tp = 0 P + t r a 0 P Il modello di crescita aritmetico deriva dalla logica del tasso di interesse semplice

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1 Eserciazione 7: Modelli di crescia: arimeica, geomerica, esponenziale. Calcolo del asso di crescia e del empo di raddoppio. Popolazione sabile e sazionaria. Viviana Amai 03/06/200

2 Modelli di crescia Nella quina lezione sono sai definii e calcolai i assi di incremeno di una popolazione facendo riferimeno ad un singolo anno. E se fossimo ineressai alla velocià di variazione di una popolazione ra l anno e l anno + n? In queso caso il asso di incremeno viene a configurarsi come una velocià media ed è necessario aggiungere delle ipoesi aggiunive sulla popolazione di riferimeno per il suo calcolo. A seconda delle ipoesi che si formulano si oengono dei modelli di crescia differeni, in paricolare i re più diffusi sono il modello di crescia arimeico, quello geomerico e quello esponenziale. Crescia arimeica La popolazione di riferimeno è la popolazione iniziale 0 P. Se si ipoizza che l incremeno assoluo sia cosane nel empo si oiene il modello di crescia arimeico, secondo il quale l ammonare della popolazione all isane, assumendo come popolazione di riferimeno la popolazione all isane 0, è fornio da: P = 0 P + r a 0 P Il modello di crescia arimeico deriva dalla logica del asso di ineresse semplice P = 0 P + r a 0 P 2P = P + r a 0 P = 0 P + r a 0 P + r a 0 P = 0 P + 2r a 0 P 3P = 2 P + r a 0 P = 0 P + 2r a 0 P + r a 0 P = 0 P + 3r a 0 P... P = P + r a 0 P = 0 P + ( )r a 0 P + r a 0 P = 0 P + r a 0 P Ricavando dall espressione precedene il asso di crescia arimeico si oiene: Osservazioni: r a = P 0 P 0P = (0,) 0P - Il ermine arimeico deriva dal fao che r a è equivalene alla media arimeica degli n assi annui. r i = i P i P r a = n r i ip n - Il asso di incremeno arimeico può anche essere calcolao come rapporo ra l incremeno medio per unià di empo e l ammonare degli individui che nello sesso periodo hanno conribuio a generarla: P 0 P r a = 0P dove l incremeno medio per unià di empo è: I = P 0 P = I P i=

3 Crescia geomerica Nella maggior pare dei casi è adeguao considerare che i soggei via via enrai a far pare della popolazione conribuiscano alla variazione demografica negli anni successivi al loro ingresso. Per ale ragione la popolazione di riferimeno è quella esisene all inizio di ciascun anno componene l inervallo. Quesa ipoesi dà luogo al modello di crescia geomerico. Siano 0 P la popolazione iniziale e r g il asso di crescia geomerico, supposo cosane in ciascun anno ra 0 e. Allora la popolazione dopo anno, 2 anni,..., anni ammonerà a: P = 0 P + 0 P r g = 0 P ( + r g ) 2P = P + P r g = P ( + r g ) = 0 P ( + r g )( + r g ) = 0 P ( + r g ) 2 3P = 2 P + 2 P r g = 2 P ( + r g ) = 0 P ( + r g ) 2 ( + r g ) = 0 P ( + r g ) 3... P = P + P r g = P ( + r g ) = 0 P ( + r g ) ( + r g ) = 0 P ( + r g ) Dall ulima uguaglianza si ricava che, soo le ipoesi enunciae in precedenza l ammonare della popolazione al empo è dao da: P = 0 P ( + r g ) Con semplici passaggi algebrici si può quindi ricavare il asso di crescia geomerico P 0P = ( + r g) P 0P = + r P g r g = 0P il cui nome è dovuo al fao che ( + r g ) può inendersi come media geomerica dei faori di incremeno ( + r i ): r i = i P i P i P n ( + r i ) Esso è noo anche come asso di crescia medio annuo composo in quano la sua formulazione ipoizza un modello di sviluppo della popolazione in funzione del empo che è idenico a quello di un capiale invesio ad un asso di ineresse r g in regime di capializzazione composa (l ineresse si aggiunge al capiale alla fine di ogni periodo e conribuisce a sua vola a fruare ineresse nel corso del periodo successivo). Crescia esponenziale Si ipoizza che ogni unià aggiuniva della popolazione conribuisca a sua vola all incremeno della sessa. Per ale ragione la popolazione di riferimeno è quella esisene in ogni inervallo infiniesimamene piccolo. In praica è come se la popolazione venisse aggiornaa isane per isane. Il modello che ne consegue è chiamao modello di crescia esponenziale e si può calcolare nel seguene modo: P = 0 P e r Con semplici passaggi algebrici si ricava la formulazione del asso di incremeno coninuo ( ) P = 0 P e r P 0P = P er r = ln 0P r = ( ) ln P r = 0P [ln ( P ) ln ( 0 P )] i= 2

