine. La DTFT della sequenza x(n =, n, si ricava osservando che: e jπfn = δ(f n. Ricordando che la DTFT di una sequenza è periodica di periodo uniario in f, allora si oiene: DTFT [] = e jπfn = δ(f n. La sequenza p K+ (n è definia come: p K+ (n = { n K n >K (3.36 La DTFT[p K+ (n] si ricava applicando la definizione 3. alla sequenza p K+ (n: DTFT[p K+ (n] = +K n= K e jπfn = e jπf(k+ e +jπf(k+ e jπf e +jπf = sin(πnf sin(πf dove si è poso N =K +. Le DTFT riporae nella abella 3.4 devono essere considerae con aenzione. Si ricordi che la DTFT è una funzione periodica di π in ω e in f. Le disribuzioni δ(f, δ(ω, P fo (ω, P fo (f vanno inerpreae nel periodo principale delle relaive DTFT in cui compaiono. Queso significa che andrebbero periodicizzae con periodo π in ω oppure in f in modo da garanire una DTFT periodica. In alre parole, si devono considerare le segueni relazioni: δ(f δ(ω δ(f n, δ(ω πn, e P fo (f P fo (ω P fo (f n, P fo (ω πn. 39

11 3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft 3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft La DTFT cosiuisce la rappresenazione frequenziale di sequenze di duraa infinia ed è una funzione coninua della variabile ω. Esisono diversi moivi per cui la DTFT è di difficile applicazioni nella praica. Innanziuo, l implemenazione su un calcolaore richiede che la variabile ω venga discreizzaa su un numero finio di valori. In secondo luogo, per sequenze x(n di supporo finio e pari a N, la complessià praica dell algorimo è dell ordine di circa N moliplicazioni e addizioni complesse. I segnali che si inconrano nella praica sono generalmene diversi da zero in un inervallo di empo N finio. Conviene cercare, dunque, una ecnica alernaiva, più efficiene dal puno di visa compuazionale, per effeuare l analisi in frequenza di sequenze di duraa finia. Quesa ecnica alernaiva è basaa sulla Trasformaa di Fourier Discrea (DFT. Analizziamone i presupposi. Isegnalix(n cosiuii da N soli campioni indicizzai dalla variabile empo n [,...,N ], possiedono una rappresenazione frequenziale più semplice della DTFT nell equazione 3.. D alronde, se la sequenza x(n é lunga N campioni, la logica suggerisce che N campioni di X(e jω, presi in N frequenze differeni ed equispaziae ra di loro, siano sufficieni a rappresenare univocamene sia X(e jω,siax(n araverso la relazione di anirasformaa. La rasformaa di Fourier discrea su N puni di un segnale x(n cosiuio da N soli campioni é definia come segue: X(k = N n= x(ne jπnk/n, k =,,,...,N. (3.37 e può essere inerpreaa come la DTFT X(e jπf valuaa nelle N frequenze equispaziae f k = k N, k =,...,N. In modo analogo si definisce l anirasformaa IDFT come segue: x(n = N N k= X(k e jπnk/n, n =,,,...,N. (3.38 Si noi che l indice adimensionao k individua una specifica frequenza all inerno del periodo principale in frequenza, menre n individua un isane di empo discreo all inerno del periodo principale di x(n. Inolre, é evidene che le due relazioni 3.37 e 3.38 sono implemenabili con ecniche numeriche in quano le variabili empo e frequenza risulano discreizzae su N puni. Ciascun campione della DFT é una somma pesaa di ui i campioni di x(n ognuno moliplicao per l esponenziali di Eulero e jπnk/n. La DFT ha una complessià pari a N operazioni complesse, in quano per ogni indice k =,...,N bisogna valuare N moliplicazioni e N addizioni complesse. Esise un algorimo efficiene per implemenare la DFT e la IDFT di sequenze numeriche di lunghezza finia N: si raa della rasformaa di Fourier veloce (FFT, la quale possiede complessià N log (N nel caso in cui il numero dei campioni N sia scelo come una poenza del. Dalle relazioni di sopra si vede chiaramene che enrambe le relazioni sono periodiche di periodo N, vale a dire X(k =X(k + N e x(n =x(n + N. Si consideri la relazione 3.37 e si ponga k + N al poso della variabile k: X(k + N = N n= x(ne jπn(k+n/n = N n= x(ne jπnk/n e jπn (3.39 Ricordando che: si oiene: e jπn = cos(πn j sin(πn, n X(k + N = N n= x(ne jπnk/n = X(k. (3.4 Acronimo di Discree Fourier Transform. Acronimo di Fas Fourier Transform. 4

12 3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft x(n _ x(n n n N=6 x(n Figura 3.4: Periodicizzazione di una sequenza x(n di N =6campioni. In virù della periodicià della sequenza x(n e della relaiva DFT X(k, è possibile esendere le relazioni 3.37 e 3.38, rispeivamene, per ogni n e per ogni k considerando le relaive esensioni periodiche: e X(k = x(n = r= p= X(k r N x(n p N. Impiegando le esensioni periodiche nelle equazioni 3.37 e 3.38, si oiene: X(k = N n= x(n e jπnk/n, k (3.4 e x(n = N X(k e jπnk/n, n. (3.4 N k= Un esempio grafico di come viene oenua la sequenza x(n a parire da una sequenza x(n di N =6campioni, è mosrao in figura La relazione ra la DTFT e la DFT La DFT di una sequenza x(n cosiuia da N puni equivale alla DTFT X(e jπf valuaa nelle N frequenze equispaziae f k = k N,k=,...,N. Noa la DFT X(k su N puni di una sequenza di duraa N é anche possibile deerminare univocamene la DTFT X(e jπf. Infai, sosiuendo l espressione di x(n riporaa in 3.38 nell equazione 3. della DTFT, si oiene: ( N N N X(e jω = x(ne jωn = X(k e jπnk/n e jωn (3.43 N n= n= k= Inverendo l ordine delle due sommaorie, si ricava: ( X(e jω = N N X(k e jπnk/n e jωn (3.44 N La sommaoria degli esponenziali in 3.44 vale: N n= k= e j(ω πk/nn = e j(ωn πk e n= ( sin ωn πk = j(ω πk/n sin ( e ωn πk N j(ω πk/n( N (3.45 Sosiuendo l equazione 3.45 in 3.44, si oiene la relazione cercaa ra la DTFT X(e jω eladftx(k di una sequenza numerica x(n: ( X(e jω = N X(k sin ( ωn πk N sin ( N e j(ω πk/n( (3.46 ωn πk N k= 4

13 3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft.8 N= x(n n X(k,k=,..,N X(e jω f Figura 3.5: Esempio di inerpolazione della DTFT araverso i puni della DFT. Si noi che l equazione 3.46 rappresena la DTFT X(e jω oenua per inerpolazione degli N campioni X(k, k =,...,N, della DFT. A iolo di esempio, si consideri la sequenza x(n riangolare di N = campioni mosraa nella pare superiore della figura 3.5. Applicando la DFT in 3.37 alla sequenza x(n si oengono i coefficieni mosrai, in modulo, nella figura inferiore mosraa nella figura 3.5. L applicazione dell equazione 3.46 ai coefficieni X(k, k=,..., resiuii dalla DFT, conduce alla curva coninua X(e jπf mosraa nella medesima figura. E sempre possibile ricavare la DTFT X(e jω di una sequenza di lunghezza N dalla DFT X(k valuaa su N frequenze equispaziae ω k = πk N, k =,...,N, solosen N. SeN <Nnon é possibile recuperare gli N campioni della DTFT parendo dagli N campioni della DFT. La ragione di quesa considerazione è spiegaa nel prossimo paragrafo. Alla luce di quese osservazioni, é alresì chiaro che per sequenze x(n di lunghezza infinia non é possibile oenere i campioni della DTFT da un numero finio dei suoi campioni in frequenza. 3.. Valuazione della DTFT ramie la DFT La DFT é l implemenazione praica della DTFT. Esisono diversi moivi per cui la DFT cosiuisca una valida alernaiva all uso della DTFT. Innanziuo, i segnali che s inconrano nella realà presenano duraa finia: l inensià con cui i segnali si manifesano ha un isane di inizio ed uno di fine, enrambi finii. E logico perciò applicare la DFT, piuoso che la DTFT, all analisi in frequenza dei segnali fisici a empo discreo. In secondo luogo, anche se un generico segnale dovesse possedere duraa infinia, dal puno di visa praico non sarebbe riduivo considerarlo a supporo finio e pari all inervallo di empo in cui è conceraa la maggior pare della sua energia (diciamo il 99% a iolo di esempio. Analizziamo, dunque, come poer dedurre la DTFT di una sequenza impiegando la DFT. Si desidera valuare la DTFT X(e jω di una sequenza x(n, lunga N campioni, in una griglia di pulsazioni ω k =π k N, k =,...,N, conn N: X(e jω k = N n= x(ne jω kn = N n= x(ne jπ k N n, k =,...,N (3.47 Si osservi che sono noi solo N campioni di x(n: é quesa la ragione per cui la sommaoria in 3.47 é esesa ad N campioni. Per far si che la duraa del segnale x(n sia uguale a N, si esende la sequenza x(n aggiungendole N N campioni nulli, i quali, ovviamene, non alerano l analisi sperale espressa dall equazione 3.47 in quano 4

