METODI DECISIONALI PER L'AZIENDA. Dott. Lotti Nevio

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1 METODI DECISIONALI PER L'AZIENDA Do. Loi Nevio Generalià sui sisemi dinamici. Variabili di sao, di ingresso, di uscia. Sisemi discrei. Sisemi lineari. Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio

2 SISTEMI DINAMICI Riferimeni bibliografici Casagnoli-Peccai La Maemaica in Azienda, n. 4 SISTEMI DINAMICI CON APPLICAZIONI EGEA ed. Bischi G.I., Carini R., Gardini L., Teni P., SULLE ORME DEL CAOS: COMPORTAMENTI COMPLESSI IN MODELLI MATEMATICI SEMPLICI Bruno Mondaori, 004, Milano SISTEMI DINAMICI (Deerminisici Variabili che si muovono nel empo SISTEMI a empo coninuo (sisemi coninui SISTEMI a empo discreo (sisemi discrei Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio

3 Insieme dei empi: T = T 0, T ], T =,,...,,...} [ { 0 s Un sisema dinamico è un applicazione: ( =. n ( ( ( n R : T R n veore (: sao del sisema (foografia all isane (variabili di sao le sue componeni Sisema a empo discreo unidimensionale: = f ( + oppure ( + = f ( (, ( k + = f ( ( k, ( n + = f ( ( n.. ( Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio 3

4 Caso lineare: + = a + b Auonomo: + = a è facile vedere che: = ka è soluzione della EDF per ogni valore di k Infai: + + = ka = aka = a Imporre il valore di k significa assegnare una condizione iniziale (c.i. ovvero il passaggio per un puno definio ESEMPIO 0 = Si rova k=, da cui la soluzione: = a Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio 4

5 ESEMPIO + =, = 5 Si ha: = k Applicando la c.i.: = k = ovvero k = Quindi: 5 = Se cambio la c.i. (con la sessa EDF: + =, = 40 Trovo sempre: = k Applicando la c.i.: = k = 40 k = 0 Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio 5

6 ESTENDIAMO IL CONCETTO INTRODUCENDO UN TERMINE ESOGENO DIPENDENTE DA TEMPO Termine di ingresso variabile esogena u ( (variabili di ingresso, veore di ingresso = f (, u + Il modello del sisema dinamico divena una EDF del primo ordine non auonoma Nel caso lineare: = a + bu + se u è cosane (quindi lo possiamo pensare pari ad, e poi moliplicarlo per b si ha il caso precedenemene viso: + = a + b alrimeni è in generale una variabile della EDF (ermine di ingresso Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio 6

7 Traieorie ( Puni di equilibrio + = da cui: = f ( (puni fissi della funzione f ( Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio 7

8 ESEMPIO Dinamica di popolazioni u ( k k b ( k a ( k ( ( c ( k k u ( k Equazioni a empo discreo Ipoesi: le froniere si aprono solo ad una paricolare ora del giorno e per il reso del empo resano chiuse i flussi sono proporzionali alla numerosià presene nel comparimeno di parenza ( + = ( + = ( ( a + b ( + a ( c ( + c ( ( + u( SISTEMA DI EQUAZIONI ALLE DIFFERENZE FINITE EDF (lineare, a coefficieni cosani, del primo ordine Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio 8

9 ovvero: ( + = ( ( a + b ( + c( ( + = a ( + ( c ( + u( in forma veoriale: A = ( a + b a c 0, b = c sisema discreo lineare a coefficieni cosani Spazio di sao bidimensionale ESEMPIO Capiale accumulao: = ( i + + lineare, auonomo, monodimensionale Se il asso dipende dal empo: + = ( + i = + i + è del ipo: = f (, i + non lineare, né auonomo Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio 9

10 Nel caso di asso cosane, aggiungiamo un prelievo progressivo sul reddio (approssimandolo con un ermine quadraico: + = ( + i i = β ( γ + con: i β = + i, γ = β Si raa di un esempio della celebre equazione logisica che inconreremo varie vole e che al variare dei parameri può avere comporameni assai complessi (biforcazioni, caos,.. Se lo sao al empo dipende dallo sao al empo (- ed anche dallo sao al empo (- si oiene un unica equazione alle differenze finie (EDF di secondo ordine(compaiono due riardi (lag = f (, od anche + = f ( +, (perché? Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio 0

11 EDF di ordine n: + n = + f ( + n, + n,...,, Esempio di EDF di quaro ordine: + 4 = EDF di erzo ordine lineare: = per equazioni di ordine superiore, il sisema maniene una maggior memoria! Le EDF sono dunque lo srumeno maemaico per la rappresenazione di sisemi dinamici discrei Possiamo avere a che fare anche con sisemi di EDF quali i segueni Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio

12 Modello preda-predaore (discreo y + + = = ( ρ ( ρ + γ : preda, y : predaore y : probabilià di un inconro ra preda e predaore ρ, ρ y : assi di moralià delle due specie, β : assi di predazione (possiamo inrodurre dei assi di naalià ed alre relazioni dinamiche.. Aumenando le variabili, possiamo descrivere una caena rofica Tali modelli sono usai anche in economia per rappresenare la dinamica di alcuni mercai compeiivi y NOTA le EDF non sono solo una prerogaiva esclusiva dei sisemi dinamici, ma il modello maemaico di moli alri fenomeni (non dinamici in fisica, biologia, ingegneria, economia, finanza, ecc. y y Per le funzioni di ineresse nei sisemi dinamici, la variabile indipendene è il empo (coninuo o discreo Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio

13 ALTRA INTERPRETAZIONE = f ( + possiamo anche scrivere: + = f ( ovvero: = G( + essendo + la differenza prima ovvero, una EDF esprime come al variare del empo, si modifica la variabile di sao ma anche come si modifica la differenza prima, che non è alro che il asso di variazione Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio 3

14 Versione a empo coninuo Quesa vola, immaginiamo che il empo sia una variabile coninua, e di conoscere i assi di variazione isananei Ovvero le derivae (delle variabili di sao in funzione del empo! (vedi significao di derivaa come asso isananeo & = f ( come evolve la variabile nel empo localmene esprime il asso di variazione isananeo in funzione del valore al empo della variabile ESEMPIO & = 3 la derivaa della funzione (incognia ( è in ogni isane, pari al riplo della funzione sessa Allora, se ad un cero isane conosco il valore della funzione (, posso conoscerlo anche per isani successivi! Porei quindi, almeno in linea di principio, conoscere l evoluzione del sisema dinamico (ovvero, risolvere l equazione differenziale pur di sapere ad un cero isane il valore della funzione incognia. Queso è il significao del celebre h. di Cauchy Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio 4

15 Riprendendo l esempio di prima & = 3 si raa di rovare una funzione (incognia del problema la cui derivaa è pari al riplo di sé sessa. Come noo, ce ne sono infinie! Sono ue quelle del ipo: ( = ke Infai, derivando membro a membro si rova un idenià Ma se fisso una condizione iniziale (c.i., ovvero impongo il passaggio per un puno, ad es.: ( 0 =, rovo k= da cui: ( = e 3 3 Se cambio c.c., ad es.: ( = 3 rovo: ke 6 = 3 k = 3 6 e ESEMPIO Cineica di sosanze nell organismo a β 0 Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio 5

16 Paper: Dynamic Modelling Do. Loi Nevio = + + = u β 0 ( & & Puni di equilibrio, con ingresso nullo: = = 0 0 & & = = ( 0 sisema di equazioni algebriche lineare