SISTEMI DINAMICI DISCRETI

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1 SISTEMI DINAMICI DISCRETI 1 Michele Impedovo Universià Bocconi di Milano michele.impedovo@uni-bocconi.i Le cerezze della fisica e di alre scienze della naura vengono oggi messe in forse da una nuova serie di fenomeni caoici, mai osservai prima, sia per quesioni di miopia e pigrizia menale, sia per la mancanza di srumeni adeguai come il compuer. Quesi fenomeni si rifiuano di obbedire al paradigma della scienza classica, pur rimanendo in una cornice deerminisica. Il caos, infai, rende impossibili le predizioni non per una sua inrinseca naura indeerminisica, ma per la sua esrema sensibilià alle condizioni iniziali, che dovrebbero essere dae con una precisione impossibile. Ian Sewar, Dio gioca a dadi? Un problema, per iniziare In un piccolo paese del Varesoo, 1 abiani, il asso di moralià annuo è del %; forunaamene ogni anno nascono 1 bambini. Qual è nel empo l'evoluzione della popolazione? Si esingue, aumena a dismisura, si sabilizza? Queso piccolo problema può dare l'idea dell'imporanza dei sisemi dinamici discrei nella modellazione dei problemi reali: è possibile descrivere in modo relaivamene facile una o più grandezze (un sisema) che evolvono (un sisema dinamico) a passi cosani della variabile empo (un sisema dinamico discreo). Il sisema può essere globalmene anche complesso, ma in piccolo è pienamene caraerizzao da una semplice legge ricorsiva. Per esempio il nosro problema iniziale è descrio dalla legge x +1 = x.x + 1 cioè x +1 =.8x + 1 e dalla condizione iniziale x = 1. A parire dalla condizione iniziale possiamo cosruire ogni elemeno della successione sulla base della conoscenza dell'elemeno precedene. x = 1, x 1 =.8x + 1 x =.8x 1 +1 x 3 =.8x + 1 1, 9, 8, 756, Qualche noazione

2 Un sisema dinamico discreo, SDD d'ora in avani, (del primo ordine) è caraerizzao da una legge del ipo x +1 = ƒ(, x ), (chiamaa equazione alle differenze) dove: =, 1,, x è una successione definia in modo ricorsivo mediane la funzione ƒ. Per esempio l'equazione alle differenze visa prima x +1 =.8x + 1 definisce un SDD del primo ordine. La celebre successione di Fibonacci, definia dalla legge x + = x +1 + x è invece un SDD del secondo ordine, poiché la conoscenza del generico elemeno della successione presuppone la conoscenza di due elemeni precedeni. L'equazione alle differenze del primo ordine x N = x + x fornisce il classico algorimo di Erone per il calcolo della radice quadraa di N: definisce infai una successione che converge (rapidamene) a N. Per esempio, con N = e x = 1: 1, 3, 17 1, , Si osservi che x 3 approssima già la quina cifra decimale di. Una soluzione di un'equazione alle differenze è una successione che soddisfa, per ogni, l'equazione daa. In generale le soluzioni di un'equazione alle differenze sono infinie: ciascuna è caraerizzaa dalle condizioni iniziali, che di norma sono ane quane l'ordine dell'equazione. Per esempio l'equazione del I ordine x +1 =.8x + 1, con la condizione iniziale x = 1, definisce l'unica successione 1, 9, 8, 756,. L'equazione del II ordine x + = x +1 +x con le condizioni iniziali x =1, x 1 =3 definisce l'unica successione 1, 4, 5, 9, 14, 3, 37,. In seguio raeremo solo di SDD del I ordine. Un SDD può descrivere l'evoluzione di più grandezze conemporaneamene, mediane un veore: x +1 = ƒ(x ) dove ƒ è una funzione da R n in R n. Il numero di componeni del veore x è la dimensione del SDD. Traeremo inizialmene SDD di dimensione 1 e poi forniremo esempi di SDD a più dimensioni.

3 3 Esplorazioni ed errori Con EXCEL possiamo facilmene esplorare un SDD: in una cella si scrive il valore iniziale (o i valori iniziali, se l'ordine è maggiore di 1); nella cella successiva si scrive la legge ricorsiva, uilizzando i riferimeni relaivi alla cella precedene. Poi si copia la formula fino all'indice che si preferisce. Ecco per esempio la cosruzione, con EXCEL, dell'algorimo di Erone per approssimare 5, con x =, cioè del SDD x +1 = 1 5 x +, x = 5. x Scriviamo il valore iniziale nella cella A1. Nella cella A scriviamo la legge ricorsiva, mediane il comando "=1/*(A1+5/A1)". Nella cella A viene calcolao il valore di x 1 =.5 Il riferimeno alla cella A1 è relaivo: se si "afferra" con il cursore del mouse il quadraino nero in basso a desra della cella A e lo si rascina verso il basso la formula viene copiaa aggiornando riga per riga il riferimeno alla cella A1, che divena A, A3,. L'esplorazione numerica di una successione conduce ineviabilmene a errori. Per esempio la successione x n+1 = 4x n 1 e valore iniziale x = 1/3 è la successione cosane di valore 1/3, come si può subio conrollare. Se proviamo a calcolare con Excel i primi 1 elemeni della successione sembra uo normale.

4 x[], , , , , , , , , , , , , Ma al 13-esimo elemeno ecco la sorpresa: l'ulima cifra decimale non è più 3, è. 13, Da queso momeno in poi l'errore si amplifica rapidamene, la successione raggiunge il valore e poi diverge a. 14, , , , , , , , , , ,3815 5,315 6, Che cosa è successo? Qualunque approssimazione numerica ronca le cifre decimali da un cero puno in poi: ierando la legge ricorsiva l'errore si propaga fino a rendere inaendibile il risulao. A queso proposio esise un curioso aneddoo che appariene alla soria dei SDD. Nel 196 il meeorologo Edward Lorenz riuscì a cosruire un modello ridoo (solo 1 variabili) per le previsioni del empo, mediane un sisema dinamico discreo; uilizzando un compuer poeva simulare numericamene l'evoluzione del empo imposando i 1 valori di parenza delle sue variabili. Un giorno scoprì che le sesse condizioni iniziali, con le sesse leggi ricorsive, generavano evoluzioni compleamene diverse! Era successo che al ermine della giornaa di lavoro il calcolaore (di allora!) aveva calcolao un migliaio di ierazioni delle variabili e Lorenz aveva ricopiao su un pezzo di cara i 1 valori della 5-esima ierazione; la maina successiva, per non ricominciare uo da capo, Lorenz aveva inrodoo nel calcolaore, come valori iniziali, i numeri che aveva ricopiao il giorno prima. Si aspeava così di osservare di nuovo la seconda meà del processo già svolo. Sorpresa: l'evoluzione era compleamene differene! Ogni sisema di calcolo auomaico mosra un cero numero di cifre decimali, ma ne ha in memoria qualcuna in più che non viene visualizzaa. Cerchiamo di capire ad esempio come si compora con EXCEL: nella cella A1 scriviamo