14 3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft Proprieà Segnali x(n, y(n di N campioni DFT, k =,...,N Linearià a x(n+a y(n, a,a cosani a X(k+a Y (k riardo x( n N o N X(ke jπ k N No modulazione ko jπ e N n x(n X( k k o N dualià X(n N x( n N N convoluzione circolare p= x(py( n p N X(kY (k su N puni prodoo x(n y(n N N p= X(pY ( k p N Tabella 3.5: Proprieà generali della DFT di segnali a empo discreo. La scriura k N indica l operazione kmodn(esempio: 6 =6; 6 =6; 6 = 6 =4. L espressione k N = p, nel caso in cui k<, si risolve andando a sommare (o sorarre se k N all inero k il valore N ane vole sino ad oenere un inero p : p<n. gli zeri aggiuni non inroducono alcuna informazione uleriore. Si definisce, dunque, la nuova sequenza { x(n n [; N ] x z (n = n [N; N ] (3.48 e la si sosiuisce nell equazione 3.47: X(e jω k = N n= x z (ne jπ k N n, k =,...,N (3.49 L equazione 3.49 rappresena la DFT su N puni della sequenza x z (n lunga N campioni. L equazione 3.49, adoperaa per l analisi in frequenza di x z (n, rappresena una DTFT più fia della sequenza x(n Proprieà della DFT La DFT possiede proprieà molo simili a quelle della DTFT. Va ricordao, però, che la DTFT é una funzione coninua della frequenza f, menre la DFT é discrea, in quano definia solo nelle frequenze f k = k N, k =,...,N. Le proprieà principali della DFT sono riporae nelle abelle 3.5, 3.6 e 3.7. Le dimosrazioni sono analoghe a quano viso nel caso della DTFT. Alcune differenze rispeo alle proprieà della DTFT riguardano il fao che la DFT X(k, k =,...,N, possiede solo un numero finio N di puni, e, come ale, ue le operazioni compiue su X(k devono condurre ad una sequenza lunga N campioni. Inolre, ricordando la relazione 3.4, le sequenze x(n, oenue applicando la IDFT, sono periodiche di periodo N nel empo discreo. Analizziamo alcune proprieà fondamenali della DFT di sequenze lunghe N campioni, uili per le analisi eoriche degli argomeni affronai nei capioli che seguono. La proprieà del riardo x( n N o N nella abella 3.5 deve essere modificaa in modo ale che la sequenza riardaa x(n N o sia sempre definia nell inervallo [,N ]. E sufficiene adoperare l operaore k N, cioè l operazione kmodn. Nel caso in cui k<, k N = p si risolve andando a sommare (o sorarre se k N all inero k il valore N ane vole sino ad oenere un inero p più piccolo di N, ma maggiore o uguale a zero (esempio: 6 =6; 6 =6; 6 = 6 =4. Il riardo x(n N o é deo circolare. Alcuni esempi di applicazione del riardo circolare di una sequenza di 6 campioni sono riporai in figura 3.6. La convoluzione circolare nella abella 3.5 é analoga all operazione di convoluzione lineare, ma con una differenza sosanziale: la sequenza risulane deve possedere N campioni ra n =e n = N, e coinvolge due sequenze, x(n e y(n, enrambe periodiche di periodo N, secondo quano indicao dalla relazione

15 3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft x(n x( n+ 6 x( n n n n N=6 N=6 N=6 x( n- 6 x( n- 6 x( n n n n N=6 N=6 N=6 Figura 3.6: Esempi di applicazione del riardo circolare di una sequenza di 6 campioni. Vediamo come oenerla. Si consideri la convoluzione lineare ra le esensioni periodiche x(n e y(n di due sequenze x(n e y(n, enrambe lunghe N, sull inervallo [,N ]: z cc (n = N p= x(py(n p. (3.5 E facile dimosrare che il risulao della convoluzione 3.5 è una sequenza periodica di periodo N. Infai, valuando z cc (n + N, si oiene: z cc (n + N = N p= x(py(n + N p = N p= x(py(n p =z cc (n in virù della periodicià di N della sequenza periodica y(n. convoluzione lineare è riporao in figura 3.7. Un esempio grafico del calcolo della Impiegando l operazione di shif modulo N, la convoluzione lineare 3.5 ra le sequenze x(n e y(n, può essere scria come segue: z cc (n =x(n y(n = N p= x(py( n p N (3.5 La sequenza risulane z cc (n possiede solo N campioni nell inervallo n [,N ]. Olre, si ripee periodicamene con periodo N. E facile dimosrare che la convoluzione circolare é commuaiva, vale a dire x(n y(n =y(n x(n. L operazione di convoluzione circolare verrà nel seguio indicaa con il simbolo per disinguerla dalla convoluzione lineare indicaa con. La DFT di una sequenza reale possiede simmeria coniugaa inorno all origine, cioè vale la relazione: X ( k N =X( k N. Si noi che quesa relazione è del uo equivalene alla relazione: X( k N =X ( k N inconraa a proposio della simmeria coniugaa della DTFT nell equazione 3.5. periodica di periodo N e, quindi, vale la relazione: Inolre, la DFT è X( N k N =X( k N. 44

16 3. La Trasformaa di Fourier discrea-dft y(p _ y(p N=6 p p x(p _ x(p p p N=6 _ y(-p p _ y(n-p n< n> n= p Figura 3.7: Esempio di applicazione della convoluzione circolare. Quesa proprieà assicura la simmeria coniugaa della DFT inorno al puno N. Riassumendo: X( k N =X ( k N =X( N k N (3.5 Se N è dispari, allora N non è una frequenza discrea su cui esise un campione X( k N. Si noi che la proprieà di simmeria coniugaa permee di dimezzare il numero di operazioni necessarie per il calcolo della DFT. Uno schema conceuale della simmeria coniugaa per segnali reali è mosraa in figura 3.8. Esempio 3.5 sicalcoliladftdellasequenzarealex(n ={,,, } 3 di N =4campioni. Soluzione: valuiamo la DFT secondo la definizione 3.37: 3 X(k = x(ne jπnk/4, k =,,, 3. (3.53 n= E facile ricavare i quaro campioni di frequenza: X( = 5, X( = j, X( =, X(3 = +j (3.54 e da quesi verificare la proprieà di simmeria coniugaa X( k N =X ( k N =X( N k N per ogni indice k =,...,3: k = 4 = 4 = 4 4 = X( = +5 = X ( k = 4 =3, 4 =, 4 4 =3 X(3 = +j = X ( k = 4 =, 4 =, 4 4 = X( = =X ( k =3 3 4 =, 3 4 =3, = X( = j = X (3 ( Il campione soolineao è quello per n =. I campioni a desra corrispondono agli isani di empo posiivi, menre quelli a sinisra corrispondono agli isani di empo negaivi 45

17 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai N- N/, N dispari k N- N/, N pari k Figura 3.8: Simmeria coniugaa di DFT di segnali reali. Si noi che i campioni individuai dalla medesima freccia differiscono solo per un operazione di complesso coniugao, ma possiedono lo sesso modulo. Segnale x(n C x(n DFT X(k =X R (k+jx I (k x (n X ( k N x ( n N X (k R (x(n X (k = [X( k N +X ( k N ] jim(x(n X (k = [X( k N X ( k N ] IDFT(X (k IDFT(X (k X R (k jx I (k Tabella 3.6: Proprieà di simmeria della DFT di sequenze complesse. Esempio 3.6 in queso esercizio si vogliono verificare alcune proprieà della DFT mosrae nelle abelle per la sequenza reale x(n ={,, }. Soluzione: innanziuo la DFT X(k,k =,,, valex( =, X( = + e j 4π 3, X( = + e j 8π 3. Dai x(n e X(k, calcolarey(n =x(n e Y (k: si raa di applicare la proprieà del riardo nel empo x( n N o N X(ke jπ k N No nel caso in cui N o =. Lo shif circolare di un passo verso desra sul segnale x(n fornisce y(n ={,, }. LaDFTY (k =X(ke jπ k 3 si calcola come segue: k = Y ( = X( = k = Y ( = X( e jπ 3 =+e j π 3 k = Y ( = X( e jπ 3 =+e j 4π 3 (3.56 Dai x(n, X(k, calcolare la IDFT della rasformaa X (k =X( k 3. Si raa di applicare la proprieà di modulazione in abella 3.5 con k o =. Innanziuo, la DFT X (k vale X ( = X( = +e j 8π 3, X ( = X( =, X ( = X( = + e j 4π 3. La IDFT della rasformaa X (k, vale x (n =e j π N n x(n ={,,e j 4π 3 }. 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai Le ecniche analizzae nei paragrafi precedeni sono sae impiegae per l analisi frequenziale di segnali a empo discreo. Molo spesso, i segnali a empo discreo nascono dal campionameno di segnali analogici. E queso il caso dei segnali audio musicali digiali. Nei paragrafi che seguono si vogliono evidenziare le relazioni esiseni ra la DTFT e la DFT di segnali a empo discreo oenui araverso il campionameno di segnali analogici generali. 46

