COME RISOLVERE GLI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA 2

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1 COME RISOLVERE GLI ESERCIZI DI ANALISI MATEMATICA Ecco una piccola e semplice guida che illusra come risolvere, a grandi linee gli esercii proposi agli esami di Analisi Maemaica (del DM 509/99, cioè successione e serie di funioni, ricerca di esremi e ricerca di esremi vincolai, equaioni differeniali e inegrali doppi, ripli e di superficie. Ovviamene io non sono un robo, quindi è possibile che io sbagli qualcosa, o addiriura che i miei procedimeni siano errai. Per queso moivo se noae sranee, assurdià, o peggio errori gravi, vi prego di segnalarmeli quano prima, in modo da fornire agli alri una guida sempre migliore. Non vogliaemene se non ho usao il rigore ipico dei maemaici, ma se l'avessi fao avrei aggiuno cose già ampiamene discusse e spiegae durane le leioni. SUCCESSIONI DI FUNZIONI: Daa la successione f n ( Sudiamo: a Convergena punuale: - Fissiamo (>0 o <0, o >a o <b, a seconda del dominio della funione - Calcoliamo lim f n n ( Se lim f n ( n che chiamiamo f( Con i meodi e le formule imparai ad Analisi allora la successione converge punualmene a quel valore b Convergena uniforme - Si sudia in ogni inervallo considerao prima (se prima avevamo 3 se ( < 0 f ( 4 se ( > 0 5 se ( 0 Allora si sudia per: <0 lim sup f ( f ( lim sup n < 0 n n < 0 ( 3 e se è 0 allora converge uniformemene nell inervallo considerao (<0 f n >0 lim sup f n < 0 n ( f ( lim sup f n < 0 n ( 4 e se è 0 allora converge uniformemene nell inervallo considerao (>0 0 NON SI GUARDA perché non è un inervallo Miniguida realiaa da Teodoro Monanaro (Sul sio ane alre guide

2 c Se in un inervallo non converge uniformemene si guarda in un inervallo più sreo ( ad esempio, se non è convergene in ]-,0[ possiamo provare a prendere l inervallo ]-,a[ Quindi rifacciamo i coni e vediamo se vale lì. Poeva ad esempio capiare che sup(f n (-. era proprio uguale a f n (0 che era diverso da 0. In al caso si può ogliere quel puno (0 meendo a 0 così sup(f n (-. f n (a magari proprio uguale a 0. Oerremmo così la convergena uniforme in ]-,a[ SERIE DI FUNZIONI a Bisogna cercare prima di uo la convergena punuale: Fissiamo (come nella successioni Calcoliamo lim ( u k k Se lim u k ( k allora la serie non può convergere punualmene, e quindi è inuile cercare la convergena uniforme nell inervallo specifico; Se invece lim ( allora può convergere punualmene e bisogna verificarlo. Ci sono modi per farlo: Araverso uno dei eoremi visi ad Analisi per le serie numeriche Riconducendosi a (o meglio maggiorando la nosra serie con una serie noa: k che sappiamo convergere per - < < al valore k 0 ( k k che sappiamo convergere per - < < al valore k 0 ( k k che sappiamo convergere per - < < al valore k 0 k che sappiamo convergere per - R < < R, con R > 0, al valore e k 0 k! k ( k che sappiamo convergere R e k N, al valore sin( (k! k 0 k ( k che sappiamo convergere R e k N, al valore cos( k 0 (k! ( k k che sappiamo convergere per - < <, al valore log( k 0 ( k k ( k che sappiamo convergere per - < <, al valore arcan( (k k 0 u k k b Come nel caso delle successioni schemaio ui i valori e gli inervalli rovai... se ( < 0 f (... se ( > 0... se ( 0 Miniguida realiaa da Teodoro Monanaro (Sul sio ane alre guide