5 "=1/7"; se il numero visualizzao, cioè , fosse lo sesso che 5 EXCEL ha in memoria, moliplicandolo per 1 e ogliendo la pare inera al risulao dovremmo oenere Allora nella cella A digiiamo la formula "=1*A1 in(1*a1)" (in(x) è la funzione pare inera). Oeniamo invece:, , "Diero" all'ulima cifra decimale visualizzaa (3) si nascondono evidenemene alre cifre. Porebbe essere ineressane analizzare, con un sisema di calcolo auomaico, la successione x = 1/3, x n+1 = 1x n in(1x n ). Un modo per conare il numero di cifre decimali memorizzae da un sisema di calcolo numerico consise nel valuare l'uguaglianza 1 + n = 1 che dal puno di visa simbolico è sempre FALSA, menre dal puno di visa numerico divena VERA da un cero n in poi, dao il numero di cifre memorizzae (in base ) è finio. La formula resiuisce FALSO, menre la formula "=1+^( 47)=1" "=1+^( 48)=1" resiuisce VERO: EXCEL lavora con 47 cifre binarie e quindi con 15 cifre decimali, dao che Tornando a Lorenz, i numeri che aveva ricopiao non erano gli sessi che il calcolaore aveva in memoria: la differenza, inizialmene piccolissima, dava luogo a errori via via maggiori e a evoluzioni compleamene differeni. Come vedremo, quesa è una caraerisica cenrale dei sisemi dinamici discrei. La abella seguene mosra i primi valori delle due successioni caraerizzae dalla sessa legge ricorsiva x +1 = x 1 e dai valori iniziali, rispeivamene, x = e y = 1.1. x[] y[] x[] y[] 99,999 1, ,95 1, ,998 1, 1 95,94 14,96 99,996 1, ,88 18, ,99 1, , , ,984 1, ,3 13, ,968 1, , , ,936 1, ,7 31,7 7 99,87 1, ,144 36, ,744 1, ,88 64, ,488 1,51-948, ,576 Come si vede, i valori delle due successioni rimangono vicini solo per le prime ierazioni,

6 ma già la differenza x y è maggiore di! SDD lineari Analizziamo il SDD in un cero senso più semplice, quello lineare, cioè caraerizzao da u- n'equazione del ipo x +1 = ax con a. In queso caso si ricava facilmene, dalla legge ricorsiva, la legge generale: x 1 = ax x = ax 1 = a x x 3 = ax = a 3 x x = a x. Al variare di a possiamo riassumere le diverse caraerisiche della successione. Se 1 < a < 1 allora a ende a ; per qualunque condizione iniziale la successione x ende a, ano più rapidamene quano più a è vicino a. Per < a < 1 si ha la ipica decrescia esponenziale di valore iniziale x e base a: ad ogni passo x diminuisce di una percenuale pari a 1 a. Per esempio se a=.8 allora ad ogni passo x diminuisce del %. Per 1 < a < la convergenza a non è monoona, i valori di x oscillano con segni alernai. Ecco per esempio i grafici delle successioni x +1 =.8x e x +1 =.8x enrambi con la condizione iniziale x =1 (nei grafici le linee che congiungono i puni sono puramene indicaive, servono solano ad agevolare la leura del grafico) x[] x[]

7 Se a>1 allora x è una successione esponenziale crescene: ad ogni 7 passo x aumena di una percenuale pari a a 1. Se a < 1 allora x è una successione irregolare, a segni alernai, che diverge in modulo. Ecco per esempio i grafici delle successioni x +1 =1.1x e x +1 = 1.1x, sempre con x = x[] x[] I casi a = 1 e a = 1 sono poco ineressani Se si applica la legge ricorsiva x +1 = ax alle dinamiche di popolazioni (uomini, animali, vegeali, baeri, ) si oiene il cosiddeo modello di Malhus (Thomas Malhus, ): una popolazione inizialmene di enià x è soggea ad un asso di naalià n (percenuale di nuovi nai, per esempio ogni anno, sul oale della popolazione) e ad un asso di moralià m (percenuale di mori ogni anno sul oale della popolazione). Se non ci sono immigrazioni né emigrazioni l'evoluzione nel empo del numero di individui sarà del ipo x +1 = x + nx mx cioè x +1 = ax, con a = 1+n m. Secondo queso modello: se < a < 1, cioè se n < m, allora la popolazione è desinaa ad esinguersi esponenzialmene; se a > 1, cioè se n > m, allora la popolazione aumena esponenzialmene. Il modello di Malhus è ragionevole nella misura in cui la popolazione non è soggea a limiazioni eserne (spazi ridoi, risorse limiae, ). Per esempio una colonia di baeri in abbondane liquido di colura inizialmene è soggea ad una crescia di ipo malhusiano; poi, al crescere esponenziale del numero di baeri l'inquinameno ambienale e la mancanza di risorse modificano (anche radicalmene) i assi demografici (n diminuisce e m aumena) e il modello non è più aendibile. Vedremo più avani un modello più raffinao che enga cono delle limiazioni ambienali. Riassumendo: l'equazione alle differenze lineare x +1 = ax è "domesica" e non presena alcuna sorpresa. SDD lineari affini Di u'alra pasa (molo più saporia) è invece l'equazione (lineare affine) x +1 = ax + b.

8 Proviamo con EXCEL a esplorare la successione x +1 =.8x + 1, con x = 1. x[] x[] x[] x[] x[] ,7 55,8 3 5,6 4 5, ,9 1 54,6 31 5,5 41 5, ,4 53,7 3 5,4 4 5, ,5 3 53, 33 5,3 43 5, 4 74,8 14 5, 4 5,4 34 5,3 44 5, 5 663, ,6 5 51,9 35 5, 45 5, 6 631, ,1 6 51,5 36 5, 46 5, 7 64, ,3 7 51, 37 5,1 47 5, 8 583, , 8 51, 38 5,1 48 5, 9 567, , 9 5,8 39 5,1 49 5, Si osserva (forse con una cera sorpresa) che il sisema converge per eccesso a 5: la popolazione di quel paese enderà nel empo a sabilizzarsi a 5 abiani. Poiché i parameri del problema sono i numeri.8, 1 e 1, viene sponaneo chiedersi in che modo 5 scaurisca da quei valori. Per esempio, che cosa succederebbe se inizialmene ci fossero non 1, ma abiani? Se provae a porre la domanda agli sudeni, gran pare di essi vi risponderanno che la popolazione si sabilizzerà a 1 abiani. Il cosiddeo modello proporzionale spadroneggia: se parendo da 1 abiani si arriva a 5, allora con abiani si arriverà a 1. Esploriamo la nuova successione con Excel, ci basa cambiare x. x[] x[] x[] x[] x[] 1 661,1 517,3 3 51,9 4 5, , , ,5 41 5, ,1 511,1 3 51, 4 5, ,5 3 58, , 43 5, , , 4 57,1 34 5,8 44 5, , ,8 5 55,7 35 5,6 45 5, , 16 54, 6 54,5 36 5,5 46 5, , ,8 7 53,6 37 5,4 47 5, 8 751, , 8 5,9 38 5,3 48 5, 9 71, ,6 9 5,3 39 5, 49 5, E se inizialmene ci fossero solo abiani? x[] x[] x[] x[] x[] 1 467,8 496, ,6 4 5, , 1 497, ,7 41 5, ,4 497, ,8 4 5, 3 346, , , ,8 43 5, 4 377, , , ,8 44 5, 5 41, , , ,9 45 5, 6 41, , , ,9 46 5, 7 437, , 7 499, ,9 47 5, 8 449, , , ,9 48 5, 9 459, , ,5 39 5, 49 5, Sorprendenemene nel lungo periodo non cambia nulla, la successione converge a 5 (per eccesso se x > 5, per difeo se x < 5) qualunque sia la condizione iniziale. Se x = 5, allora il sisema non si muove, risula x = 5 per ogni. La figura seguene mosra il comporameno delle diverse successioni: la successione cosane di valore 5 sembra ararre ue le alre.