18 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai Segnale x(n R x(n x(n pari x(n dispari DFT X(e jπf =X R (k+jx I (k X(k =X R (k X(k =jx I (k x(n X(k =X ( k N x(n X R (k =R (X( k N x(n I (X(k = I (X( k N x(n X(k = X( k N x(n ϕ (X(k = ϕ (X( k N Tabella 3.7: Proprieà di simmeria della DFT di sequenze reali. Nella abella l operaore R ( indica la pare reale della funzione compresa, menre I ( indica la pare immaginaria della funzione compresa Alcune considerazioni generali Lo spero di un segnale analogico x( campionao é coninuo e periodico. segnale analogico x( é espresso ramie la seguene relazione: Il campionameno ideale di un x d ( =x( δ( kt c = x(kt c δ( kt c (3.57 dove T c é il periodo di campionameno, la cui scela deriva dall applicazione del eorema del campionameno. Ricordiamo che il eorema del campionameno fornisce una condizione per la scela della frequenza di campionameno in modo ale che dalla sequenza di campioni del segnale analogico x( sia possibile ricosruire perfeamene il segnale di parenza dopo il campionameno. Il crierio asserisce che é possibile effeuare in modo reversibile l operazione di campionameno nel caso di segnali con spero X(f a con supporo sreamene limiao ad un generico inervallo [ B x ; B x ], scegliendo la frequenza di campionameno f c B x. Inuiivamene, l applicazione del crierio garanisce che le repliche della rasformaa di Fourier X d (f a =I{x d (}, lequali nascono a causa del campionameno nel empo, non si sovrappongano ra di loro nel dominio della frequenza. Dalle proprieà della rasformaa di Fourier, si oiene: X d (f a = + X (f a k Tc = x(kt c e jπktcfa (3.58 T c dove si é impiegaa la rasformaa δ( T c e jπfatc e la linearià degli operaori sommaoria e rasformaa di Fourier. L equazione 3.58 indica chiaramene che la rasformaa di Fourier del segnale campionao non solo é coninua nella variabile f a, ma é anche una funzione periodica. Si noi come la discreizzazione in un dominio (quello del empo in queso caso, compori la periodicizzazione nell alro dominio (la frequenza. Una descrizione dell effeo del campionameno sullo spero X(f a del segnale analogico è mosraa in figura 3.9. La ricosruzione del segnale analogico x( avviene filrando il segnale campionao x d (, riporao nell equazione 3.57, con un filro ideale di guadagno T c nell inervallo di frequenze [ fc ; fc ], di modo da agliare ue le repliche dello spero periodico X d (f a, ranne quella cenraa aorno all origine (indicizzaa da k = nell equazione In formule, quese operazioni sono descrivibili ramie le due relazioni: ovvero x( =T c fc fc x(kt c =T c fc fc X d (f a e jπfa df a, (3.59 X d (f a e jπfaktc df a, (3.6 47

19 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x( x ( d X( f a T c X ( d f a -B x Bx f a -f c -f c Bx f c f c f a Figura 3.9: Descrizione schemaica della periodicizzazione dello spero di un segnale analogico campionao. X ( f d - -/ f x / f = f a f c Inervallo di inegrazione f x = B x f c Figura 3.: Descrizione schemaica della normalizzazione delle frequenze analogiche sullo spero periodico di un segnale analogico campionao. dal momeno che il empo risula muliplo della cadenza di campionameno T c,cioè = kt c, k (, La DTFT di un segnale analogico campionao In queso paragrafo si desidera oenere la relazione ra lo spero X(f a del segnale analogico x( e la spero X d (f a del segnale x d ( campionao, il quale corrisponde alla DTFT del segnale x( campionao. Innanziuo, si noi che campionando il segnale analogico aperiodico x(, espresso come anirasformaa di Fourier coninua: + x( = X(f a e jπfa df a (3.6 si oiene uno spero X d (f a periodico di periodo f c, la frequenza di campionameno, secondo quano espresso nell equazione Sosiuendo f = f a T c = f a /f 4 c e x( = kt c =x(k (si sooinende che l isane di empo discreo k é un muliplo di T c si oiene la seguene coppia di rasformaa e anirasformaa di Fourier a empo discreo: e X d (f = x(k = x(ke jπkf (3.6 X d (fe jπkf df. (3.63 Si noi che l inervallo f [ ;+ ] risula essere il periodo principale di frequenza su cui la DTFT viene valuaa. Inolre, come aeso, la DTFT espressa dall equazione 3.6 è periodica di periodo rispeo alla frequenza numerica f. 4 Da queso puno in poi, le frequenze numeriche saranno indicae con f per disinguerle dalle frequenze analogiche f a. 48

20 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x( T x ( T T Figura 3.: Esempio di segnale x( periodico dal quale si isoli la sola replica x T ( nel periodo fondamenale T. x ( T T X (f a T X (f T X (kf T f k f f a Figura 3.: Relazione ra lo spero di un segnale periodico e lo spero della replica fondamenale x T ( esraa da x(. Lo spero X d (f con la variabile frequenza normalizzaa è mosrao in figura 3.. Dall osservazione della coppia DTFT-IDTFT, si noi che esise una relazione precisa ra la rasformaa di Fourier X(f a del segnale x( e la rasformaa X d (f a del segnale campionao x d (kt c. Rispeando il eorema del campionameno, si vede che X(f a =T c X d (f f fa/fc, f a [ f c /; f c /], dove si deve sosiuire a f la variabile f a /f c La DTFT di segnali analogici periodici campionai: la DFT La rasformaa di Fourier di un segnale x( analogico periodico (si vedano le figure é pari a: X(f a = T + X T (kf δ(f a kf (3.64 dove T =/f é il periodo del segnale x(, X T (f a =I{x To (} é la rasformaa di Fourier del segnale nel suo periodo fondamenale T (un esempio grafico é mosrao in figura 3.. Queso risulao é una conseguenza del fao che la periodicià in un dominio (nel empo il segnale é periodico conduce ad una discreizzazione nell alro (la rasformaa di Fourier presena uno spero cosiuio da dela di Dirac in frequenza, e viceversa. Per analogia, se X T (f a descrive la DTFT di un periodo x T (n (nell inervallo n =,...,N diun segnale periodico x( campionao con cadenza T c,ladtftx d (f di x(n può essere dedoa dalla versione 49

21 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x ( T campioni x T (nt del segnale x ( c T n=,...,n-, T =N Tc T c nt c (N-T c T X (f T X (F T F =/T B w =/T c f Figura 3.3: Relazione ra la rasformaa di Fourier di un segnale x( periodico campionao e la DTFT. x( n= n= n= n=n- T T c n=n, coincide con n= X (f d k= k=n- k=n, coincide con k= k= F =T /T c B w = f Finesra in frequenza nella quale cadono i campioni della DFT Figura 3.4: Relazione ra i parameri della IDFT. campionaa di X T (f come segue: X d (f = N N k= X T (kf δ(f kf, f [; (3.65 dove F = f /f c = N é la frequenza f normalizzaa rispeo alla frequenza di campionameno f c,en éil periodo espresso in numero di campioni. Si noi la noazione adoaa: F é una frequenza numerica, dunque adimensionaa, menre f é una frequenza analogica misuraa in Hz. La relazione 3.65, i cui parameri in gioco e le relazioni con il periodo T e la cadenza T c di campionameno sono mosrai in figura 3.3, rappresena la rasformaa di Fourier discrea (DFT analizzaa nei paragrafi precedeni nel caso di segnali a empo discreo. In queso coneso, la DFT è saa riproposa per meerla in relazione ai segnali analogici. Si noi che la rasformaa 3.65 fornisce risulai sull inervallo delle frequenze numeriche f [,. La pare delle frequenze negaive di X T (f viene rappresenaa nelle frequenze [.5,. La frequenza f =risula esclusa perchè coincide con il campione nell origine delle frequenze. Si ricordi che lo spero X d (f é periodico a causa del campionameno nel empo. La relazione ra i parameri della DFT di un generico segnale analogico, periodico, campionao è mosraa in figura

22 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai.8.6 x( x p ( Figura 3.5: Effeo della periodicizzazione di un generico segnale x( La DFT di segnali analogici aperiodici campionai Le equazioni mosrano la relazione ra lo spero di un segnale analogico campionao e gli operaori DTFT e IDTFT, inrodoi per l analisi in frequenza di segnali a empo discreo. Quese due relazioni non sono implemenabili su di un calcolaore per due ragioni: la variabile f è coninua e la sommaoria è esesa su un numero infinio di coefficieni k. Quese considerazioni comporano che, in generale, la DTFT non possa essere impiegaa per l analisi in frequenza di segnali analogici campionai. E necessario rovare una relazione che ci permea di condurre l analisi frequenziale di segnali analogici aperiodici su di un calcolaore, discreizzando la variabile f e limiando l inervallo dei valori k su cui la sommaoria 3.6 è eseguia. Inuiivamene, ci aspeiamo che: il campionameno con cadenza T c del segnale analogico x( ci permee di oenere un segnale a empo discreo x(kt c, ma lo spero del segnale campionao divena periodico e coninuo della frequenza coninua f a ; la discreizzazione della variabile coninua f a compora la nascia di un segnale periodico nel empo, dominio, queso, in cui il segnale è sao discreizzao. In sosanza, qualunque relazione discrea che leghi un segnale nel dominio del empo ed il suo spero nel dominio della frequenza è una espressione che lega segnali periodici e discrei in enrambi i domini. La formula cercaa si chiama formula di Poisson. Vediamo come ricavarla. Si consideri un generico segnale x( con spero X(f a e si cosruisca una relaiva versione periodicizzaa, di periodo,comesegue: x p ( = x( n (3.66 Un esempio grafico dell operazione di periodicizzazione è riporao in figura 3.5, dove il segnale x( = sin(πfx πf x, con f x = 5 Hz, è sao periodicizzao con un periodo =6s per oenere il segnale x p (. Se il segnale x( di parenza presena delle disconinuià di prima specie, allora deve essere regolarizzao in modo ale da assegnarne il valor medio che assume in ogni disconinuià. A iolo di esempio, si immagini che x( preseni una disconinuià di prima specie nel puno o. La regolarizzazione ha luogo ponendo: x( o = lim + x( + lim o x( o (3.67 La ragione della regolarizzazione risiede nel fao che sia la serie, sia la rasformaa di Fourier convergono uniformemene alle versioni regolarizzae delle funzioni con disconinuià di prima specie. 5