3 c In ognuno di quesi inervalli cerchiamo la convergena uniforme: Ci sono meodi per cercare la convergena uniforme: n Calcoliamo lim sup u k ( uk ( e vedere se è 0, in al caso sarebbe k k 0 k 0 convergene uniformemene, alrimeni no. Calcoliamo sup araverso le derivae e poi vediamo se k 0 u k ( sup u k ( converge oalmene. Se converge oalmene, allora anche la nosra serie converge oalmene SOMMA DI UNA SERIE Quando viene richiesa la somma della serie bisogna sfruare i eoremi di passaggio al limie soo il segno di inegrale e soo il segno di derivaa. Quindi daa la serie u k ( cerco di derivare o inegrare in modo da oenere una delle serie di k 0 cui conosciamo la somma (quelle vise prima e poi una vola calcolaa la somma della serie derivaa (o inegraa eseguiamo l operaione conraria per oenere la somma della nosra serie di parena. Se ad esempio abbiamo. k 0 k k, noi conosciamo la serie geomerica: che sappiamo convergere per - < < al valore k k 0 Quindi basa derivare: k 0 k k d k d d d k 0 k 0 k d d ( E quesa è la somma della serie!!! SERIE DI FOURIER Se ci viene assegnaa una funione e ci viene chieso di calcolare la serie di Fourier: La prima cosa da fare è vedere se la funione è T- periodica, poi se è coninua a rai (in modo da poer calcolare i coefficieni di Fourier, e poi se è regolare a rai, in modo da poer Miniguida realiaa da Teodoro Monanaro (Sul sio ane alre guide 3

4 f ( f ( affermare che converge punualmene al valore, e uniformemene in ogni inervallo in cui è regolare. Per le SERIE DI TAYLOR non scrivo niene perché basa applicare alla leera la definiione (verificando ovviamene le condiioni iniiali. RICERCA DI ESTREMI DI FUNZIONI f n k : R R (SENZA VINCOLO. Calcolare per prima cosa il dominio della funione sin cos. Se è possibile semplifichiamo (se si ha e è possibile sudiare sudiare solo sin*cos perché l esponeniale è crescene e i ma e i min di sin*cos sono gli sessi sin cos di e 3. Calcolare f (, e porlo uguale a 0 Ricordo ke f (, è cosiuio dalle derivae pariali rispeo ad ogni variabile di f(, f (, ( f, f dove f è la derivaa pariale di f rispeo a e f è la derivaa pariale di f rispeo a. 4. esce fuori un sisema che dà luogo a dei puni criici 5. Per capire la naura dei puni criici rovai, calcoliamo la marice Hessiana in ognuno di essi (ricordo ke la marice Hessiana è: D derivaa rispeo a di f f (, derivaa rispeo a di f derivaa rispeo a di f derivaa rispeo a di f 6. Calcoliamo il deerminane delle marici Hessiana e poi: Se DET < 0 allora D f è indefinia, quindi è un PUNTO DI SELLA Se DET > 0 allora D f è definia: - posiiva se a - negaiva se a Se DET 0 allora D f non si sa se è minimo o massimo, perché in queso caso possiamo dire solo se è semidefinia (condiione necessaria ma non sufficiene perché sia ma o min. Possiamo però affermare che: 7. Se non si riesce a capire con la marice Hessiana (quindi nel caso del DET0, si vede Segno di funione e a e a - semidefinia posiiva se a - semidefinia negaiva se a hanno enrambi segno posiivo MIN hanno enrambi segno negaivo MAX oppure a oppure a ha segno posiivo non è di sicuro Ma ha segno negaivo non è di sicuro Min Derivaa: dove si annulla lì c è un esremo (serve solo a vedere se ci sono uleriore esremi Calcoliamo il valore della funione in ognuno dei puni rovai e sabiliamo qual è il ma e qual è il min Miniguida realiaa da Teodoro Monanaro (Sul sio ane alre guide 4