9 Queso primo approccio di ipo sperimenale è uile dal puno di visa didaico per cosruire passo-passo la successione, per osservare come i successivi valori endono (in queso caso) a sabilizzarsi, per esplorare il problema con diversi valori iniziali e convincersi che le corrispondeni successioni convergono ue a 5. Ora però vogliamo capire perché. L'equilibrio di un SDD Perché 5? Abbiamo scopero che 5 è funzione solo dei parameri.8 e 1, e non dipende dal valore iniziale. Vogliamo capire qual è la funzione, quesa miseriosa black box che, presi in ingresso.8 e 1, spua 5. Chiediamoci: esise un valore iniziale x per il quale la popolazione rimane cosane nel empo? Deve risulare, per ogni : x = x +1 cioè x =.8x + 1. Queso accade se e solo se esise un numero x per il quale risuli x =.8x + 1..x = 1 x = 5. In alri ermini ci siamo chiesi per quale numero x il % di x (diminuzione percenuale della popolazione) è uguale a 1 (aumeno assoluo della popolazione): x = = = 5. Il valore 5 viene chiamao puno di equilibrio (o equilibrio) del sisema: se il sisema pare da 5, rimane inchiodao a quel valore per sempre. In alri ermini: la successione cosane di valore 5 è una soluzione dell'equazione alle differenze x +1 =.8x + 1. In generale per i SDD lineari affini x +1 = ax + b (se a 1) ra le infinie soluzioni esise una ed una sola successione cosane: l'equazione x = x +1

10 divena la cui soluzione (se a 1) è x = ax + b b x = 1 a Se si pare da x = b/(1 a) il sisema dinamico non è dinamico, è sazionario. L'equilibrio di un SDD lineare affine b (con a 1) è 1 a. Se invece a=1 allora il sisema divena x +1 = ax + b x +1 = x + b ed è immediao osservare che non ci sono equilibri: il sisema evolve linearmene verso + se b>, verso se b<. Il caso a = 1 e b = è ovviamene privo di ineresse. Abbiamo dunque viso che la successione cosane di valore b/(1 a) è un equilibrio del SDD x +1 = ax + b. Per il SDD in cui a=.8 e b=1 abbiamo sperimenalmene osservao che parendo da valori diversi dall'equilibrio, la corrispondene successione converge comunque all'equilibrio. È vero per qualsiasi valore iniziale? È quesa una caraerisica comune di qualunque equilibrio in qualunque SDD? Sarebbe carino, no? La sabilià di un equilibrio Teniamo, a parire dal valore iniziale x, di esrarre dalla legge ricorsiva la legge generale: x 1 = ax + b x = ax 1 + b = a(ax + b) + b = a x + ab + b x 3 = ax + b = a(a x + ab + b) = a 3 x + a b + ab + b x 4 = ax 3 + b = a(a 3 x + a b + ab + b) = a 4 x + a 3 b + a b + ab + b Al generico empo risula (se a 1): x = 1 ax + b ( 1+ a+ a + + a ) = ax + b 1 k = a k

11 ax + b 1 a 1 a = 11 b = ax + 1 a b a 1 a b 1 a + b 1 a. = a x Riroviamo, prepoene, l'equilibrio b/(1 a). Se indichiamo con E ale numero, possiamo scrivere la soluzione di un SDD lineare affine in modo significaivo: a x E + E. x = ( ) Nella soluzione generale possiamo leggere, da un nuovo puno di visa, informazioni già noe e scoprire informazioni nuove: Se x = E allora la soluzione è la successione cosane di valore E. Se a è compreso ra 1 e 1, allora a ende a e il sisema converge a E per qualunque valore iniziale x. Si dice in queso caso che E è un equilibrio sabile (oppure che è un araore), perché arae successioni il cui valore iniziale è diverso da x. Anzi, in queso caso E è un araore globale, nel senso che qualunque sia il puno di parenza x del sisema, il sisema evolve convergendo a E. Se a >1 allora il sisema diverge esponenzialmene. In queso caso l'equilibrio E è insabile; se si pare da E il sisema resa fermo, ma la più piccola perurbazione sulla condizione iniziale produce una caasrofe: il sisema si allonana indefiniamene dall'equilibrio. Per fissare le idee su ques'ulima osservazione consideriamo il seguene problema. Un pigro quaranenne di nome Oblomov decide di vivere di rendia. Dispone di un capiale di 1. che produce ogni mese ineressi pari al 1% (di quesi empi è un asso improbabile); per vivere sima di aver bisogno di 1 al mese. Ce la farà? Se indichiamo con x il deposio bancario del nosro Oblomov al empo (misurao in mesi), il problema può essere modellizzao mediane il SDD cioè x +1 = x +.1x 1 x +1 = 1.1x 1 con la condizione iniziale è x = 1. Si raa ancora di un SDD della forma x +1 =ax +b, però quesa vola a > 1. L'equilibrio del sisema è E = 1 b a 1 = = 1., cioè esaamene la condizione iniziale! Infai l'ineresse mensile del 1% su 1. (l'aumeno percenuale) è uguale alla quoa mensile di 1 necessaria per vivere (la diminuzione assolua). In quese condizioni il nosro quaranenne può vivere di rendia per l'eernià. Ma si raa di un equilibrio assai precario.

12 Che cosa succede se il capiale iniziale è (seppur di poco) diverso da 1.? Se x < 1. (anche di un solo cenesimo di euro) allora il caro Oblomov è desinao (prima o poi) alla rovina. Se invece x > 1. (anche di un solo cenesimo di euro) allora il capiale aumena indefiniamene. Ecco l'andameno del deposio per x = 9. e per x = x[] x[] Dopo circa anni = 4 mesi nel primo caso il capiale si esingue, nel secondo caso raddoppia: il fao che l'equilibrio E = 1 sia insabile è ben visualizzao dalla figura seguene, in cui sono rappresenae diverse soluzioni per diverse condizioni iniziali: il grafico fa comprendere perché un equilibrio di queso ipo sia chiamao anche repulsore Riassumendo: per un SDD lineare affine x +1 = ax + b, se a >1 l'equilibrio è insabile: qualunque valore iniziale diverso da b/(1 a) genera una successione divergene. Torniamo per un aimo alla successione x n+1 = 4x n 1 che abbiamo uilizzao per mosrare la propagazione degli errori di un sisema di calcolo numerico. Ora sappiamo che si raa di un SDD lineare affine il cui equilibrio è E = b/(1 a)=1/3. Ma sappiamo anche che si raa di un