23 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x( x( o o Figura 3.6: Regolarizzazione di un generico segnale x( che preseni una disconinuià di prima specie nell isane = o. Ricordando che un generico segnale x p ( periodico può anche essere espresso come la ripeizione periodica del segnale x( nel suo periodo fondamenale mediane la convoluzione con un reno di dela di Dirac equispaziae di, è possibile scrivere: x p ( =x( δ( n = x( δ( n = x( n (3.68 Si noi, uavia, che, in generale, x p ( x(, [, ]. Quesa siuazione è chiaramene mosraa nella figura 3.5 dove la funzione x p (, oenua dalla periodicizzazione di x( = sin(πfx πf x, risene della sovrapposizione delle code della funzione sin(πfx πf x. L uguaglianza si verifica se e solo se x( =per ogni eserno all inervallo base [, ]. Impiegando la relazione: l equazione 3.68 può essere riscria come: x p ( = x( δ( n = + e j π To n = Risolvendo la convoluzione lineare ra x( e e j π To n si oiene: x( e j π To n = + x(τe j π To n( τ dτ = e j π To n + e j π To n ( x( e j π To n (3.7 ( π j x(τe To nτ dτ = e j π n To n X (3.7 Sosiuendo l equazione 3.7 in 3.7, si oiene l equazione di Poisson: x p ( = x( n = + ( n X e j π To n (3.7 Se si scambia la variabile empo con la variabile frequenza nell ineno di scrivere la versione periodicizzaa della spero X(f del segnale x(, si oiene una formula analoga: X p (f a = X (f a nb w =T w + x (nt w e jπtwnfa (3.73 dove B w = T w è il periodo di ripeizione dello spero X(f a. Le due equazioni non sono ancora implemenabili su un calcolaore perchè le variabili empo e frequenza, e f a, sono coninue. Vediamo come discreizzare le due variabili. Si consideri il segnale x p ( nel periodo fondamenale, e si discreizzi l asse dei empi in N parizioni come mosrao in figura 3.7. Con quesa scela si verifica facilmene che = NT c. L equazione 3.7, coninua nella variabile, può essere riscria impiegando la relazione k = kt c come segue: x p ( k =x p (kt c = X ( n e j π To nktc = 5 ( n X e j π N nk (3.74

24 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x ( p campioni x p(nt c del segnale x p( n=,...,n-, T =N Tc T c nt c (N-T c T Figura 3.7: Discreizzazione dell asse dei empi nel periodo fondamenale del segnale x p (. Scomponendo la sommaoria su n =,...,+ in infinie sommaorie, ognuna conenene N ermini, si oiene: pn+n ( n x p (kt c = X e j π N nk (3.75 p= n=pn Effeuando il cambio di variabile r = n pn, si oiene: x p (kt c = N p= r= X ( r + pn e j π N (r+pnk (3.76 Con qualche passaggio maemaico si dimosra che e j π N (r+pnk = e j π N rk e j π N pnk = e j π N rk e jπpk = e j π N rk.con quesa sosiuzione, l equazione 3.76 divena: x p (kt c = N r= e j π N rk p= X ( r + pn = N r= e j π N rk p= ( r X + pn (3.77 Ponendo N = B w, si oiene: x p (kt c = N r= e j π N rk p= ( r X + pb w (3.78 dalla quale si noa facilmene che la funzione ( + p= r X + pb w rappresena una versione periodicizzaa ( r con periodo B w dello spero X(f. Con la sosiuzione X d = ( + p= r X + pb w, si oiene: x p (kt c = N r= X d ( r e j π N rk, k =,...,N (3.79 Quesa relazione è chiaramene implemenabile su di un calcolaore perchè la frequenza è discrea e la sommaoria è condoa su un numero finio, N, diermini. Considerando la versione regolarizzaa dello spero X(f, in modo analogo a quano ricavao per x p (kt c, si oiene la relazione inversa: X d ( r = N N k= Riporiamo di seguio alcune osservazioni imporani. x p (kt c e j π N rk, r =,...,N (3.8 Le equazioni 3.79 e 3.8 rappresenano, rispeivamene, la DFT e la IDFT dei segnali x p ( e X d (f a, versioni periodicizzae dei segnali che effeivamene si desiderano analizzare in frequenza in una siuazione praica. Le due definizioni di DFT e IDFT richiedono che i campioni dei segnali x p ( e X d (f a siano sceli sul range,...,n. Inolre, l elaborazione della DFT (oppure della IDFT è indipendene dalla frequenza 53

25 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai x ( p x (kt p c k=,...,n-, T =N Tc T c kt c (N-T c T X(f a X d(f a =f /N c f / c asse delle frequenze analogiche /T a B w =/T c asse delle frequenze numeriche f / N- N N indici della DFT/IDFT N/ k,r N- inervallo su cui la DFT e la IDFT resiuiscono i campioni f Figura 3.8: Scela dei parameri della DFT applicaa su segnali analogici. di campionameno f c =/T c. Tuavia, se un segnale analogico x( è campionao ad una frequenza f c, il suo spero risula periodico di f c. Nelle formule precedeni, risula quindi B w = f c. Lo spero idenificao dalla DFT risula, dunque, un periodo di N campioni, a parire dall origine, di queso spero periodico. Volendo analizzare lo spero fornio dalla DFT in ermini delle frequenze analogiche, allora la corrispondenza è f a = k N f c,, k =,...,N. Il passo in frequenza risula fc N. Per la periodicià dello spero, le componeni di X d (f a che cadono sulle frequenze negaive saranno rappresenae nell inervallo f c / f c fc N. Inolre, per segnali reali, quese componeni mosrano la proprieà di coniugazione simmerica rispeo a quelli che cadono nell inervallo f c / fc N. In generale, sia x p (, siax d (f a sono delle versioni con aliasing dei segnali x( e X(f a. Queso accade se x( anche per isani [ di empo ] al di fuori dell inervallo [, ], e se il suo spero non è sreamene limiao all inervallo fc, + fc. Si noi che ques ulima siuazione è già saa discussa in merio al eorema del campionameno. Tuavia, nella praica, i segnali di ineresse hanno una duraa sreamene limiaa ad un cero inervallo di empo genericamene indicao con, menre i relaivi speri hanno una banda generalmene limiaa ad una frequenza paricolare B x. L aliasing nel empo e nella frequenza risulano conenui solo qualora si verifichino le condizioni appena espose. In ui gli alri casi, l analisi in frequenza condoa araverso la DFT/IDFT coinvolge versioni con aliasing dei segnali che realmene s inendono analizzare. L effeo dell aliasing può essere miigao scegliendo in modo opporuno i parameri della DFT. Uno schema di principio nel quale sono evidenziae le relazioni ra i parameri della DFT è riporao in figura 3.8. Le considerazioni dedoe in precedenza, ci permeono di enunciare delle semplici ecniche per l analisi in frequenza di segnali non periodici. I parameri della DFT sono: : inervallo di osservazione del segnale x( nel dominio del empo. T c : inervallo di campionameno del segnale x( nel dominio del empo. T c e sono legai dalla relazione N T c =. 54

26 3.3 Analisi in Frequenza di segnali analogici campionai.8.6 x( X(f a f a Figura 3.9: Andameno del segnale x( =e u( e del suo spero. B w : inervallo di ripeizione dello spero X(f a. Queso paramero è legao al passo di campionameno T c araverso la relazione B w = T c. f = : risoluzione della DFT in frequenza. Queso paramero è legao all inervallo di osservazione araverso la relazione f =. E chiaro, dunque, che i parameri liberi della DFT sono 3, in quano gli alri sono legai da semplici relazioni maemaiche. Esempio 3.7 si desidera valuare la DFT di un segnale x(, aperiodico, di duraa T s noa conenendo il più possibile l effeo dell aliasing in frequenza. Soluzione: dal momeno che il segnale è di duraa finia e noa, appare logico fissare = T s. Si raa di scegliere il numero di campioni N da esrarre dal segnale in modo da eviare l aliasing in frequenza (N, infai, è legao a T c equindiab w, il periodo di ripeizione dello spero in frequenza. Se si possedesse una sima del conenuo sperale del segnale, si porebbe scegliere B w =B x, dove B x è la massima frequenza olre la quale lo spero X(f a può essere ragionevolmene supposo nullo. Noo B w,sicalcolat c = B w e quindi N = To T c. Se non si conoscesse B x, allora se ne porebbe oenere una sima andandola a valuare come l inervallo di frequenze nel quale è conenua una buona percenuale dell energia del segnale, diciamo il 95 99%. Un discorso analogo, ma a ruoli inverii, porebbe essere seguio qualora si fosse a conoscenza del conenuo sperale B x del segnale, piuoso che della sua duraa emporale. E chiaro che se dalla valuazione della DFT ci si accorge di un elevao effeo dell aliasing in frequenza, allora bisognerebbe ridurre il passo di campionameno T c e ripeere i calcoli. Inolre, per moivi di complessià compuazionale, è meglio scegliere un valore di N chesiaunapoenzadel. Esempio 3.8 si desidera valuare la DFT del segnale x( =e u( conenendo al meglio l effeo dell aliasing in frequenza. 55

Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria

Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria Universià di Napoli Parenope Facolà di Ingegneria Corso di Comunicazioni Elerice docene: Prof. Vio Pascazio a Lezione: 7/04/003 Sommario Caraerizzazione energeica di processi aleaori Processi aleaori nel