5 RICERCA DI ESTREMI DI FUNZIONI f n k : R R (CON VINCOLO. Calcolare per prima cosa il dominio della funione sin cos. Se è possibile semplifichiamo (se si ha e è possibile sudiare sudiare solo sin*cos perché l esponeniale è crescene e i ma e i min di sin*cos sono gli sessi sin cos di e 3. Calcolare f (, e porlo uguale a 0 Ricordo ke f (, è cosiuio dalle derivae pariali rispeo ad ogni variabile di f(, f (, ( f, f dove f è la derivaa pariale di f rispeo a e f è la derivaa pariale di f rispeo a. 4. esce fuori un sisema che dà luogo a dei puni criici Per capire la naura dei puni criici rovai, POSSIAMO CALCOLARE la marice Hessiana in ognuno di essi (come fao prima con deerminani; Anche se possiamo ranquillamene calcolare il valore della funione nei puni rovai (sosiuiamo a e a i valori rovai per deerminare quale sia il ma e quale sia il min 5. Calcoliamo il valore della funione nei PUNTI di NON DERIVABILITA. 6. Poi dobbiamo ricercare i puni di esremo lungo la froniera e per farlo possiamo usare meodi: a METODO DELLA PARAMETRIZZAZIONE DELLA FRONTIERA E il caso in cui abbiamo la possibilià di creare una funione ke permee di condursi ad una funione di grado ( faccio un esempio: se abbiamo che la froniera sia una circonferena di raggio, allora noi possiamo creare una funione del ipo: ϕ ( (*cos,*sin Che ci permee di sudiare la funione composa: g( ( f oϕ( che è una semplice funione di grado che sappiamo ben sudiare (Analisi (calcoliamo derivaa, se possibile, e vediamo in quali puni si annulla. I puni di esremo per la funione g( ( f oϕ( saranno gli sessi di f(, da cui siamo parii, quindi una vola individuai i puni baserà calcolare il valore della funione in ognuno di quesi puni e confronare i valori per oenere quale puno sarà ma e quale min. b METODO DEI MOLTIPLICATORI DI LA GRANGE Si fa in modo che il vincolo sia espresso come insieme di livello 0 { F ( 0} Miniguida realiaa da Teodoro Monanaro (Sul sio ane alre guide 5

6 (Es: C :{ } { } divena C :{ 0} { 0} Poi scriviamo la funione ausiliaria: φ f λf µ F. Dove, nell esempio, F e F E ricordo ke se C è definio come INTERSEZIONE di insiemi, allora si cosruisce una sola funione ausiliaria φ f λf µ F Menre se è definio come UNIONE si creano ane funioni ausiliarie quani sono gli insiemi φ f λf, φ f µ F, e così via. A queso puno calcoliamo gli esremi LIBERI (non vincolai per ogni funione ausialiaria φ, cioè calcoliamo φ,lo poniamo uguale a 0 ecc (vedi calcolo di esremi non vincolai. Al ermine calcoliamo il valore della funione nei puni rovai per capire qual è il ma e qual è il min 7. Conrolliamo, serve solo per essere sicuri di non aver dimenicao nessun puno, se ci sono esremi negli esremi del dominio (ramie il limie per e endeni ad infinio. CALCOLO DELLA NORMA Se abbiamo un veore,, ( 3 3 allora la norma è uguale a Se abbiamo veori a (-,-,- e b (, 3, e vogliamo calcolare la norma del prodoo veoriale: calcoliamo prima il prodoo veoriale: i j k a b de i j 6k k 3i j i j 5k 3 Quindi il veore risulane sarà: a b (,,5 E quindi la norma di ale prodoo è a b ( ( ( LUNGHEZZA DI UNA CURVA Se ϕ è una curva regolare, la lunghea di ϕ in un inervallo [ b] formula a, si calcola ramie la seguene Miniguida realiaa da Teodoro Monanaro (Sul sio ane alre guide 6