13 equilibrio insabile, dao che a=4>1: qualunque valore iniziale diverso da 13 x =1/3 condurrà ineviabilmene ad un successione divergene. Ecco perché Excel (o qualunque alro programma) fa divergere a quella successione: Excel rappresena inernamene il numero 1/3 con un piccolo errore di roncameno. Noi crediamo di imposare x = 1/3, in realà risula x = 1/3 ε < 1/3, e di conseguenza la successione diverge a. Abbiamo viso dunque che un SDD lineare affine caraerizzao da diminuzione percenuale + aumeno assoluo possiede un equilibrio sabile (converge sempre all'equilibrio), menre un sisema soggeo a aumeno percenuale + diminuzione assolua possiede un equilibrio insabile (diverge per qualunque valore x E). Quesa osservazione è molo uile per le sraegie in ambiene economico e più in generale in ambieni in cui una cera risorsa sia soggea a prelievo periodico (bacini di pesca, aree di caccia, impose sui ciadini, ): se vogliamo che la risorsa non si esingua, ma raggiunga un equilibrio sabile, non dobbiamo prelevarne una daa quanià cosane ad ogni periodo, ma una cera percenuale cosane. Se applichiamo la legge lineare affine x +1 =ax +b alle dinamiche di popolazioni, possiamo arricchire il modello di Malhus enendo cono di evenuali immigrazioni o emigrazioni. Il coefficiene a coninua a descrivere il bilancio demografico 1+n m per ogni periodo menre b descrive i dai assolui di periodo riguardani immigrazioni (se b>, oppure emigrazioni se b<). Nei SDD lineari affini di cui abbiamo parlao finora i coefficieni a e b sono cosani: una generalizzazione ricca di sviluppi ineressani (che non raeremo) consise nel pensare a e b dipendeni dal empo, e quindi sosiuire ad a e b sue successioni a, b. Il più generale SDD lineare affine divena allora x +1 = a x + b. Ancora una osservazione sulla quale orneremo: abbiamo viso che se a è compreso ra 1 e 1 allora l'equilibrio è sabile. Le due figure segueni mosrano i grafici delle successioni relaive ai SDD x +1 =.1x x +1 =.9x con diverse condizioni iniziali (, 5, 1, ), enrambe per =, 1,,,.

14 In enrambi i casi l'equilibrio è E= e in enrambi i casi l'equilibrio è sabile, ma le soluzioni del primo sisema (con a=.1) convergono a più rapidamene del secondo (con a=.9). Si raa di un risulao ovvio se si pensa che la rapidià di convergenza è deerminaa dalla base a dell'esponenziale a : un SDD lineare affine converge (se converge) ano più rapidamene quano più a è vicino a. Il diagramma di fase Abbiamo un alro modo ancora per esplorare un SDD e per capirne la sruura: racciare il diagramma di fase. Consideriamo ancora il sisema definio dalla legge lineare x +1 =.8x + 1. Sappiamo che l'equilibrio del sisema (la successione cosane) si rova risolvendo l'equazione che è l'equazione risulane del sisema x =.8x + 1, y =.8x+ 1 y = x Risula quindi naurale racciare sullo sesso piano i grafici della funzione lineare ƒ: x.8x+1 e della funzione idenià I: x x. La figura seguene è saa cosruia con una TI-89,

15 che implemena il diagramma di fase di un SDD. 15 L'equilibrio è l'ascissa x * =5 del puno di inersezione ra le due ree. Poiché ƒ(x ) = x +1, se da un puno qualsiasi x sull'asse delle ascisse saliamo in vericale fino al grafico della funzione ƒ roviamo il puno di coordinae (x, ax +b) cioè il puno (x, x 1 ): Nella figura seguene siamo parii da x =1 e abbiamo rovao il puno (x, x 1 ) = (1, 18). Se ora dal puno (x, x 1 ) ci muoviamo prima in orizzonale fino alla rea y=x e poi in vericale fino alla funzione ƒ roviamo dapprima il puno (x 1, x 1 ) e poi il puno (x 1, x ). Di nuovo ci sposiamo in orizzonale fino a y=x e in vericale fino a ƒ rovando il puno (x, x ) e poi il puno (x, x 3 ). Per ogni coppia di sposameni (orizzonale e vericale) si passa dal puno (x 1, x ) al puno (x, x +1 ): in definiiva le ordinae dei successivi puni su ƒ sono i successivi valori della successione che pare da x. Se proseguiamo indefiniamene cosruiamo una ragnaela e osserviamo che il sisema non può che convergere a 5. Analogamene, se pariamo da un valore maggiore di 5, per esempio 1, i successivi

16 sposameni ci riporano all'equilibrio. Nella figura seguene la finesra grafica è [4, 1] [4, 1]. Il diagramma di fase ci fa capire da un alro puno di visa (un puno di visa geomerico) perché, se < a < 1 ue le successioni convergono all'equilibrio. Il diagramma di fase si può oenere facilmene anche con EXCEL Tu'alro accade invece se a > 1. Consideriamo il diagramma di fase relaivo al sisema dinamico x +1 = x 5, il cui equilibrio è sempre b/(1 a) = 5, rispeivamene con x =45 (finesra grafica [ 1, 6] [ 1, 6]) e x =55 (finesra grafica [4, 15] [4, 15]): qualunque sia x 5 il sisema diverge, a + se x >5, a se x <5. Come si può comprendere, il fao che la ragnaela converga all'equilibrio o si allonani dall'equilibrio dipende proprio dalla pendenza a con cui la rea y=ax+b inerseca la rea y=x: se ale pendenza è in modulo minore di 1 allora il sisema converge, se è maggiore di 1 il sisema diverge. Non è deo che l'evoluzione sia monoona; le segueni figure mosrano rispeivamene i diagrammi di fase dei sisemi dinamici x +1 =.8x + 1, x = (l'equilibrio è 1/1.8 56) x +1 = 1.1x + 1, x = 4 (l'equilibrio è 1/.1 48).

17 17 Il primo sisema converge all'equilibrio: la ragnaela si chiude inorno al puno di inersezione; per il secondo sisema la ragnaela si apre e si allonana dall'equilibrio. Caene di Markov Fino ad ora abbiamo raao sisemi uni-dimensionali, abbiamo cioè analizzao l'evoluzione di una sola grandezza. Possiamo analizzare sisemi a più dimensioni. Consideriamo il seguene problema. Nel Paese X, in cui voano cosanemene 1 ciadini, si voa ogni anno per il rinnovo del Parlameno e ogni anno si presenano alle elezioni due parii: il pario A e il pario B. Ad ogni elezione gli umori dell'eleorao in pare cambiano: non ui quelli che hanno voao per un pario lo voano ancora l'anno successivo. Da sime e sondaggi si ricava la seguene abella, che illusra come si sposano le preferenze dell'eleorao da un anno all'alro: da A da B a A 7% % a B 3% 8% Se le ulime elezioni dell'anno 3 hanno assegnao 11 voi al pario A e 1 voi al pario B, come andranno le elezioni del 4? E nel 1? E nel? Qual è l'evoluzione del sisema? Indichiamo con A e B la disribuzione di voi al empo =. I voi di A al empo =1 saranno pari al 7% di A più il % di B. Analogamene i voi di B al empo =1 saranno pari al 3% di A più l'8% di B. La disribuzione di voi al empo =1 è dunque la seguene: A 1 =.7A +.B. B 1 =.3A +.8B. Possiamo uilizzare una scriura più elegane (e più sruuraa) uilizzando veori e marici: x 1 = Mx.7. dove M =.3.8, x A A1 = B, x 1 = B. La marice M è dea marice di ransizione, con 1 ovvio significao. Supponiamo che M sia cosane nel empo; possiamo allora definire un SDD a due dimensioni: 11 x = 1 x +1 = Mx. Si raa della naurale generalizzazione del SDD lineare uni-dimensionale x +1 = ax.