Dettagli

Media Mobile di ampiezza k (k pari) Esempio: Vendite mensili di shampoo

Media Mobile di ampiezza k (k pari) Esempio: Vendite mensili di shampoo Media Mobile di ampiezza k (k pari) Esempio: Vendie mensili di shampoo Mese y 1 266,0 2 145,9 3 183,1 4 119,3 5 180,3 6 168,5 7 231,8 8 224,5 9 192,8 10 122,9 11 336,5 12 185,9 1 194,3 2 149,5 3 210,1

Dettagli

V AK. Fig.1 Caratteristica del Diodo

V AK. Fig.1 Caratteristica del Diodo 1 Raddrizzaore - Generalià I circuii raddrizzaori uilizzano componeni come i Diodi che presenano la caraerisica di unidirezionalià, cioè permeono il passaggio della correne solo in un verso. In figura

Dettagli

velocità angolare o pulsazione (gradi /s oppure rad/s) (angolo percorso da V in un intervallo di tempo)

velocità angolare o pulsazione (gradi /s oppure rad/s) (angolo percorso da V in un intervallo di tempo) V A = AMPIEZZA = lunghezza di V A ALTERNATA Proiezione di V X ISTANTE = velocià angolare o pulsazione (gradi /s oppure rad/s) (angolo percorso da V in un inervallo di empo) DEVE ESSERE COSTANTE Angolo

Dettagli

Struttura dei tassi per scadenza

Struttura dei tassi per scadenza Sruura dei assi per scadenza /45-Unià 7. Definizione del modello ramie gli -coupon bonds preseni sul mercao Ipoesi di parenza Sul mercao sono preseni all isane ZCB che scadono fra,2,,n periodi Periodo:

Dettagli

VALORE EFFICACE DEL VOLTAGGIO

VALORE EFFICACE DEL VOLTAGGIO Fisica generale, a.a. /4 TUTOATO 8: ALO EFFC &CCUT N A.C. ALOE EFFCE DEL OLTAGGO 8.. La leura con un mulimero digiale del volaggio ai morsei di un generaore fornisce + in coninua e 5.5 in alernaa. Tra

Dettagli

2. Politiche di gestione delle scorte

2. Politiche di gestione delle scorte deerminisica variabile nel empo Quando la domanda viaria nel empo, il problema della gesione dell invenario divena preamene dinamico. e viene deo di lo-sizing. Consideriamo il caso in cui la domanda pur

Dettagli

Trasformata di Fourier (1/7)

Trasformata di Fourier (1/7) 1 rasormaa di Fourier (1/7 + De: Un segnale x( è impulsivo se x ( d < + F : + j X( x( e π d F{ x( }, < < + F -1 + jπ 1 : x( X( e d F { X( }, < < + X( è una rappresenazione di x( nel dominio della requenza

Dettagli

Osservabilità (1 parte)

Osservabilità (1 parte) eoria dei sisemi - Capiolo 9 sservabilià ( pare) Inroduzione al problema della osservabilià: osservazione e ricosruzione. Sai indisinguibili e sai non osservabili...3 Soospazi di osservabilià e non osservabilià

Dettagli

Lezione n.7. Variabili di stato

Lezione n.7. Variabili di stato Lezione n.7 Variabili di sao 1. Variabili di sao 2. Funzione impulsiva di Dirac 3. Generaori impulsivi per variabili di sao disconinue 3.1 ondizioni iniziali e generaori impulsivi In quesa lezione inrodurremo

Dettagli

La trasformata Zeta. Marco Marcon

La trasformata Zeta. Marco Marcon La trasformata Zeta Marco Marcon ENS Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione

Dettagli

METODI DECISIONALI PER L'AZIENDA. www.lvproject.com. Dott. Lotti Nevio

METODI DECISIONALI PER L'AZIENDA. www.lvproject.com. Dott. Lotti Nevio METODI DECISIONALI PER L'AZIENDA www.lvprojec.com Do. Loi Nevio Generalià sui sisemi dinamici. Variabili di sao, di ingresso, di uscia. Sisemi discrei. Sisemi lineari. Paper: Dynamic Modelling Do. Loi

Dettagli

ITI GALILEO FERRARIS S. GIOVANNI LA PUNTA APPUNTI DI TELECOMUNICAZIONI PER IL 5 ANNO IND. ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI

ITI GALILEO FERRARIS S. GIOVANNI LA PUNTA APPUNTI DI TELECOMUNICAZIONI PER IL 5 ANNO IND. ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI ITI GALILEO FERRARIS S. GIOVANNI LA PUNTA APPUNTI DI TELECOMUNICAZIONI PER IL 5 ANNO IND. ELETTRONICA E TELECOMUNICAZIONI Prof. Ing. R. M. Poro A cura della TELECOMUNICAZIONI Con il ermine elecomunicazioni

Dettagli

RISPOSTA NEL DOMINIO DEL TEMPO

RISPOSTA NEL DOMINIO DEL TEMPO RISPOSTA NEL DOMINIO DEL TEMPO Nel dominio del empo le variabili sono esaminae secondo la loro evoluzione emporale. Normalmene si esamina la risposa del sisema a un segnale di prova canonico, cioè si sollecia

Dettagli

Operazioni finanziarie. Operazioni finanziarie

Operazioni finanziarie. Operazioni finanziarie Operazioni finanziarie Una operazione finanziaria è uno scambio di flussi finanziari disponibili in isani di empo differeni. Disinguiamo ra: operazioni finanziarie in condizioni di cerezza, quando ui gli

Dettagli

Moltiplicazione di segnali lineari

Moltiplicazione di segnali lineari Moliplicazione di segnali lineari Processo non lineare: x ( x ( x ( Meodologia uilizzaa per: Campionameno ed acquisizione dai Processi di comunicazione (modulazione Abbiamo viso con il campionameno dei

Dettagli

Esercizi svolti di teoria dei segnali

Esercizi svolti di teoria dei segnali Esercizi svoli di eoria dei segnali Alessia De Rosa Mauro Barni Novembre Indice Inroduzione ii Caraerisiche dei segnali deerminai Sviluppo in Serie di Fourier di segnali periodici Trasformaa di Fourier

Dettagli

APPUNTI DI ANALISI DEI SEGNALI DAVIDE BASSI

APPUNTI DI ANALISI DEI SEGNALI DAVIDE BASSI UNIVERIÀ DEGLI UDI DI RENO FACOLÀ DI CIENZE MAEMAICHE, FIICHE E NAURALI CORO DI LAUREA IN FIICA APPLICAA DAVIDE BAI APPUNI DI ANALII DEI EGNALI Indice Risposa impulsionale dei sisemi lineari -. isemi lineari

Dettagli

ESEMPI DI ESERCIZI SU IRPEF ED IRES

ESEMPI DI ESERCIZI SU IRPEF ED IRES ESEMPI DI ESERCIZI SU IRPEF ED IRES 1. Irpef 1) Dopo avere definio il conceo di progressivià delle impose, si indichino le modalià per la realizzazione di un sisema di impose progressivo. 2) Il signor

Dettagli

USO DELL OSCILLOSCOPIO

USO DELL OSCILLOSCOPIO Con la collaborazione dell alunno Carlo Federico della classe IV sez. A Indirizzo Informaica Sperimenazione ABACUS Dell Isiuo Tecnico Indusriale Saele A. Monaco di Cosenza Anno scolasico 009-010 Prof.

Dettagli

Nome..Cognome. classe 3D 26 Gennaio 2013. Verifica: Parabola e circonferenza

Nome..Cognome. classe 3D 26 Gennaio 2013. Verifica: Parabola e circonferenza Nome..Cognome. classe D Gennaio 0 erifica: Parabola e circonferenza. Dai la definizione di parabola. Considera la parabola di fuoco F(,) e direrice r:, deermina: a) l equazione dell asse b) le coordinae

Dettagli

del segnale elettrico trifase

del segnale elettrico trifase Rappresenazione del segnale elerico rifase Gli analizzaori di poenza e di energia Qualisar+ consenono di visualizzare isananeamene le caraerisiche di una ree elerica rifase. Rappresenazione emporale I

Dettagli

Fisica Generale Modulo di Fisica II A.A. 2014-15 Esercitazione 7 CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE

Fisica Generale Modulo di Fisica II A.A. 2014-15 Esercitazione 7 CIRCUITI IN REGIME SINUSOIDALE Fisica Generale Modulo di Fisica II A.A. 4-5 Eserciazione 7 CICUII IN EGIME SINUSOIDALE Fa. Un generaore di correne alernaa con volaggio massimo di 4 e frequenza di 5 Hz è collegao a una resisenza 65 Ω.

Dettagli

MATEMATICA FINANZIARIA A.A. 2007 2008 Prova dell 8 febbraio 2008. Esercizio 1 (6 punti)

MATEMATICA FINANZIARIA A.A. 2007 2008 Prova dell 8 febbraio 2008. Esercizio 1 (6 punti) MATEMATICA FINANZIARIA A.A. 007 008 Prova dell 8 febbraio 008 Nome Cognome Maricola Esercizio (6 puni) La vendia raeale di un bene di valore 000 prevede il pagameno di rae mensili posicipae cosani calcolae

Dettagli

Lezione 10. (BAG cap. 9) Corso di Macroeconomia Prof. Guido Ascari, Università di Pavia

Lezione 10. (BAG cap. 9) Corso di Macroeconomia Prof. Guido Ascari, Università di Pavia Lezione 10 (BAG cap. 9) Il asso naurale di disoccupazione e la curva di Phillips Corso di Macroeconomia Prof. Guido Ascari, Universià di Pavia In queso capiolo Inrodurremo uno degli oggei più conosciui

Dettagli

Lezione n.12. Gerarchia di memoria

Lezione n.12. Gerarchia di memoria Lezione n.2 Gerarchia di memoria Sommario: Conceo di gerarchia Principio di localià Definizione di hi raio e miss raio La gerarchia di memoria Il sisema di memoria è molo criico per le presazioni del calcolaore.