7 l ( ϕ,[ a, b] ϕ'( d b a Dove ϕ '( è la norma della derivaa di ϕ, (ho spiegao come calcolarla al puno precedene. EQUAZIONI DIFFERENZIALI - A VARIABILI SEPARABILI ' f ( g( d d f ( g( d g( f ( d d g( f ( d Esempio: ' d d d d d c d - log log - log c - log c - log log c e e e c Nell ulimo passaggio ho sosiuio posso chiamarla come voglio. c c perché è pur sempre una variabile, quindi a e Coninuando c (- c definia per - c 0 - c E a queso puno se abbiamo le condiioni iniiali possiamo deerminare anche c EQUAZIONI OMOGENEE L equaione si rova nella forma ' g Miniguida realiaa da Teodoro Monanaro (Sul sio ane alre guide 7

8 Miniguida realiaa da Teodoro Monanaro (Sul sio ane alre guide 8 Chiamiamo ' ( ' d d E l equaione divena g g ( d d ( d d g( ' g ' d - g( d - g( d d Esempio e ' d d ' oeniamo Sosiuiam * ' ' ' ' d d d d d d ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 3 C B A ( ( ( ( ( ( C B A A C B c log( log(- - log( log - d d d d RISOSTITUIAMO c (- ( log (- ( log c 3 - ( c c c c c c Viso che non ci sono le condiioni iniiali non ha senso rovare (. Abbiamo rovao la CURVA SOLUZIONE.

9 Da queso puno in poi scrivo uiliando L A TEX! Equaioni lineari del ordine Equaioni nella forma: a( ϕ( con a, ϕ coninue in I passo Risolviamo prima l EQUAZIONE OMOGENEA associaa: a( 0 passo d d a( d ( ce a(d a( d d Se poi poniamo A( a(d ( ce A( a( d Cerchiamo la soluione dell equaione complea nella forma a( d c(e A( facciamo fina che c non sia una cosane ma una funione SOLUZIONE GENERALE è u( e A( (c e A( ϕ(d 9

10 dove c cosane arbiraria e A( a(d Procedura generale a Idenificare subio A( e ϕ( b Calcolare soluione di omogenea associaa c Calcolare u( e A( (c e A( ϕ(d d Se ci sono, imporre le condiioni iniiali per rovare cosane e Sosiuire cosane a formula rovaa al puno c Equaioni lineari di ordine k Sono equaioni nella forma: (k a k ( (k...a ( a 0 ( ϕ( con a 0, a,..., a k ϕ coninue in I Il primo membro lo possiamo chiamare L, oenendo: L (k a k ( (k... a ( a 0 ( dove L : C k (I > C(I è un operaore lineare ra spai veoriali di dimensione L equaione COMPLETA è L ϕ( L equaione OMOGENEA è L 0 0

11 L INTEGRALE GENERALE V dell equaione complea è la somma dell inegrale generale dell OMOGENEA associaa una soluione paricolare di equaione COMPLETA: V v 0 v Dove v 0 è l inegrale generale dell omogenea associaa v è l inegrale paricolare di equaione COMPLETA Arrivai a queso puno ci sono modi per risolvere l equaione differeniale: Il meodo di LaGrange Il meodo che fa riferimeno a equaioni lineari a coefficieni cosani METODO DI LAGRANGE della variaione dei parameri Vediamo prima un PO di TEORIA: Cerchiamo una soluione di L ϕ( nella formula v( c i (u i ( i dove c i sono funioni da rovare, menre u i è una base di V 0. Calcoliamo la derivaa prima v ( c i (u i( i c i(u i ( e poniamo : i Ora calcoliamo le alre derivae v ( i c i (u i ( c i(u i ( 0 i c i(u i( e anche qui poniamo : i c i(u i( 0 i