18 Il sisema è caraerizzao da una marice socasica (o marice di probabilià), in cui la somma delle colonne è sempre 1: la marice descrive un sisema chiuso, senza enrae né uscie. Una successione di queso ipo è chiamaa caena di Markov (Andrei Markov, ). Nel nosro esempio risula x 1 = Mx = = = Si osservi che la somma degli elemeni di x 1 è ancora 1: è una caraerisica delle marici socasiche, facilmene dimosrabile. Per la proprieà associaiva del prodoo ra marici: x = Mx 1 = M(Mx ) = (M M) x = M x e in generale (in perfea analogia con i sisemi lineari uni-dimensionali) x = M x Facendo i calcoli (o, meglio, facendoli fare al calcolaore) risula 635 x = 565, x = 715, x = 7. Ecco la abella e il grafico delle due successioni (i voi per A e per B, cioè la prima componene e la seconda componene del veore x). +3 A B ,5 681, ,8 76, ,9 713, ,4 7151, , 7175, ,1 7187, ,1 7193, , 7197, ,5 7198, ,8 7199, ,4 7199, , 7199, ,1 7199, , 7,

19 Si osserva che il sisema si sabilizza rapidamene verso il veore x= 48 7 : analogamene a quano accade per i sisemi uni-dimensionali si raa del veore di equilibrio, cioè dell'unico veore che soddisfa l'equazione veoriale x = Mx e ale che la somma degli elemeni sia 1. Ogni caena di Markov converge ad un veore di equilibrio che è indipendene dal veore iniziale x. Non è difficile, con un minimo bagaglio di algebra lineare, analizzare il generico SDD lineare affine veoriale x +1 = Ax + b, dove il veore b descrive evenuali nuovi ingressi (o uscie) dal sisema. Marici di Leslie Supponiamo di aver diviso una popolazione in 6 fasce di eà di 15 anni ciascuna: Fascia 1: -15 anni Fascia : 15-3 anni... Fascia 5: 6-75 anni Fascia 6: più di 75 anni Foografiamo la disribuzione della popolazione nelle varie fasce d'eà in un cero isane mediane il veore P, il cui k-esimo elemeno rappresena il numero di individui della popolazione che apparengono alla fascia k. Chiediamoci quale sarà la disribuzione nelle varie fasce d'eà esaamene ra 15 anni, cioè quale sarà il veore P 1. Per saperlo abbiamo bisogno di due ipi di informazioni: 1) i coefficieni di sopravvivenza, e cioè la probabilià che un individuo che appariene alla fascia d'eà k sia vivo dopo 15 anni, e quindi apparenga alla fascia d'eà k+1. Indichiamo con s k ali coefficieni. ) I coefficieni di ferilià, e cioè il numero medio di nuovi nai per ciascun individuo della fascia k. Più precisamene: dagli individui della fascia k, nell'inervallo di empo di 15 anni, nasceranno ƒ k nuovi individui.

20 Una marice di Leslie L (P.H. Leslie, The Use of Marices in Cerain Populaion Mahemaics, [5]) coniene ue le informazioni dae dai coefficieni s k e dai coefficieni ƒ k e, nell'ipoesi delle 6 fasce d'eà, ha la seguene sruura. f1 f f3 f4 f5 f6 s1 s s3 s4 s5 In generale il generico elemeno L h,k della marice descrive la percenuale di individui che, facendo pare della fascia d'eà k, dopo 15 anni sono ancora vivi nella fascia d'eà h. È ovvio che gli unici elemeni diversi da, a pare la prima riga, sono quelli del ipo L k+1,k. I coefficieni di ferilià rappresenano anch'essi in un cero senso, il passaggio dallo "fascia " (="non ancora nao") alla fascia 1. È alresì ovvio che sulla prima riga il primo e l'ulimo elemeno saranno cosiuii da numeri piccoli: il asso di ferilià è basso per i nuovi nai e per gli anziani. Ecco un esempio di marice di Leslie a 6 sadi, con = 15 anni L = Anche la marice L è una marice di ransizione: se il veore P descrive la suddivisione in fasce di eà di una popolazione in un cero isane, al empo +1 (cioè dopo 15 anni, nel nosro esempio) la popolazione sarà descria dal veore LP +1. Abbiamo in definiiva cosruio un SDD lineare P +1 = LP con condizione iniziale P, che descrive l'evoluzione della disribuzione della popolazione nel empo, a passi cosani di 15 anni. Per esempio se: P = [8, 9.5, 7, 8, 7, 4] (i dai sono in milioni di individui), ecco la siuazione dopo 15, 3, 45 anni: P 1 = [1, 7.6, 9.3, 6.3, 6.8, 4.] oale 44. P = [9.1, 9.5, 7.4, 8.4, 5.4, 4.1] oale 43.9 P 3 = [1., 8.6, 9.3, 6.7, 7.1, 3.] oale 45. Si può osservare che la popolazione (nell'ipoesi che la marice di Leslie resi cosane) ende a crescere indefiniamene. Il sisema si evolve in u'alro modo, invece, se i coefficieni di

21 ferilià sono bassi. Per esempio, basa porre L 1, =.8 (anziché.8) e 1 la popolazione enderà ad esinguersi. Il riangolo di Sierpinski Abbiamo viso che SDD lineari (affini) hanno al più un puno di equilibrio, un solo puno fa da araore del sisema. Esisono SDD con araori più complessi: per mosrare un solo e- sempio, di dimensione, consideriamo il seguene SDD, nel quale inroduciamo un elemeno casuale. Sia dao un riangolo qualsiasi, per esempio il riangolo di verici (, ), (8, ), (4, 7). Pariamo da un puno qualsiasi P. Ora lanciamo un "dado" a re facce: se esce 1 allora P n+1 è il puno medio ra P n e A; se esce allora P n+1 è il puno medio ra P n e B; se esce 3 allora P n+1 è il puno medio ra P n e C. Se calcoliamo con Excel i primi, 8, 5 elemeni di quesa successione e racciamo i grafici dei corrispondeni puni oeniamo rispeivamene le segueni figure L'araore di queso SDD è il cosiddeo riangolo di Sierpinski (Waclaw Sierpinski, ): dao un riangolo qualsiasi T, si consideri la figura T 1 che si oiene "ogliendo" il riangolo cenrale, cioè il riangolo dei puni medi; da T 1 si olga il riangolo cenrale ad ognuno dei 3 riangoli oenui; da T si olga il riangolo cenrale ad ognuno dei 3 riangoli oenui,, da T n si olga il riangolo cenrale ad ognuno dei 3 n riangoli oenui, e così via. Il limie, per n, di T n è il riangolo di Sierpinski.