4 In queso coneso si assimila lo sviluppo della popolazione a quello della crescia di un capiale in regime di capializzazione coninua ad un asso di ineresse r. Si osservi che per poer commenare in maniera agevole i assi di crescia è opporuno moliplicare i valori oenui per 000, così come si fa con i consuei assi. Per poer confronare i re modelli è uile darne una rappresenazione grafica. A ale scopo si può considerare l evoluzione della popolazione mondiale dal 750 fino ad oggi in base ai segueni dai, espressi in milioni. Anno Popolazione Dopo aver calcolao i assi di crescia secondo i re modelli con riferimeno al periodo (moliplicai per 000): r a = P 0P 0P 000 = [ ] [ r g = P 0P 000 = 000 = ] = ( ) r = ln P 000 = 0P 250 ln ( ) = si sono rappresenai i senieri di crescia. Nella Figura si osserva come il modello di crescia arimeica, si adaa poco ai dai reali, menre il modello geomerico e quello esponenziale, si sovrappongono e colgono meglio l andameno reale dell evolversi della popolazione. Esercizio Avendo a disposizione i segueni dai (in migliaia): Calcolare e fornire un inerpreazione per: a) il asso di incremeno arimeico; b) il asso di incremeno geomerico; a) il asso di incremeno esponenziale. Esercizio Popolazione Si misuri l incremeno della popolazione P dal 98 al 99 e dal 99 al 994, araverso il asso di incremeno arimeico, geomerico ed esponenziale, poendo disporre dell ammonare dei resideni alle dae soo indicae Popolazione

5 Figura : Senieri di crescia arimeica, geomerica ed esponenziale Tempi di raddoppio e di dimezzameno L inensià dell accrescimeno di una popolazione può essere valuaa con maggior chiarezza converendo il valore del asso di crescia in empo di raddoppio, ossia nel numero di anni necessari affinché una popolazione, che si sviluppi ad un dao asso di crescia, raddoppi il proprio ammonare. Analogamene quando il asso di crescia è negaivo si può calcolare il empo di dimezzameno, cioè il numero di anni necessari affinché una popolazione, che si sviluppi ad un dao asso di crescia, dimezzi la propria numerosià. Come si può osservare i empi di raddoppio e di dimezzameno dipendono dai assi di crescia e di conseguenza dal modello di crescia adoao. Crescia arimeica Si fissi l aenzione sul empo di raddoppio. Si consideri l ammonare iniziale della popolazione 0P e poiché si vuole ricavare il empo necessario affinché essa raddoppi si ponga l ammonare finale della popolazione pari a P = 2 0 P. Sosiuendo dunque quese due quanià nell equazione che descrive il modello di crescia arimeico e ricavando il valore di si oiene proprio il empo 4

6 di raddoppio: P = 0 P + r a 0 P 2 0 P = 0 P + r a 0 P (si divide per 0 P ) 2 = + r a = r a = r a Dunque il empo di raddoppio coincide con l inverso del asso di incremeno. Con passaggi del uo analoghi si può calcolare il empo di dimezzameno, considerando che l ammonare finale della popolazione sarà ora fornio da: Il empo di dimezzameno è dunque pari a: P = 0 P + r a 0 P P = 2 0 P 2 0 P = 0 P + r a 0 P (si divide per 0 P ) 2 = + r a Crescia geomerica 2 = r a = 2r a Il procedimeno è lo sesso seguio in precedenza solo che si deve far riferimeno al modello di crescia geomerico. - Tempo di raddoppio: P = 0 P ( + r g ) 2 0 P = 0 P ( + r g ) (si divide per 0 P ) 2 = ( + r g ) = ln( + r g ) ( ln a b = b ln a ) = ln( + r g ) = ln(+r g) 5