12 v k ( i c i (u k i ( i c i(u k i ( e anche qui poniamo : i c i(u k i ( 0 Le abbiamo calcolae fino all ordine (k-, quindi ci manca ancora condiione: v k ( c i (u k i ( c i(u k i ( e qui, invece, poniamo : c i(u k i ( ϕ( ϕ( i i Lv v k a k v k... a v a 0 v c i (u k i ϕ( a k c i (u k i... a 0 c i (u i ( i i c i ϕ( a j u j i j0 j0 i i a j c i u j i con a k i i qui possiamo riconoscere che a j u j i Lu i quindi j0 ϕ( c i Lu i i qui possiamo riconoscere chelu i 0 per equaione omogenea quindi 0 Scriviamo allora il SISTEMA per i COEFFICIENTI (c ( (c i(,..., c k ( u c u c... u k c k u k c u k c...u k k c k 0 u k c u k c...u k c k ϕ k

13 Ma la marice delle incognie è proprio la marice Wronskiana (W( 0 0 W (C (... 0 ϕ 0 0 C ( W (... 0 ϕ 0 0 C( W (... 0 ϕ E per concludere queso spruo di eoria vi mosro come bisognerebbe risolvere un eserciio con queso meodo: es. e a calcolo soluione dell omogenea associaa 0 λ 0 λ λ ± soluioni sono linearmene indipendeni soluioni sono e, e 3

14 bcalcoliamo la marice Wronskiana ( ( u u W ( e e u u e e c Calcoliamo W ( ( e W e ( 0 e e 0 ( e e 0 0 e ( e e 0 0 /e /e ( e 0 / / 0 /e /e ( 0 /(e /(e 0 /e /e ( e W e / e e dcalcolo i coefficieni ( ( c ( 0 W ( d c ( ϕ( ( ( e e / 0 e e d e ( e / d e e e ( e d ( e e e e e d e e d 4

15 ( e log( e log( e esoluzione PARTICOLARE di EQ. COMPLETA è v( c (u ( c (u ( e e log( e e log( e ATTENZIONE: E IMPORTANTE L ORDINE SCELTO ALL INIZIO fintegrale GENERALE di eq. COMPLETA è: u( c e c e v( con c, c R (cioè è somma dell inegrale paricolare di omogenea sol. paricolare di eq. complea Ripassiamo il conceo di EQUAZIONE LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI Cominciamo sempre con un pò di eoria. Prendiamo L (k a k (k... a a 0 con a j R Definiamo il POLINOMIO CARATTERISTICO e calcoliamo le radici di P L (λ P L (λ λ k a k λ (k...a λ a 0 Ricordiamo il conceo di moleplicià: Se λ 0 è radice di P L (λ di moleplicià r (λ λ 0 r divide P L (λ menre (λ λ 0 r NO 5

16 Se P è un polinomio di grado k a coefficieni cosani aavrà r 0 radici reali disine (λ,..., λ r e s radici complesse (non reali: λ r, λ r, λ rs,..., λ r, λ r,..., λ rs b Se m,..., m r sono le moleplicià di λ, λ,..., λ r e m r, m r,..., m rs le moleplicià di (λ r, λ r,..., (λ rs, λ rs allora m... m r m r... m rs k Possiamo quindi scrivere P L (λ (λ λ m... (λ λ r mr [(λ λ r (λ λ r ] m r... [(λ λ rs (λ λ rs ] m rs Dao L, se λ 0 C è radice di P L allora e λ 0 è soluione di L 0; Se λ 0 C è radice di P L con moleplicià m e λ 0, e λ 0,..., m e λ 0 sono SOLUZIONI LINEARMENTE INDIPENDENTI di L0 Se λ 0 α iβ è radice complessa di P (λ lo è anche λ 0 α iβ e λ 0, e λ 0 sono soluioni, cioè e α cos(β ed e α sin(β Dopo ua quesa eoria: COME PROCEDERE a Si scrive il polinomio caraerisico b Si deerminano le radici e la loro moleplicià (λ λ 0 k... 0 (con λ 0 con moleplicià k c Soluioni si ricavano da quelle vise prima (e λ... dsoluione generale è combinaione delle k soluioni reali rovae u( c k e λ... c k e λ... ESEMPIO L (k a P L (λ λ k radici (λλ 0 k λ k 0 (λ0 k 0 λ 0 0 con moleplicia k 6

17 Soluioni sono : e λ, e λ,..., k e λ,,,..., k Soluione generale e u( c k c k c k... c k METODO ALTERNATIVO A LAGRANGE Se ϕ è soluione di un equaione lineare a coefficieni cosani (Mϕ 0, cioè se ϕ è del ipo somma di r, e α, cos(β, sin(β a Si calcola M b Si scrive la soluione generale di Mu0 c Si disinguono casi: c P L (λ e P M (λ NON hanno radici comuni; c P L (λ e P M (λ hanno radici comuni; Prima di analiare i casi, vediamo come si scrive P M (λ Sappiamo che la radice sarà di sicuro del ipo α iβ; ma se abbiamo la radice α iβ abbiamo anche la sua complemenare α iβ, enrambe con moleplicià r (deaa dal fao che c è r Quindi P M (λ [(λ (α iβ(λ (α iβ] r Torniamo ai casi: caso P L (λ e P M (λ NON hanno radici comuni: Si cerca v come soluione dell equaione omogenea M 0 7

18 caso P L (λ e P M (λ HANNO radici comuni: Si pora la moleplicià delle radici comuni alla somma delle moleplicià Vediamo degli ESEMPI: ESEMPIO 6 5 a Troviamo le soluioni dell omogenea P L (λ 6λ 5λ 0 λ ; 5 ± 5 4 λ λ 3 con moleplicia con moleplicia u ( e e u ( e 3 bidenifichiamo ϕ( e vedo se è del ipo r, e α, cosβ, senβ ϕ( è del ipo indicao con α β 0 e soluionedell equaioneacoefficienicosani ϕ è soluione di M 0 Ora roviamo M: Cerchiamo P M (λ [(λ (α iβ(λ (α iβ] r ATTENZIONE: Se (α iβ è reale si considera solo [(λ (α iβ] r In queso caso: λ 0 r λ 3 M M λ 3 0 λ 0 con moleplicia 3 8

19 c P L e P M non hanno radici comuni Siamo nel caso: Scrivo soluione generale di M0 e calcolo coeffic. per oenere v.c. Lvϕ Soluione generale di 0 è v( c e 0 c e 0 c 3 e 0 c c c 3 Ora calcoliamo la derivaa prima e la derivaa seconda di v: v c c 3 v c 3 d Calcoliamo Lv (prendo equa. iniiale e sosiuisco a la v Lv 6v 5v v 6(c 3 5(c c 3 (c c c 3 c 3 5c 0c 3 c c c 3 c 3 (0c 3 c (c 3 5c c e v deve essere soluione paricolare, quindi imponiamo Lv c 3 0c 3 c 0 c 3 5c c c 3 c 0 50 c 9

20 c 3 c 0 c 39 v( 0 39 f Soluione generale è: u( c u ( c u ( v( c e c e 3 v( ESEMPIO 4 e a Trovo solu. dell omogenea P L (λ λ 4 0 λ con moleplicia λ con moleplicia u ( e, u ( e bidenifico ϕ( ϕ( e r 0, α, β 0 è soluione di equaione a coefficieni cosani Ora roviamo M: P M (λ (λ λ M λ con moleplicia 0

21 cp L e P M HANNO radici comuni siamo nel caso : Scriviamo la soluione generale di M0 e calcoliamo i coefficieni di v ali che Lvϕ La soluione generale di -0 è: v( c e c e Cioè l abbiamo calcolaa come se ci fosse moleplicià ( moleplicià puno a moleplicià puno b A queso puno possiamo ogliere c e perchè è già soluione di omogenea, ma coninuiamo per vedere che va via da sola: v ( c e c e c e e (c c c v ( e (c c c e (c d Calcoliamo Lv: Lv v 4v e (c c c e (c 4(c e c e e (4c e Imponiamo che sia uguale a e (ϕ( e (4c e (4c c 4 v( c e 4 e f Soluione generale è: u( c e c e 4 e

22 3 Equaioni di Bernoulli a( b( α Se: α 0 eq. lineari (già vise α eq. lineari oppure eq. a variabili separabili α 0, Dividiamo per α L equaione divena : α a(α b( P oniamo α ( α α ( α α α frac ( α α a( b( che è un equaione lineare e la sappiamo già risolvere 4 Equaioni del ordine che si possono risolvere con arifici f(,, Se manca : f(, { ( ( ( f(,

23 Si risolve eq. oenua con sosiuione e poi si risosiuisce Esempio: Se oeniamo ( an( c e avevamo sosiuio ( ( allora ( an( cd log cos( c d Se manca f(, < equaioni auonome Poniamo ( ( ( d d d d ( ( d Quindi l equaione f(, divena ż f(, d (d ( ż(( d Esempio: ( 3 ( è equivalene a equaione del ordine: ( ż ż 3 ( ż ż 3 ( ż Divido uo per ż ż Si è ridoo a problemi:. ( ż ż 0 3

24 . ż ż 0 4(( 4 ż ± 4 5 Inegrale su un dominio normale E f(,, ddd a Dimosrare che il Dominio è Normale (vedi eoria b Dividere Inegrale: Esempio: β(, b α(, a f(,, ddd e ddd E dove E {0, 0 3 } e ddd E 3 ( ( e ddd... 4

25 c Si calcolano i vari inegrali ( passo ue cosani ranne, passo ue cosani ranne,3 passo rimane solo 6 Inegrale su un dominio che NON è normale In queso caso si possono fare dei cambiameni di parameri per farlo divenare ale: Esempio: E ( dd con E {0, } a Si disegna il dominio b Si scelgono le variabili del cambiameno { u < preso da dominio ( v < preso da f ( ( dd E 5

26 c Si rova ϕ (fun. del cambiameno { u v u { uv v ϕ(u, v ( u v, v u d Si scrive come divena il dominio: G {0 v u, u } u v G {u v 4 u, u } e Troviamo Jacobiana di Diffeomorfismo (ϕ Jϕ(u, v ( derivaa di componene di ϕ rispeo a u derivaa di componene di ϕ rispeo a v derivaa di componene di ϕ rispeo a u (. derivaa di componene di ϕ rispeo a v de Jϕ(u, v 4 4 f Si calcola inegrale: ( dd E 4u u v dvdu (4 u u du 3 4 6

27 7 Inegrali di superficie Qui passo subio all esempio perchè è l unico modo per capire bene come si calcolano: Esempio dσ 4 S dove S {, 0, 0} Dobbiamo applicare la formula f dσ aidenifichiamo prima ϕ e k ϕ k f(ϕ(u, v ϕ u ϕ v dudv ϕ S k { 0, 0} R ϕ(k ϕ(, (,, (,, b Per calcolare ϕ ϕ ricordiamo prima che - se (,, allora - se a (,, e b (, 3, allora i j k a b de 3 i j 6k k 3i j i j 5k a b (,, 5 a b ( ( 5 30 Nel nosro caso 7

28 ϕ (,, ϕ (D ϕ, D ϕ, D ϕ 3 (, 0, ϕ (D ϕ, D ϕ, D ϕ 3 (0,, ϕ i j k ϕ 0 k i j (,, 0 ϕ ϕ ( ( 4 4 Tornando al nosro inegrale: dσ 4( 4 4( dd S k d sqr( d Per rovare gli esremi abbiamo usao le disequaioni preseni in S: a 0 b 0 0 Menre per la abbiamo usao la formula della circonferena: ( α ( β ( γ Raggio 0 α 0 β Raggio R 4 0 8