22 T T 1 T T 3 È davvero sorprendene che, qualunque sia il puno di parenza, la successione ende a riempire il riangolo di Sierpinski. È una delle sorprese che ci riservano i sisemi dinamici. Ne vedremo mole alre. Prede e predaori Abbiamo analizzao fino ad ora solo SDD di ipo lineare (e come abbiamo viso, c'è già parecchia carne al fuoco). Proviamo a vedere che cosa succede con leggi ricorsive più complesse. Un celebre modello non lineare (quadraico) bidimensionale, molo uilizzao in ecologia e in biologia (ma anche in economia), è il modello preda-predaore, noo anche come modello di Loka-Volerra, dai nomi del maemaico ialiano Vio Volerra ( ) e del chimico e demografo americano (di origine ucraina) Alfred Loka ( ), che lo proposero, nella versione coninua, nei primi anni ' del secolo scorso. Si suppone che in un ambiene circoscrio convivano due specie, una delle quali (i predaori) si ciba dell'alra (le prede). Indichiamo con x il numero di prede al empo (il empo sia misurao, per esempio, in mesi); y il numero di predaori al empo. In assenza di predaori le prede crescerebbero esponenzialmene, con faore di crescia a>1, secondo l'equazione x +1 = x + ax. La presenza dei predaori fa sì che il faore di crescia non sia cosane, ma decresca linearmene con il numero di predaori: x +1 = x + x (a by ). I predaori, in assenza di prede, si esinguerebbero esponenzialmene, secondo l'equazione y +1 = y cy.

23 La presenza delle prede fa sì che il asso di decrescia c cresca linearmene 3 con il numero delle prede: y +1 = y + y ( c + dx ) In definiiva il SDD (quadraico) è il seguene: x y = ( ) ( ) x + x a by y + y c+ dx con a, b, c, d cosani posiive. Poiché il modello ha senso solo per grandezze posiive, una versione più precisa è la seguene: x y = ( x + x( a by) ) y + y ( c+ dx ) max, max (,) c a Si può facilmene verificare che l'unico equilibrio non banale è, d b. Ma si raa in generale di un equilibrio insabile. Il grafico seguene si riferisce ai valori dei parameri a =., b =., c =.1, d =.5 e condizioni iniziali x = 1, y = 1, di poco disani dall'equilibrio [, 1]. 15 x n y n La numerosià delle prede e dei predaori, dopo un periodo di relaivo equilibrio, oscilla con ampiezza crescene, fino a che le prede e subio dopo i predaori, si esinguono. n

24 4 x n y n 4 6 n Il gioco di Collaz Si raa di un SDD in N (è anche un gioco con i numeri naurali e può essere proposo a qualunque eà), definio nel seguene modo: x n+1 = xn xn pari 3xn + 1 xn dispari Per esempio, con x = 7 si la ha seguene successione: 7,, 11, 34, 17, 5, 6, 13, 4,, 1, 5, 16, 8, 4,, 1, 4,, 1, 4,, 1, che è periodica (di periodo 3) da un cero puno in poi, assumendo ciclicamene i valori 4,, 1. Con x = 84 si oiene 84, 4, 1, 64, 3, 16, 8, 4,, 1, Anche in queso caso la successione arriva a 1 e ripee all'infinio la sequenza 4,, 1. Per ui i numeri x 1 1 è sao verificao con i calcolaori che la corrispondene successione di Collaz arriva prima o poi a 1. La erna di numeri 4,, 1 cosiuisce un araore di queso SDD, è almeno un araore locale: aira a sé ue le successioni il cui valore iniziale è minore di 1 1. Ma è un araore globale, cioè aira ue le successioni, qualunque sia il valore iniziale? La cosa srabiliane è che nessuno, fino ad ora (nonosane ricerche numerose e approfondie di maemaici qualificai), è sao in grado di sabilire se l'affermazione: "Qualunque sia x N, la successione di Collaz assume prima o poi il valore 1" sia vera (nessuno ha fornio una dimosrazione) o falsa (nessuno ha esibio un conroesempio). Il problema è uora apero. Per un approfondimeno si veda [4]. L'algorimo di Newon Un classico algorimo ricorsivo è quello di Newon per l'approssimazione delle soluzioni di un'equazione

25 ƒ(x) =, dove ƒ(x) è una funzione derivabile. Una soluzione di ƒ(x)= è un puno x * in cui il grafico di y = ƒ(x) inerseca l'asse x. Se in un puno x mandiamo la rea angene a ƒ(x), quesa inerseca l'asse x in un puno x 1. Si manda la rea angene a ƒ(x) in x 1 e così via: si cosruisce una successione x, x 1, x, che converge a x *. 5 y f () x O x * x x x 1 x La rea angene a ƒ(x) in x ha equazione y = ƒ ( x )( x x ) +ƒ ( x ) e la sua inersezione con l'asse x è la soluzione dell'equazione ( x )( x x ) ( x ) ƒ +ƒ = x x = ƒ ƒ ( x ) ( x ) x = x ƒ ƒ ( x ) ( x ) Se generalizziamo oeniamo la legge ricorsiva dell'algorimo di Newon: x +1 = x Dimosriamo che ale sisema dinamico ammee come equilibrio proprio x *. Deve risulare x +1 = x, quindi un equilibrio è una soluzione dell'equazione x = x ƒ ƒ ( x) ( x) ƒ ƒ ƒ ƒ. ( x ) ( x ) ( x) ( x) = ƒ(x) =. Dunque x *, lo zero di ƒ che vogliamo approssimare, è un equilibrio del sisema dinamico. La domanda "x * è un equilibrio sabile?" è cruciale, perché significa: "possiamo sperare che parendo da x x * si oenga una successione che converge a x *?". Se la risposa fosse "sì" allora avremmo cosruio un algorimo per l'approssimazione di x *. Abbiamo viso che se il sisema è lineare, cioè del ipo x +1 = g(x ), con g(x) = ax+b, allora l'equilibrio è sabile se il valore assoluo di a, la pendenza della funzione lineare g(x), è minore di 1. E se g(x) non è lineare? Non è difficile immaginare che (almeno nel caso in cui g è derivabi-