Dettagli

Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria

Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria Universià di Napoi Parhenope Facoà di Ingegneria Corso di Comunicazioni Eeriche docene: Pro. Vio Pascazio 14 a Lezione: 8/5/3 Sommario Fasori Segnai passabanda Trasmissione di segnai passabanda in sisemi

Dettagli

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Corso di Fondameni di elecomunicazioni - SEGNALI E SPERI Prof. Mario Barbera [pare ] Sruura della lezione Proprieà dei segnali Valore medio, valore efficace, poenza, energia rasformaa di Fourier e speri

Dettagli

INTRODUZIONE AI SEGNALI. Fondamenti Segnali e Trasmissione

INTRODUZIONE AI SEGNALI. Fondamenti Segnali e Trasmissione INTRODUZIONE AI SEGNALI Classiicazione dei segnali ( I segnali rappresenano il comporameno di grandezze isiche (ad es. ensioni, emperaure, pressioni,... in unzione di una o piu variabili indipendeni (ad

Dettagli

L ipotesi di rendimenti costanti di scala permette di scrivere la (1) in forma intensiva. Ponendo infatti c = 1/L, possiamo scrivere

L ipotesi di rendimenti costanti di scala permette di scrivere la (1) in forma intensiva. Ponendo infatti c = 1/L, possiamo scrivere DIPRTIMENTO DI SCIENZE POLITICHE Modello di Solow (1) 1 a. a. 2015-2016 ppuni dalle lezioni. Uso riservao Maurizio Zenezini Consideriamo un economia (chiusa e senza inerveno dello sao) in cui viene prodoo

Dettagli

Sviluppare una metodologia di analisi per valutare la convenienza economica di un nuovo investimento, tenendo conto di alcuni fattori rilevanti:

Sviluppare una metodologia di analisi per valutare la convenienza economica di un nuovo investimento, tenendo conto di alcuni fattori rilevanti: Analisi degli Invesimeni Obieivo: Sviluppare una meodologia di analisi per valuare la convenienza economica di un nuovo invesimeno, enendo cono di alcuni faori rilevani: 1. Dimensione emporale. 2. Grado

Dettagli

tp = 0 P + t r a 0 P Il modello di crescita aritmetico deriva dalla logica del tasso di interesse semplice

tp = 0 P + t r a 0 P Il modello di crescita aritmetico deriva dalla logica del tasso di interesse semplice Eserciazione 7: Modelli di crescia: arimeica, geomerica, esponenziale. Calcolo del asso di crescia e del empo di raddoppio. Popolazione sabile e sazionaria. Viviana Amai 03/06/200 Modelli di crescia Nella

Dettagli

A.A. 2013/14 Esercitazione - IRPEF TESTO E SOLUZIONI

A.A. 2013/14 Esercitazione - IRPEF TESTO E SOLUZIONI A.A. 2013/14 Eserciazione - IRPEF TESTO E SOLUZIONI Esercizio 1 - IRPEF Il signor X, che vive solo e non ha figli, ha percepio, nel corso dell anno correne, i segueni reddii: - Reddii da lavoro dipendene

Dettagli

SEGNALI E SISTEMI (a.a ) Prof. M. Pavon Esercizi risolti 6 Attenzione: u(t) = 1l(t)

SEGNALI E SISTEMI (a.a ) Prof. M. Pavon Esercizi risolti 6 Attenzione: u(t) = 1l(t) SEGNALI E SISTEMI (a.a. 9-) Prof. M. Pavon Esercizi risoli 6 Aenzione: u() = l(). Si deermini il periodo fondamenale T e i coefficieni di Fourier a k del segnale a empo coninuo sen + 4 cos + cos(6 π 4

Dettagli

Teoria dei Segnali. La Convoluzione (esercizi) parte prima

Teoria dei Segnali. La Convoluzione (esercizi) parte prima Teoria dei Segnali La Convoluzione (esercizi) pare prima 1 Si ricorda che la convoluzione ra due segnali x() e y(), reali o complessi, indicaa simbolicamene come: C xy () = x() * y() è daa indifferenemene

Dettagli

La programmazione aggregata nella supply chain. La programmazione aggregata nella supply chain 1

La programmazione aggregata nella supply chain. La programmazione aggregata nella supply chain 1 La programmazione aggregaa nella supply chain La programmazione aggregaa nella supply chain 1 Linea guida Il ruolo della programmazione aggregaa nella supply chain Il problema della programmazione aggregaa

Dettagli

Economia e gestione delle imprese - 07. Sommario. Liquidità e solvibilità

Economia e gestione delle imprese - 07. Sommario. Liquidità e solvibilità Economia e gesione delle imprese - 07 Obieivi: Descrivere i processi operaivi della gesione finanziaria nel coneso aziendale. Analizzare le decisioni di invesimeno. Analizzare le decisioni di finanziameno.

Dettagli

I confronti alla base della conoscenza

I confronti alla base della conoscenza I confroni alla ase della conoscenza Un dao uaniaivo rae significao dal confrono con alri dai Il confrono è la prima e più immediaa forma di analisi dei dai I confroni Daa una grandezza G, due suoi valori

Dettagli

La vischiosità dei depositi a vista durante la recente crisi finanziaria: implicazioni in una prospettiva di risk management

La vischiosità dei depositi a vista durante la recente crisi finanziaria: implicazioni in una prospettiva di risk management La vischiosià dei deposii a visa durane la recene crisi finanziaria: implicazioni in una prospeiva di risk managemen Igor Gianfrancesco Camillo Gilibero 31/01/1999 31/07/1999 31/01/2000 31/07/2000 31/01/2001

Dettagli

Dai segnali analogici a quelli numerici

Dai segnali analogici a quelli numerici Appuni di eoria dei Segnali a.a. 200/20 L.Verdoliva In queso capiolo descriveremo i passi che subisce un segnale analogico quando viene discreizzao per oenere un segnale numerico (conversione A/D), e quelle

Dettagli

MODELLI AFFLUSSI DEFLUSSI

MODELLI AFFLUSSI DEFLUSSI MODELLI AFFLUSSI DEFLUSSI Al ecnico si presenano moli casi in cui non è sufficiene la deerminazione delle massime porae ramie i crieri di similiudine idrologica, precedenemene esposi. Si ciano, a iolo

Dettagli

Università degli Studi di Milano-Bicocca - Facoltà di Economia Matematica Generale Modulo B - 15 Luglio 2003. Soluzione

Università degli Studi di Milano-Bicocca - Facoltà di Economia Matematica Generale Modulo B - 15 Luglio 2003. Soluzione Universià degli Sudi di Milano-Bicocca - Facolà di Economia Maemaica Generale Modulo B - 5 Luglio 00 Eserciio. Dare la definiione di rango di una marice. Enunciare il Teorema di Rouchè-Capelli., verifi-

Dettagli

Esercizi di Matematica Finanziaria

Esercizi di Matematica Finanziaria Esercizi di Maemaica Finanziaria Copyrigh SDA Bocconi Faori nanziari Classi care e rappresenare gra camene i segueni faori nanziari per : (a) = + ; 8 (b) = ( + ; ) (c) = (d) () = ; (e) () = ( + ; ) (f)

Dettagli

Pianificazione di traiettorie nello spazio cartesiano

Pianificazione di traiettorie nello spazio cartesiano Corso di Roboica 1 Pianificazione di raieorie nello spazio caresiano Prof. Alessandro De Luca Roboica 1 1 Traieorie nello spazio caresiano le ecniche di pianificazione nello spazio dei giuni si possono

Dettagli

flusso in uscita (FU) Impresa flusso in entrata (FE)

flusso in uscita (FU) Impresa flusso in entrata (FE) Analisi degli invesimeni Il bilancio è una sinesi a poseriori della siuazione di un'azienda. La valuazione degli invesimeni è un enaivo di valuare a priori la validià delle scele dell'azienda. L'invesimeno

Dettagli

Soluzione degli esercizi del Capitolo 2

Soluzione degli esercizi del Capitolo 2 Sisemi di auomazione indusriale - C. Boniveno, L. Genili, A. Paoli 1 degli esercizi del Capiolo 2 dell Esercizio E2.1 Il faore di uilizzazione per i processi in esame è U = 8 16 + 12 48 + 6 24 = 1. L algorimo

Dettagli

RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI 1 Fondameni di segnali Fondameni e rasmissione TLC Inroduzione Se il segnale d ingresso di un sisema Lineare Tempo-Invariane LTI e un esponenziale

Dettagli

Lezione 11. Inflazione, produzione e crescita della moneta

Lezione 11. Inflazione, produzione e crescita della moneta Lezione 11 (BAG cap. 10) Inflazione, produzione e crescia della monea Corso di Macroeconomia Prof. Guido Ascari, Universià di Pavia Tre relazioni ra produzione, disoccupazione e inflazione Legge di Okun

Dettagli

Conversione Analogico-Digitale

Conversione Analogico-Digitale Capiolo 4 Conversione Analogico-Digiale I segnali del mondo reale sono analogici, menre un elaboraore digiale è in grado di memorizzare e raare esclusivamene sequenze finie di bi. Per raare con ecniche

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO SIMULAZIONE DELLA II PROVA A.S. 014-15 Indirizzo: SCIENTIFICO Tema di: MATEMATICA 1 Nome del candidao Classe Il candidao risolva uno dei due problemi; il problema da

Dettagli

A. Quantità edificatorie e densità territoriale...1

A. Quantità edificatorie e densità territoriale...1 Cara di Urbanisica I Pro.ssa Arch. Fabiola Fraini Cara di Urbanisica I --- a.a. 2003/2004 PROGETTO PER UN AMBITO URBANO NEL QUARTIERE DI CENTOCELLE Laboraorio progeuale annuale INDICAZIONI RIGUARDO LE

Dettagli

LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI. 1 Fondamenti TLC

LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI. 1 Fondamenti TLC LA TRASFORMATA DI FOURIER: PROPRIETA ED ESEMPI Fondameni TLC Propriea della () LINEARITA : la della combinazione lineare (somma pesaa) di due segnali e uguale alla combinazione lineare delle dei due segnali.