7 - Tempo di dimezzameno: P = 0 P ( + r g ) 2 0 P = 0 P ( + r g ) (si divide per 0 P ) 2 = ( + r g) ln 2 = ln( + r g) ( ln a b = b ln a ) ln = ln( + r g ) ( ln a b = ln a ln b, ln = 0) Crescia esponenziale = ln(+r g) Il procedimeno è lo sesso seguio in precedenza solo che si deve far riferimeno al modello di crescia esponenziale. - Tempo di raddoppio: P = 0 P e r 2 0 P = 0 P e r (si divide per 0 P ) 2 = e r = r = r - Tempo di dimezzameno: P = 0 P ( + r g ) 2 0 P = 0 P e r (si divide per 0 P ) 2 = er ln 2 = r ln = r = r Prima di eseguire qualche calcolo è necessario fare la seguene osservazione. Osservazione: I assi di raddoppio e di dimezzameno calcolai secondo il modello geomerico o esponenziale coincidono ra loro. Infai le quanià a numeraore sono ideniche, ma anche quelle a denominaore coincidono. Si può provare ciò con semplici passaggi algebrici: ln( + r g ) = ln ) ( ( + P 0P = ln [ ] = ln P = 0P [ln P ln 0 P ] = r P 0P ) = 6

8 Esercizio 3 Con riferimeno ai assi di incremeno ricavai nell Esercizio calcolare i empi di raddoppio per la popolazione consideraa. Esercizio 4 Calcolare i empi di dimezzameno per i assi di incremeno calcolai nell Esercizio 2. Esercizio 5 Una popolazione, originariamene, di 000 individui, occa quoa 500 dopo 50 anni.. Qual è il asso di incremeno arimeico? Quani individui si roverebbero (con queso asso) dopo 70 anni? 2. Qual è il asso di incremeno geomerico o esponenziale? Quani individui si roverebbero, con quesi assi, dopo 70 anni? Esercizio 6 Il asso di crescia arimeico di una popolazione ra il 93 e il 936 è sao del 2. La popolazione al ammonava a 300 unià. Calcolare la popolazione al..93. La popolazione sabile e la popolazione sazionaria Dopo aver analizzao in deaglio fenomeni come la moralià e la fecondià non resa che analizzare gli effei della loro azione congiuna sul processo di accrescimeno e sulla sruura per eà di una popolazione. Per fare ciò occorre inrodurre i due concei di popolazione sazionaria e sabile. La popolazione sazionaria idenifica la sruura per eà che una popolazione verrebbe ad assumere, se fosse ineressaa dallo sesso numero di nascie e dalla sessa serie di probabilià di more, su un lungo periodo, indipendenemene dalla sua consisenza numerica e dalla sua sruura per eà iniziale. Essa presena quese re caraerisiche: - il numero di nai coincide con il numero di decessi: ω l 0 = - la sruura per eà si maniene fissa nel empo poiché il numero di nai e la serie delle probabilià di more sono manenui cosani - la popolazione finale è pari a P = l 0 e 0 - i assi di naalià e moralià coincidono e sono pari al reciproco della speranza di via: x=0 d x n = m = N P = l 0 l 0 e 0 = e 0 In una popolazione sabile, invece, la serie delle probabilià di more q x è manenua cosane ma la funzione di fecondià per eà produce un numero di nai che varia nel empo secondo un modello di crescia con asso pari a r. Si può dimosrare che variando le nascie con asso di crescia cosane, anche la popolazione varia secondo lo sesso modello e lo sesso asso. Inolre 7

9 soo le due ipoesi sopra elencae si prova che dopo un lasso di empo sufficienemene lungo la popolazione raggiunge una deerminaa sruura per eà che resa fissa. Ecco perché si parla di popolazione sabile e si dice che la popolazione nel processo di convergenza allo sao sabile dimenica la sua sruura originaria, per quano irregolare e disora possa essere. Si è solii calcolare popolazione sazionaria e popolazione sabile disinguendo per genere dao che uomini e donne sono sooposi a livelli di moralià differeni. Queso spiega perché le principali foni saisiche forniscono non solo la avola di moralià per l inera popolazione, ma anche disina per genere. Come si può facilmene immaginare è assai improbabile che una popolazione reale enga cosani i propri livelli di moralià e fecondià per eà per un lasso di empo abbasanza lungo da assumere approssimaivamene i caraeri di sabilià. L impiego della nozione di popolazione sabile sfrua la capacià del modello di meere in evidenza cosa succederebbe alla sruura per eà di una popolazione se sooposa per un lasso sufficiene di empo all azione congiuna di ane diverse possibili combinazioni di assi di crescia e di leggi di moralià. Per farsi un idea di quesa capacià esplicaiva della popolazione sabile si può considerare la Figura 2 proposa da Coale e. al (983). La abella a blocchi ripora sulle colonne il asso di accrescimeno r e sulle righe la speranza di via alla nascia e 0. Ciascun blocco mee in evidenza qual è l impao che quese due quanià hanno su alcuni indici di sruura (composizione percenuale della popolazione ed eà media) e su alcuni assi (asso di naalià, di moralià e asso neo di riproduivià). Si osserva che:. Fissao un cero livello della speranza di via (una riga), al crescere del asso di incremeno, crescono la popolazione 0-4 e la naalià, calano la moralià e la componene anziana. 2. Fissao un cero livello di incremeno, al crescere della speranza di via, aumena la popolazione 65e+ e calano naalià e moralià. 3. Si considerano due ben disine combinazioni di moralià e crescia, una ad ala moralià e bassa crescia (e 0 = 20 e r = 0.0), l alra a bassa moralià e crescia più elevaa (e 0 = 50 e r = 0.04). Il passaggio dalla prima alla seconda combinazione compora un aumeno sensibile della popolazione in eà 0-4 (da a 5.97), ma il asso lordo di riproduivià resa pressoché idenico.il asso di moralià scende drasicamene (da a 6.00) ma la proporzione di individui sopra i 65 anni varia di pochissimo (da.84 a.59). Sembrerebbe quindi che le variazioni di fecondià e di sopravvivenza incidono direamene sul peso della componene giovanile, ma in modo indireo e meno evidene sul peso della componene anziana. 8