26 le) un equilibrio x * sia sabile (almeno localmene) se la pendenza di g in x * è in modulo minore di 1: cioè se Poiché nel nosro caso risula g'(x) = 1 allora, dao che ƒ(x * ) = per ipoesi, risula * ( x ) g < 1 1 < g'(x * ) < 1. g(x) = x ƒ ƒ ( x) ( x) ( x) ( x) ( x) ƒ ( x) ƒ ƒ ƒ g'(x * ) = * * ( x ) ( x ) * ƒ ( x ) ƒ ƒ = = ( x) ( x) ƒ ( x) ƒ ƒ Dunque x * nel SDD definio dall'algorimo di Newon è un equilibrio (almeno localmene) sabile: parendo da x "abbasanza vicino" a x * (che è ignoo), oeniamo una successione che converge a x *. Ma c'è di più: abbiamo viso che se g(x)=ax+b allora la rapidià di convergenza all'equilibrio è ano maggiore quano più a è vicino a. Per g(x) qualsiasi (purché derivabile) la rapidià di convergenza sarà ano maggiore quano più vicino a è la pendenza di g(x * ); in queso caso è addiriura g'(x * )=. Si dice in queso caso che x * è un superaraore. Consideriamo come esempio l'equazione ƒ(x) = : x 3 + x 1 =, che ammee ceramene uno zero x * compreso ra e 1, dao che ƒ() = 1 e ƒ(1) = 1. È l'unico zero, poiché ƒ'(x) > per ogni x. Risula x +1 = x ƒ(x) = x 3 + x 1 ƒ'(x) = 3x + 1 x + x 1 = 3 3x x + 1 3x + 1 Se assumiamo come condizione iniziale il puno medio dell'inervallo [, 1], x = 1/, oeniamo (in forma simbolica) la successione 1, 5 7, , ;

27 Per comprendere la sraordinaria rapidià di convergenza osserviamo 7 i primi 1 valori della successione in forma numerica: x[],5 1, , , , , , , , , , Accideni! Alla quina ierazione sono già sae approssimae le prime 15 cifre decimali: capio che cos'è un super-araore? Osserviamo ora il diagramma di fase nell'inervallo [, 1] [, 1]. Si osserva che g(x) inerseca la rea y=x in un puno di pendenza nulla, e la ragnaela è almene rapida da non lasciar vedere granché. Il puno di equilibrio, cioè il puno di inersezione ra y=g(x) e y=x è un vero e proprio buco nero! Ancora un'osservazione: se si applica l'algorimo di Newon all'equazione x N =, con N posiivo qualsiasi e con x >, si cosruisce una successione che converge a N. Svolgendo i calcoli: x +1 = x x N x = x + N x = 1 N x +. x Toh! Riconoscee in ques'ulima espressione l'algorimo di Erone? Dao x, x +1 è il puno medio dell'inervallo che ha per esremi x e N/x : infai poiché il prodoo di quesi due numeri è N, non possono essere enrambi maggiori né enrambi minori di N. Dei due numeri x e N/x, uno dei due è minore e l'alro maggiore di N : prendiamone dunque il puno medio. Si scopre così che l'algorimo di Newon applicao all'equazione x N = resiuisce l'algorimo di Erone per il calcolo della radice quadraa di N. Se vogliamo invece un algorimo per l'approssimazione della radice cubica di un numero non dobbiamo fare alro che considerare l'equazione x 3 N =. L'algorimo di Newon ci fornisce il sisema dinamico x +1 = x 3 x N 3x = 3 x + N. 3x

28 Per esempio, per approssimare 3 3, che è compreso ra 1 e, definiamo il SDD 3 x + 3 x +1 =, con x = x Oeniamo, in forma numerica, la seguene abella: x 4 approssima già le prime 14 cifre decimali. x[] 1,5 1 1, , , , , , , , , , In generale, per la radice n-esima di N, pariamo dall'equazione x n N = e arriviamo al sisema dinamico n x N x +1 = x = ( n 1 ) x n + N. n 1 nx n 1 nx Algorimi di queso ipo sono implemenai nelle calcolarici scienifiche. Sisemi dinamici discrei e caos Analizzando l'algorimo di Newon abbiamo graziosamene glissao su un dubbio che senz'alro il leore si è poso: che cosa accade se l'equazione ƒ(x) = ammee più di una soluzione? A quale delle soluzioni converge la successione di Newon? Evidenemene queso dipende dalla scela di x. Da buoni maemaici ci aspeiamo semplici leggi del ipo: "la successione di Newon converge allo zero di ƒ(x) più vicino a x ", oppure "se x sa qui allora la corrispondene successione converge a quesa soluzione, se x sa lì allora la successione converge a quell'alra soluzione, ". Beaa innocenza Vediamo un po'. Se l'equazione da cui pariamo è un'equazione polinomiale di secondo grado che ammee due radici reali α 1 < α : ax + bx + c = con b 4ac >, allora uo funziona come ci aspeiamo: x +1 = x ax + bx + c ax + b = ax c ax + b. C'è un unico puno criico dal quale non possiamo parire: x = b/(a), che annulla il denominaore. In effei è comprensibile: b/(a) è l'ascissa del verice della parabola y = ax + bx +

29 c e la rea angene in ale puno non inerseca l'asse delle x: la successione 9 di Newon, come una miccia bagnaa, non viene innescaa. Sia dunque x b/(a). Bene: si verifica facilmene che se x < b/(a) allora la successione di Newon converge ad α 1, alrimeni converge ad α. Consideriamo come esempio l'equazione x =. La successione di Newon è x +1 = x +. x x + Tracciai i grafici di y = e di y=x, ecco i diagrammi di fase (rispeivamene nel III e x nel I quadrane) per x = 1 e x = 1. Per qualunque x < la successione converge a, per x > converge a. Tuo ciò è molo ranquillizzane. Ma la caasrofe è in agguao Vediamo ora che cosa accade per equazioni polinomiali di erzo grado, per esempio la semplicissima x 3 x =, che ammee le re soluzioni α 1 = 1, α =, α 3 = 1. La successione di Newon è 3 3 x x x +1 = x 3x 1 = x 3x 1. 3 x Cosruiamo il diagramma di fase. Il grafico di y= e y=x, che si inersecano in 1, in 3x 1 e in 1, è il seguene (daa la simmeria rispeo all'origine, lo mosriamo solo per x ). x x 1 x x Ci sono due asinoi vericali in corrispondenza di 13 e , valori che x non

30 può assumere (sono quelli in cui ƒ'(x)=). Mediane il diagramma di fase si osserva che se x > 1 3 allora la successione converge a 1 (e se x < 1 3 allora la successione converge a 1). Il seguene diagramma di fase si riferisce a x = 3. E se 13 <x < 1 3? Ci piacerebbe, per esempio, che la successione innescaa da x convergesse alla soluzione più vicina a x. E invece Nulla si può dire a priori, invece, se 13 <x < 1 3 : si possono rovare puni arbirariamene vicini ali che la corrispondene successione converga a valori differeni. Ecco per esempio grafici e abelle delle successioni corrispondeni ai re valori di x.447,.4475, x[] x[] x[],447,4475,4 1 -, , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,944 6, ,681-1, 4, , -1, 3, , -1,, , -1, 1, , -1, 1, , -1, 1, , -1, 1, , -1, 1, , -1, 1,1 17, -1, 1, 18, -1, 1, 19, -1, 1,, -1, 1, Se x =.447 la successione converge a, se x =.4475 la successione converge a 1, se x =.4473 la successione converge a 1. Si osservi aenamene la abella per cogliere uno degli aspei più ineressani e al empo sesso sconvolgeni di un SDD, aspeo che giusifica ampiamene il ermine caos che si uilizza in quesi casi: si pare da valori molo vicini e le prime ierazioni mosrano valori delle successioni pressoché uguali (come peralro ci aspeiamo: non è quesa l'idea inuiiva di coninuià? se paro da valori quasi uguali le corrispondeni evoluzioni non saranno molo differeni). Ma ecco che alla quina ierazione la caasrofe ha già realizzao i suoi devasani effei: la prima successione vale circa.36, la seconda.97, la erza addiriura 15.6! Si raa del famoso "effeo farfalla": il baio d'ali di una farfalla in Florida provoca un or-

31 nado alle Hawai. 31 Il caos si impadronisce del problema e non ci lascia alra possibilià che esplorare che cosa accade ra 1 e 1. Il grafici segueni illusrano, con una risoluzione al pixel, il limie ( 1,, oppure 1) a cui converge la successione al variare di x rispeivamene ra 1 e 1 (la prima figura), ra.447 e.4473 (la seconda figura). 1 Y X 1 Y Si raa forse del primo fraale nella soria della maemaica, anche se solo inuio. Il primo ad accorgersi che "qualcosa non funziona" è Arhur Cayley ( ), che analizza l'algorimo di Newon nel suo ambiene più naurale, il campo dei numeri complessi. Un'equazione polinomiale ƒ(z)= di grado n ha in C n radici che sono rappresenae come puni nel piano complesso. Parendo dal numero complesso z l'algorimo di Newon permee di cosruire una successione di numeri complessi: a quale delle soluzioni complesse converge la successione? Per fissare le idee, supponiamo di analizzare l'equazione X z 3 1 =, che ammee in C re soluzioni z 1, z, z 3. Ci piacerebbe poer dividere il piano complesso in re regioni R 1, R, R 3 ali che se z appariene alla regione R i allora la corrispondene successione converge alla soluzione zi. Per disinguere le re regioni possiamo uilizzare re colori; in alri ermini, se assegniamo a ciascuna soluzione un colore, e coloriamo ogni puno del piano complesso con il colore della soluzione a cui converge l algorimo di Newon quando si pare da quel numero, ci piacerebbe oenere una semplice colorazione del piano. Illusione! La risposa è sorprendene: oeniamo un fraale. Lungo le semiree che escono dall'origine si noano delle configurazioni a forma di goccia che presenano la ipica omoeia inerna delle figure fraali. Ingrandendo una di quese gocce si osservano gocce simili via via più piccole.

32 La crescia logisica Abbiamo viso che il modello di Malhus x +1 = ax con a > 1, è adao a descrivere la crescia esponenziale di una popolazione solo in una fase iniziale, nell'ipoesi che le risorse ambienali siano illimiae, ma è inadao, su lungo periodo, a descrivere realisicamene quano accade: all'aumenare della popolazione diminuiscono le risorse disponibili, aumena l'inquinameno ambienale e in generale il faore di crescia a non rimane cosane, ma diminuisce. Formuliamo l'ipoesi più semplice: che a decresca linearmene al crescere di x con una cera pendenza b; dunque sosiuiamo, nel modello malhusiano, a bx ad a. Oeniamo il modello di Verhuls (Pierre Verhuls, ) o crescia logisica, che è un SDD quadraico: x +1 = x (a bx ), dove a e b sono parameri posiivi: il primo è legao al asso di crescia della popolazione, il secondo descrive la limiaezza delle risorse al crescere della popolazione. Soliamene b è pic-

33 colo rispeo ad a, in modo ale che almeno inizialmene risuli x +1 = ax bx ax e la crescia sia di ipo malhusiano. Ecco un esempio. Una popolazione è soggea ad una crescia logisica con a = 1. e b = 1 6. Vediamo che cosa accade al variare di x = 1, 1, 5, 1,, 5, Indipendenemene dal valore iniziale ue le successioni convergono a, per difeo se x <, per eccesso se x >. Ora siamo in grado di capire perché: i puni di equilibrio del SDD x +1 = x (a bx ). sono le soluzioni dell'equazione x = x (a bx) cioè x * a 1 = (e x ** =, soluzione priva di ineresse). b Nel nosro caso l'equilibrio è dunque E =./.1 =, come ci aspeavamo. Osserviamo dal grafico che si raa di un equilibrio sabile almeno localmene: per ogni valore x > la successione converge a E. Il significao fisico del numero E è chiaro: si raa del numero massimo di individui che l'ambiene caraerizzao dai parameri a e b è in grado di sopporare; se x < E la popolazione può aumenare fino a E, se x > E, la popolazione diminuisce fino a E. Con x < abbiamo invece una successione divergene a, il che ci fa capire che non è un equilibrio sabile e che E non è globalmene sabile. In fondo riroviamo una siuazione molo simile ad alre che abbiamo già inconrao con i SDD lineari: E è un araore. C'è però una novià: se si osserva il grafico per x = 1, 1, 5, si noa che le successioni inizialmene crescono sempre di più (la pendenza aumena), fino a raggiungere il valore 1, e poi si invere la endenza; la pendenza (inesa come differenza x +1 x ) diminuisce e ende a. In effei si può dimosrare che qualunque sia x, purché

34 minore di E/, risula x x 1 < x +1 x fino a che x < E/. Deo in alri ermini il "puno di flesso" delle successioni ha sempre valore E/. Quesa osservazione è molo imporane, non solo nello sudio delle popolazioni. Pensiamo per esempio alla diffusione dei elefonini: abbiamo inizialmene una fase in cui il numero di elefonini vendui aumena sempre di più (con pendenza crescene). Ad un cero puno il mercao comincia a saurarsi, e la pendenza comincia a diminuisce; l'informazione preziosa è quesa: il numero di elefonini vendui fino a quel momeno rappresena circa la meà di quelli che il mercao può assorbire. Il puno di equilibrio E è ciò che in economia si chiama mercao poenziale. Crescia logisica e caos Dall'esempio ora viso poremmo concludere che i SDD quadraici siano "innocui" e non presenino sosanziali novià rispeo ai SDD lineari; l'unica novià sembra essere il fao che un equilibrio può essere localmene sabile (anziché globalmene sabile come nei SDD lineari): se x appariene ad un cero inervallo che coniene l'equilibrio E, chiamao bacino di arazione (nell'esempio illusrao è l'inervallo (, )), allora la corrispondene successione converge a E, alrimeni diverge. Non è così. La convergenza o la divergenza non sono gli unici comporameni possibili per un SDD: ancora una vola il caos è in agguao. Analizziamo il SDD quadraico x +1 = 4x (1 x ). Gli equilibri si rovano risolvendo l'equazione x = 4x (1 x), che ammee la soluzione banale x = e la soluzione x = 3/4 =.75. Esploriamo il sisema, per esempio parendo da x =.8. x[] x[] x[] x[] x[],8 1,14784,81 3,334 4,9794 1,64 11,539 1, , ,3534,916 1,99994, , ,9143 3,891 13,5 3, , , , ,98 4, , ,868 5, ,394 5, , , , ,1568 6, , ,9976 7, ,6174 7,34 37, ,951 8, ,3173 8, ,63 48,3768 9, ,711 9,911 39,51 49,1454