Dettagli

Si analizza la lavorazione attuale per ricavare dati sulla durata utensile. A questo scopo si utilizza la legge di Taylor:

Si analizza la lavorazione attuale per ricavare dati sulla durata utensile. A questo scopo si utilizza la legge di Taylor: Esercizio D2.1 Torniura cilindrica eserna Un ornio parallelo è arezzao con uensili in carburo e viene uilizzao per la sgrossaura di barre in C40 da Φ 32 a Φ 28. Con un rapporo di velocià corrispondene

Dettagli

4 La riserva matematica

4 La riserva matematica 4 La riserva maemaica 4.1 Inroduzione La polizza, come si è viso, viene cosruia in modo da essere in equilibrio auariale alla daa di sipula = 0 e rispeo alla base ecnica del I ordine: se X è il flusso

Dettagli

Trasformazioni di Galileo

Trasformazioni di Galileo Principio di Relaivià Risrea (peciale) e si sceglie un dr rispeo al uale le leggi della fisica sono scrie nella forma più semplice (dr ineriale) allora le sesse leggi valgono in ualunue alro dr in moo

Dettagli

Cinematica moto armonico. Appunti di Fisica. Prof. Calogero Contrino

Cinematica moto armonico. Appunti di Fisica. Prof. Calogero Contrino 2006 Cinemaica moo armonico Appuni di Fisica Prof. Calogero Conrino : definizione Il moo di un puno maeriale P è deo armonico se soddisfa le segueni condizioni: La raieoria è un segmeno. Le posizioni occupae

Dettagli

Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione. 1 e prende il nome frequenza di

Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione. 1 e prende il nome frequenza di Il Campionameto dei segnali e la loro rappresentazione Il campionamento consente, partendo da un segnale a tempo continuo ovvero che fluisce con continuità nel tempo, di ottenere un segnale a tempo discreto,

Dettagli

intervalli di tempo. Esempio di sistema oscillante: Fig. 1 Massa m che può traslare in una sola direzione x, legata ad una molla di rigidezza k.

intervalli di tempo. Esempio di sistema oscillante: Fig. 1 Massa m che può traslare in una sola direzione x, legata ad una molla di rigidezza k. Sudio delle vibrazioni raa ogni oscillazione di una grandezza inorno ad una posizione di equilibrio. La forma piu semplice di oscillazione e il moo armonico che puo i essere descrio da un veore roane Ae

Dettagli

La previsione della domanda nella supply chain

La previsione della domanda nella supply chain La previsione della domanda nella supply chain La previsione della domanda 1 Linea guida Il ruolo della prerevisione nella supply chain Le caraerisiche della previsione Le componeni della previsione ed

Dettagli

Distribuzione Weibull

Distribuzione Weibull Disribuzione Weibull f() 6.6.4...8.6.4. 5 5 5 3 Disribuzione di Weibull Una variabile T ha disribuzione di Weibull di parameri α> β> se la sua densià di probabilià è scria nella forma: f ( ) exp da cui

Dettagli

Svolgimento. Applicando la formula di Eulero. x(t) = e ( 1+j20)t 2j = 2je t ( cos 20t + j sin 20t) = 2e t (j cos 20t sin 20t) quindi

Svolgimento. Applicando la formula di Eulero. x(t) = e ( 1+j20)t 2j = 2je t ( cos 20t + j sin 20t) = 2e t (j cos 20t sin 20t) quindi SEGNALI E SISTEMI (a.a. 9-) Prof. M. Pavon Esercizi risoli. Si esprima la pare reale di x() = e ( +j) j, R nella forma Ae a cos(ω + ϕ) con A, a, ω, φ reali con A > e π < φ π. Svolgimeno. Applicando la

Dettagli

Esercitazione n 2. Morganti Nicola Matr. 642686. Molla ad elica cicilindrica

Esercitazione n 2. Morganti Nicola Matr. 642686. Molla ad elica cicilindrica ar. 64686 olla ad elica cicilindrica Eserciazione n 9 In figura è rappresenao un basameno sospeso anivibrane di una macchina nella quale viene originaa una forza perurbane alernaa sinusoidale di inensià

Dettagli

*5$1'(==(3(5,2',&+( W GW

*5$1'(==(3(5,2',&+( W GW *51'((3(5'&+( 3UQFSDOGQ]RQ Una grandezza empodipendene D) si definisce SURGFD quando ad uguali inervalli T assume valori uguali cioè quando vale la relazione (con n inero qualsiasi): ( ) D( Q) D + (1)

Dettagli

ESERCIZI di TEORIA dei SEGNALI. La Correlazione

ESERCIZI di TEORIA dei SEGNALI. La Correlazione ESERCIZI di TEORI dei SEGNLI La Correlazione Correlazione Si definisce correlazione (o correlazione incrociaa o cross-correlazione) ra i due segnali di energia, in generale complessi, x() e y() la quanià:

Dettagli

Corso di Comunicazioni Elettriche. 2 RICHIAMI DI TEORIA DEI SEGNALI Prof. Giovanni Schembra TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI

Corso di Comunicazioni Elettriche. 2 RICHIAMI DI TEORIA DEI SEGNALI Prof. Giovanni Schembra TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI Corso di Comunicazioni Eleriche RICHIAMI DI TEORIA DEI SEGNALI Pro. Giovanni Schembra Richiami di Teoria dei segnali TEORIA DEI SEGNALI DETERMINATI Richiami di Teoria dei segnali Valori caraerisici di

Dettagli

La risposta di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà sollecitato da carichi impulsivi. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

La risposta di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà sollecitato da carichi impulsivi. Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1 La risposa di un sisema lineare viscoso a un grado di liberà solleciao da carichi impulsivi Prof. Adolfo Sanini - Dinamica delle Sruure 1 Inroduzione 1/2 Un carico p() si definisce impulsivo quando agisce

Dettagli

TRASFORMAZIONE DEI SEGNALI. Lineari (tra cui il Filtraggio) Non Lineari

TRASFORMAZIONE DEI SEGNALI. Lineari (tra cui il Filtraggio) Non Lineari TRASFORMAZIONE DEI SEGNALI SENZA MEMORIA: ZMNL (Zero-Memory Non Lineariy) g x( ) y = CON MEMORIA: Lineari (ra cui il Filraggio) Non Lineari L5/1 TRASFORMAZIONI SENZA MEMORIA (ISTANTANEE) y Limiazione dura

Dettagli

Titolo unità. Dalla serie alla trasformata di Fourier Proprietà della trasformata di Fourier Uguaglianza di Parseval e principio di indeterminazione

Titolo unità. Dalla serie alla trasformata di Fourier Proprietà della trasformata di Fourier Uguaglianza di Parseval e principio di indeterminazione Inroduzione ai segnali deerminai iolo unià Dalla serie alla rasormaa di ourier Proprieà della rasormaa di ourier Uguaglianza di Parseval e principio di indeerminazione 005 Poliecnico di orino 1 Dalla serie

Dettagli

Giorgio Porcu. Appunti di SISTEMI. ITI Elettronica Classe QUINTA

Giorgio Porcu. Appunti di SISTEMI. ITI Elettronica Classe QUINTA Giorgio Porcu Appuni di SSTEM T Eleronica lasse QUNTA Appuni di SSTEM T Eleronica - lasse QUNTA 1. TEORA DE SSTEM SSTEMA ollezione di elemeni che ineragiscono per realizzare un obieivo. l ermine è applicabile

Dettagli

COMPORTAMENTO SISMICO DELLE STRUTTURE

COMPORTAMENTO SISMICO DELLE STRUTTURE COMPORTAMENTO SISMICO DELLE STRUTTURE Durane un erreoo, le oscillazioni del erreno di fondazione provocano nelle sovrasani sruure delle oscillazioni forzae. Quando il erreoo si arresa, i ovieni della sruura

Dettagli

COME RISOLVERE GLI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 2

COME RISOLVERE GLI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 2 COME RISOLVERE GLI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA Ecco una piccola e semplice guida che illusra come risolvere, a grandi linee gli esercii proposi agli esami di Analisi Maemaica (del DM 509/99, cioè successione

Dettagli

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure

Dettagli

Controlli Automatici L

Controlli Automatici L Segnali e rasformae - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Segnali e rasformae DEIS-Universià di Bologna el. 5 93 Email: crossi@deis.unibo.i URL: www-lar.deis.unibo.i/~crossi Segnali e rasformae - Segnali

Dettagli

RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI

RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI RISPOSTA IN FREQUENZA SISTEMI LTI Inroduzione Se il segnale d ingresso di un sisema Lineare Tempo-Invariane LTI e un esponenziale complesso, l

Dettagli

MACCHINE ELETTRICHE. Campo rotante. Stefano Pastore. Dipartimento di Ingegneria e Architettura Corso di Elettrotecnica (IN 043) a.a.