10 Fissao il asso di incremeno r: - all'aumenare della speranza di via alla nascia, diminuiscela popolazione in eà 0-4 e aumena quella in eà 65 e +. Perano l'eà media aumena. - naalià e moralià diminuiscono. Oss: non si può dire che la popolazione invecchia perchè la moralià diminuisce. In queso caso si deve anche ener conro che la via media si allunga ed è quesa la principale causa di r e 0 Popolazione in eà 0-4 (%) e 0 Popolazione in eà 65 e + (%) e 0 Eà media e 0 Naalià e 0 Moralià e 0 Tasso lordo di riproduivià Fissao un valore per la speranza di via si noa che: - la percenuale di giovani aumena, menre quella relaiva agli anziani diminuisce. Dunque l'eà media si abbassa. - la naalià cresce, menre diminuisce la Figura 2: Alcune caraerisiche di popolazioni sabili femminili al variare della speranza di via alla nascia e del asso di accrescimeno. (Fone: A.j. Coale, P. Demeny, B. Vaughan. Regional Model Life Tables and Sable Populaions, Second Ediion, New York, Academic Press 983.) 9

11 Alri esercizi Esercizio 7 Si supponga di voler misurare l incremeno della popolazione ialiana ra il 95 e il 98 disponendo dei segueni dai: Censimeno Censimeno Si calcolino i assi di incremeno e i relaivi empi di raddoppio. Esercizio 8 A quale asso di incremeno geomerico si sviluppa una popolazione che si raddoppia ogni 0 anni? Esercizio 9 Tra e + n la popolazione A si è accresciua al asso di geomerico del 6 e la popolazione arimeica al asso di incremeno arimeico del 6. Poso che si abbia A P 0 = B P 0 quale delle segueni relazioni è vera? a) A P B P b) A P B P c) A P = B P d) nessuna delle precedeni Soluzioni Esercizio Poiché il asso di incremeno arimeico è fornio da: r a = P 0 P 0 P = (0,) 0 P occorre deerminare l incremeno assoluo ra l isane iniziale e l isane finale e il lasso di empo per il quale si vuole calcolare l incremeno. ( , ) = P P = = 2420 L inervallo di empo ra i due censimeni è di 0 anni e un giorno, cioè: = = Dunque il asso di crescia arimeico è pari a: r a = =

12 Si calcola ora il asso di crescia geomerico: ( ) ( P r g = 0P 000 = ) = 4.38 Resa da calcolare il asso di crescia esponenziale: r = [ln( P ) ln( 0 P )] 000 = [ln(56557) ln(5437)] 000 = Si considera ora l inerpreazione dei assi calcolai: i) Tasso di incremeno arimeico: per ogni 000 abiani esiseni al si sono aggiune annualmene durane l inervallo censuario circa 4 persone (4.47 unià); ii) Tasso di incremeno geomerico: per ogni 000 abiani esiseni al si sono aggiune annualmene durane l inervallo censuario circa 4 persone (4.38 unià); iii) Tasso di incremeno esponenziale: per ogni 000 abiani esiseni al si sono aggiune annualmene durane l inervallo censuario circa 4 persone (4.37 unià); Come ci si aspeava il asso di incremeno arimeico è superiore agli alri due assi di crescia e il asso di incremeno geomerico è superiore a quello esponenziale. Esercizio 2 Per calcolare i due assi di crescia occorre deerminare l inervallo emporale ra il e il : = ( ) = 0.7 A queso puno si può procedere al calcolo dei assi di crescia arimeico, geomerico ed esponenziale espressi per 000: r a = (3.0.98,3.2.99) 0P 000 = ( ) ( P r g = 0P 000 = = ) = r = [ln( P ) ln( 0 P )] 000 = [ln(389) ln(3564)] 000 = Per il periodo ra il e il , l inervallo è di esaamene re anni e non coinvolge alcuna frazione di anno. Procedendo in modo del uo analogo a quano fao in precedenza si oiene: r a = (3.0.99, ) 0P 000 = =

13 ( ) ( ) P r g = 0P = = r = [ln( P ) ln( 0 P )] 000 = [ln(3880) ln(389)] 000 = I assi di incremeno calcolai sono negaivi poiché la popolazione ha subio un decremeno nell arco emporale considerao. Comunque, si osserva che il asso di crescia arimeico è superiore (anche se di poco!) al asso di crescia geomerico, ed enrambi quesi assi sono superiori a quello esponenziale. Esercizio 3 Disponendo dei assi di incremeno il calcolo dei empi di raddoppio è immediao: = r a = = 224 = ln(+r g) = ln( ) = 59 = r = = 59 Dunque si osserva che la popolazione impiegherebbe circa 224 anni per raddoppiare la sua numerosià secondo il modello di crescia arimeico e circa 59 anni secondo i modelli geomerico ed esponenziale (osserviamo che i empi di raddoppio coincidono nel caso del modello di crescia esponenziale e geomerico). Esercizio 4 Poichè si richiedono i empi di dimezzameno è necessario considerare i assi riferii al rienni = 2r = a 2 ( ) = 53 = ln(+r = g) ln( ) = 735 = r = = 735 Si osserva che il empo di dimezzameno è più breve se si adoa un modello di crescia arimeico (circa 53 anni v.s. circa 735 anni). Inolre si noi che i empi di raddoppio coincidono nel caso del modello di crescia esponenziale e geomerico. Esercizio 5 Avendo ui gli elemeni per calcolre i assi di incremeno basa applicare le formule corrispondeni.. Il asso di incremeno arimeico è pari a: r a = P 0 P 0 P 000 = (0,) 0P Dopo 70 anni la popolazione ammonerà a: 000 = = 0 70P = 0 P + r a 0 P = = 700 2

14 2. Si comincia col calcolare il asso di incremeno geomerico e il numero di individui dopo 70 anni secondo ale modello: ( ) ( ) r g = P 0P = = P = 0 P ( + r g ) = 000( ) 70 = 764 Per quano riguarda il asso di incremeno esponenziale i risulai sono pari a: r = [ln ( P ) ln ( 0 P )] 000 = 50 [ln500 ln000] 000 = P = 0 P e r = 000e = 764 Poichè il asso di incremeno geomerico ed esponenziale ipoizzano che coloro che enrano a far pare della popolazione conribuiscano al suo accrescimeno, l ammonare della popolazione dopo 70 anni sarà più consisene secondo quesi modelli di crescia, rispeo a quello arimeico. Esercizio 6 Secondo l equazione del modello di crescia arimeico: P = 0 P + r a 0 P Perano ricavando la popolazione iniziale e enendo cono che l arco di empo considerao è = 5 anni si oiene: P = 0 P + r a 0 P P = 0 P ( + r a )..93 P =..936 P ( + r a ) = = 283 Esercizio 7 Si comincia col calcolare i assi di incremeno: - Il asso di incremeno arimeico è pari a: r a = P 0 P 0 P 000 = - Il asso di incremeno geomerico è pari a: ( ) ( P r g = 0P 000 = - Il asso di incremeno esponenziale è pari a: = ) = r = [ln ( P ) ln ( 0 P )] 000 = [ln56557 ln4756] 000 = Si calcola ora il empo di raddoppio: - Modello di crescia arimeico: - Modello di crescia geomerico: = - Modello di crescia esponenziale: = r a = = 58 ln( + r g ) = ln( ) = 20 = r = = 20 3

15 Esercizio 8 Ricordando che con il asso di incremeno geomerico il empo di raddoppio è dao da: = ln( + r g ) segue che: = ln(+r g) ln( + r g ) = ln( + r g ) = + r g = e r g = e = e 0 = Esercizio 9 A differenza del modello di crescia arimeico, lo sviluppo geomerico ipoizza che i soggei via via enrai a far pare della popolazione conribuiscano anch essi alla variazione demografica negli anni successivi al loro ingresso. Di conseguenza, poichè le popolazioni di parenza presenano il medesimo ammonare e i assi di incremeno lo sesso valore allora sarà vera la prima relazione: AP B P 4

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