Regime di capitalizzazione: una famiglia di funzioni fattore di montante che dipende da uno o più parametri.

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1 5. Teoria generale Regimi finanziari Nel capiolo precedene abbiamo inrodoo alcuni parameri in grado di descrivere ualsiasi ipo di regime. Ciò ci permee di definire in generale i regimi finanziari. Regime di capializzazione: una famiglia di funzioni faore di monane che dipende da uno o più parameri. L espressione faore di monane significa che le funzioni devono soddisfare ai re reuisii richiesi per il faore di monane, ovvero f( è ale che:. E definia su uo l inervallo [, ].. Vale f(=. 3. E una funzione non decrescene. Esempio: la famiglia = +, con >, è un regime di capializzazione, perché soddisfa le re condizioni (è definia sui reali posiivi. Osservazione: daa una legge di capializzazione si può sempre scrivere m*(, =, ovvero sosiuire con ( -, ma in generale non è vero il viceversa. Vediamo un esempio:, = + ( - E un regime di capializzazione (se, che non può essere espresso in funzione di = -. In modo analogo, possiamo definire anche i regimi di aualizzazione: Regime di aualizzazione: una famiglia di funzioni faore di scono che dipende da uno o più parameri. Esempio: consideriamo > e la funzione v(, definia per > : v(, = ( E un regime di aualizzazione, perché soddisfa le re condizioni:. Definia su uo l inervallo [, ].. Tale che v( =. 3. E una funzione non crescene rispeo a. 7 Sefano Adriani

2 Alri esempi Le segueni famiglie di funzioni definiscono ciascuna un regime di capializzazione : + h + h e h h La famiglia f( = + h è dea regime di capializzazione semplice, menre l ulima è una funzione omografica (definia solo su [, /h, poiché il faore di monane ha significao solamene se posiivo. Il modello differenziale Consideriamo adesso l euazione differenziale definia per h : (I dm ( d = h m ( cioè d = h m ( d dove il simbolo d ha il significao maemaico di differenziale (non è il asso di scono. La soluzione generale dell euazione, per, è la seguene: cioè m - ( = h (- + = (h(- + /(- (valida per la uale rappresena una funzione candidaa a faore di monane. Nel prossimo paragrafo mosreremo che, per i casi =,,, la funzione fornisce i regimi sudiai finora. Regimi di capializzazione Applichiamo la proposizione per alcuni casi noevoli, cioè =,,. Caso = L euazione (I divena d = h d, che ha soluzione: = h c Imponendo la condizione iniziale = si rova c = -, e uindi: = + h Che corrisponde al faore di monane del RIS. 7 Sefano Adriani

3 Caso = L euazione (I divena d = h d, che ha soluzione: = c e h (c è una cosane reale non nulla Imponendo la condizione iniziale = si rova c = - e uindi: = e h Che corrisponde al faore di monane del RIC. Caso = L euazione (I divena d = h m ( d, euazione differenziale a variabili separae. Ponendo m ( si ha (noiamo che = è soluzione banale: = c h Imponendo la condizione iniziale = si rova c = - e uindi: = h Che corrisponde al faore di monane del RIA. Leggi a assi variabili Se nell euazione differenziale generale (I si considera h come una funzione del empo, anziché una cosane, l euazione divena: (I bis d = h( m ( d Per i casi =,, si rovano le soluzioni: m ( = + h( d m ( = exp( h( d m ( = h( d risula perciò conveniene definire il asso medio h * (sul periodo : (II h* = h( d in modo da poer scrivere le soluzioni della (I bis come: 7 Sefano Adriani

4 m ( = + h * m ( = exp(h * m ( = h* Osservazione: se la funzione h( è cosane a rai, ovvero assume il valore h k sui rai k- k, allora h* può essere espresso come la media ponderaa degli n valori: h* = hk Tk T T T k n k Leggi raslabili Nel capiolo precedene abbiamo definio le leggi raslabili come uelle per cui vale:, = +, + [,+], Tale relazione vale per ue le leggi fisiche, ma nel caso della maemaica finanziaria porebbe non essere vero, perché al raslare degli isani e in genere non corrisponde la raslazione uniforme nel empo di alcuni parameri (come ad esempio il asso d ineresse. Si verifica che: Proposizione: una legge finanziaria è raslabile se e solo se h( è cosane. La condizione sufficiene è evidene (basa raslare la (II. Vediamo come dimosrare la condizione necessaria. Sia raslabile, ovvero: h( d = h( d Se ogliamo la pare in comune ra i due inegrali (sezione verde di figura, oeniamo: h( d = h( d cambiando variabili ( = - nel primo, = - nel secondo, si ha: h ( d = h ( d cioè ( h( h( d = dove abbiamo scrio = = per indicare la variabile mua negli inegrali. Affinché l ulima relazione valga per ualsiasi coppia e deve essere: h( + = h( + ovvero h( deve essere cosane. CVD. 7 Sefano Adriani

5 Leggi scindibili Usando il modello differenziale possiamo dimosrare che vale: Proposizione: una legge finanziaria è scindibile se e solo se è esponenziale. La verifica in una direzione è immediaa: se è esponenziale, ovvero del ipo:, = exp( h( d allora, per le proprieà degli inegrali e dell elevameno a poenza, la legge è scindibile. Viceversa, se la legge è scindibile, consideriamo il regime coniugao v( ale che:, = / v(, per cui la proprieà di scindibilià può essere scria come:, =,, =, v(, Ricorriamo adesso ad un arificio: la uanià, non dipende da, per cui possiamo pensare che essa abbia derivaa nulla rispeo a. Ciò permee di scrivere:, v(, mv = da cui v mv = ovvero,, = v(, v(, ciò significa che il primo menbro non dipende da, ed il secondo membro non dipende da (perchè l uguaglianza vale per ualsiasi valore. Possiamo perciò esprimere il secondo membro come una sola funzione della, ovvero:,, = h( che inegraa fornisce:, = exp( h( d C.V.D. 7 Sefano Adriani

6 Proposizione: una legge finanziaria è scindibile se e solo se la forza di ineresse is (, è cosane nel empo. Supponiamo che la legge sia scindibile, per cui vale:, =,, applicando il logarimo ad ambo i lai, e derivando rispeo a oeniamo: d d ln(, = + ln(, d d d Ricordando la definizione di forza di ineresse, ovvero is = d ln( abbiamo: is (, = is (, Quindi la forza di ineresse è indipendene dal empo. Viceversa, se la is (, non dipende dal empo, possiamo scrivere: is (, = cosane e ricordando che dalla ( è possibile esprimere il faore di monane come:, = exp( (, d dalle proprieà dell inegrale e dell elevameno a poenza segue immediaamene la esi. C.V.D. A ueso puno, dalle due proposizione rovae in precedenza, si deduce che: Proposizione: la forza di ineresse is (, è cosane se e solo se m (, è esponenziale. Volendo (per moivi didaici si può fornire anche la dimosrazione di ues ulima proposizione. Se is (, è cosane, basa esprimere il faore di monane come: = exp ( per verificare che ha forma esponenziale. Viceversa, se è esponenziale, possiamo calcolare la derivaa prima: m ( = e ( ( ( + ( con = e ( dividendo ambo i lai per si rova: (= ( + ( ovvero ( = C.V.D. 7 Sefano Adriani