MACCHINE ELETTRICHE. Campo rotante. Stefano Pastore. Dipartimento di Ingegneria e Architettura Corso di Elettrotecnica (IN 043) a.a. MACCINE ELETTRICE Campo roane Sefano Pasore Diparimeno di Ingegneria e Archieura Corso di Eleroecnica (IN 043) a.a. 01-13 Inroduzione campo magneico con inensià ane che ruoa aorno ad un asse con velocià

Dettagli

Terminologia relativa agli aggregati

Terminologia relativa agli aggregati N. 17 I/10 Terminologia relaiva agli aggregai Schede ecniche Edilizia Genio civile 1 Presupposi Con l'inroduzione delle Norme europee (EN) riguardani gli aggregai, la erminologia finora uilizzaa è saa

Dettagli

Processi stocastici. Corso Segnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 2007 Pagina 1 di 33

Processi stocastici. Corso Segnale e Rumore Giorgio Brida Giugno/luglio 2007 Pagina 1 di 33 Processi socasici Inroduzione isemi lineari e sazionari; luuazioni casuali, derive e disurbi; processi socasici sazionari in senso lao, unzione di auocorrelazione e spero di poenza; risposa di un sisema

Dettagli

Il valore delle. Argomenti. Domande chiave. Teoria della Finanza Aziendale Prof. Arturo Capasso A.A. 2005-2006

Il valore delle. Argomenti. Domande chiave. Teoria della Finanza Aziendale Prof. Arturo Capasso A.A. 2005-2006 - 4 Teoria della Finanza Aziendale rof. Aruro Capasso A.A. 5-6 Il valore delle A. azioni ordinarie - Argomeni Rendimeni richiesi rezzi delle azioni e ES Cash Flows e valore economico d impresa - 3 Domande

Dettagli

Salvataggi (dal questionario sui gruppi)

Salvataggi (dal questionario sui gruppi) PAOLO BECHERUCCI www.raid.i Salvaaggi (dal quesionario sui gruppi) Ricordiamoci delle norme sulla Privacy!!! Vengono eseguii dei backup dei dai? regolarmene in modo manuale 46% non regolarmene 3% regolarmene

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni

Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Corso di Fondameni di Teleomuniazioni 6 - SEGNALI IN BANDA ASSANTE E MODULAZIONI rof. Mario Barbera [pare 4] 1 Modulazioni digiali binarie Il segnale m() sia un segnale digiale in banda base, rappresenao

Dettagli

LEZIONE 3 INDICATORI DELLE PRINCIPALI VARIABILI MACROECONOMICHE. Argomenti trattati: definizione e misurazione delle seguenti variabili macroecomiche

LEZIONE 3 INDICATORI DELLE PRINCIPALI VARIABILI MACROECONOMICHE. Argomenti trattati: definizione e misurazione delle seguenti variabili macroecomiche LEZIONE 3 INDICATORI DELLE RINCIALI VARIABILI MACROECONOMICHE Argomeni raai: definizione e misurazione delle segueni variabili macroecomiche Livello generale dei prezzi, Tasso d inflazione, π IL nominale,

Dettagli

SCELTE INTERTEMPORALI E DEBITO PUBBLICO

SCELTE INTERTEMPORALI E DEBITO PUBBLICO SCELTE INTERTEMPORALI E DEBITO PUBBLICO Lo sudio delle poliiche economiche con il modello IS-LM permee di analizzare gli effei di breve periodo delle decisioni di poliica fiscale e monearia del governo.

Dettagli

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE E APPLICAZIONI

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE E APPLICAZIONI CAPITOLO FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE E APPLICAZIONI Sono le funzioni aveni come dominio e codominio dei sooinsiemi dei numeri reali; esse sono alla base dei modelli maemaici preseni in ogni campo

Dettagli

Il condensatore. Carica del condensatore: tempo caratteristico

Il condensatore. Carica del condensatore: tempo caratteristico Il condensaore IASSUNTO: apacia ondensaori a geomeria piana, cilindrica, sferica La cosane dielerica ε r ondensaore ceramico, a cara, eleroliico Il condensaore come elemeno di circuio: ondensaori in serie

Dettagli

Automazione Industriale AA 2002-2003 Prof. Luca Ferrarini

Automazione Industriale AA 2002-2003 Prof. Luca Ferrarini Auomazione Indusriale AA 2002-2003 Prof. Luca Ferrarini Laboraorio 1 Obieivi dell eserciazione Sviluppare modelli per la realizzazione di funzioni di auomazione Comprensione e uilizzo di Ladder Diagrams

Dettagli

La valutazione d azienda: conciliazione tra metodo diretto ed indiretto

La valutazione d azienda: conciliazione tra metodo diretto ed indiretto Valuazione d azienda La valuazione d azienda: conciliazione ra meodo direo ed indireo di Maeo Versiglioni (*) e Filippo Riccardi (**) La meodologia maggiormene uilizzaa per la valuazione d azienda, è quella

Dettagli

INDICE. 1 Introduzione... 69 2 Trasmissione analogica in banda base... 71 3 Trasmissione analogica in banda traslata... 72

INDICE. 1 Introduzione... 69 2 Trasmissione analogica in banda base... 71 3 Trasmissione analogica in banda traslata... 72 INDICE MODULO 1 ELABORAZIONE DEI SEGNALI UNIÀ 1 Nozioni di base di eoria dei segnali... 1 Inroduzione... 3 Segnali deerminai nel dominio del empo... 3.1 Classificazione dei segnali deerminai... 3. Proprieà

Dettagli

RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LTI. 1 Fondamenti Segnali e Trasmissione

RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LTI. 1 Fondamenti Segnali e Trasmissione RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LTI Fondameni Segnali e Trasmissione Risposa in requenza dei sisemi LTI Se il segnale d ingresso di un sisema Lineare Tempo-Invariane LTI e un esponenziale complesso l

Dettagli

POLITECNICO DI MILANO IV FACOLTÀ Ingegneria Aerospaziale Fisica Sperimentale A+B - I Appello 16 Luglio 2007

POLITECNICO DI MILANO IV FACOLTÀ Ingegneria Aerospaziale Fisica Sperimentale A+B - I Appello 16 Luglio 2007 POLIECNICO DI ILNO IV FCOLÀ Ingegneria erospaziale Fisica Sperimenale + - I ppello 6 Luglio 007 Giusificare le rispose e scriere in modo chiaro e leggibile. Sosiuire i alori numerici solo alla fine, dopo

Dettagli

4 Il Canale Radiomobile

4 Il Canale Radiomobile Pare IV G. Reali: Il canale radiomobile 4 Il Canale Radiomobile 4.1 INTRODUZIONE L evoluzione fondamenale nella filisofia di progeo delle rei di comunicazione indoor è il passaggio dalla modalià di rasmissione

Dettagli

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i

x (x i ) (x 1, x 2, x 3 ) dx 1 + f x 2 dx 2 + f x 3 dx i x i NA. Operatore nabla Consideriamo una funzione scalare: f : A R, A R 3 differenziabile, di classe C (2) almeno. Il valore di questa funzione dipende dalle tre variabili: Il suo differenziale si scrive allora:

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Equazioni differenziali 9 dicembre 2015 Si chiamano equazioni differenziali quelle equazioni le cui incognite non sono variabili reali ma funzioni di una o più variabili. Le equazioni differenziali possono

Dettagli

Esercizi di Teoria dei Segnali. La Trasformata di Fourier

Esercizi di Teoria dei Segnali. La Trasformata di Fourier Esercizi di Teoria dei Segnali La Trasformaa di Fourier 1 Esercizio 1 Calcolare la rasformaa di Fourier del segnale di fig. 1.1. x() A B - T/ T/ fig.1.1 Per calcolare la rasformaa di queso segnalesi può

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2

Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza p. 2 Elettronica II Proprietà e applicazioni della trasformata di Fourier; impedenza complessa; risposta in frequenza Valentino Liberali Dipartimento di Tecnologie dell Informazione Università di Milano, 26013

Dettagli

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme

Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme 1. L insieme R. Per lo svolgimento del corso risulta particolarmente utile considerare l insieme R = R {, + }, detto anche retta reale estesa, che si ottiene aggiungendo all insieme dei numeri reali R

Dettagli

Esercizio 1 [punti 4] Si tracci il grafico dei segnali a. x 1 (t) = x( t + 2), t R, b. x 2 (t) = x( t 1), t R, sapendo che x(t) =

Esercizio 1 [punti 4] Si tracci il grafico dei segnali a. x 1 (t) = x( t + 2), t R, b. x 2 (t) = x( t 1), t R, sapendo che x(t) = Esercizio [puni 4] Prova scria di SEGNALI E SISTEMI 5 seembre 2003 Proff. L. Finesso, M. Pavon e S. Pinzoni (a.a. 2002-2003) Teso e Soluzione (redaa da L. Finesso) Si racci il grafico dei segnali a. x

Dettagli

x ( x, x,..., x ) (8.5, 10.3, 9.6, 8.7, 11.2, 9.9, 7.9, 10, 9, 11.1)

x ( x, x,..., x ) (8.5, 10.3, 9.6, 8.7, 11.2, 9.9, 7.9, 10, 9, 11.1) Serie Sorice e Processi Socasici Federico Andreis Inroduzione Desiderando inrodurre inuiivamene il conceo di serie sorica basa fare riferimeno a qualsiasi fenomeno misurabile ce varia nel empo e la cui

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli