SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI. Fondamenti Segnali e Trasmissione

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1 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI Fondameni Segnali e Trasmissione

2 Definizione di sisema Sisema: Da un puno di visa fisico e un disposiivo ce modifica un segnale (), deo ingresso, generando il segnale y(), deo uscia. Da un puno di visa formale il segnale d ingresso () viene manipolao ramie un generico operaore maemaico indicao con O[.]. Il risulao delle operazioni maemaice eseguie sull ingresso e il segnale d uscia y(). Scema a blocci () Sisema O[ () ] y() 2 Fondameni Segnali e Trasmissione

3 Sisemi Lineari Tempo-Invariani (LTI) Lineare: quando l uscia generaa dalla combinazione lineare di due o piu ingressi e uguale alla combinazione lineare delle uscie generae dai singoli ingressi a ()+b 2 () Sisema Lineare O[a ()+b 2 ()]ao[ ()]+bo[ 2 ()] ay ()+by 2 () Tempo Invariane: quando l uscia generaa da un segnale riardao e uguale all uscia generaa dal segnale originale, riardaa della sessa quania. () Sisema Tempo Invariane O[( )] y() 3 Fondameni Segnali e Trasmissione

4 Risposa all impulso Risposa all impulso: e l uscia del sisema quando l ingresso e l impulso. Viene soliamene indicaa con il simbolo () ( ) O [ δ ( )] δ() Sisema O[δ()] () Se il sisema e empo-invariane, la forma della risposa all impulso non dipende dall isane in cui si applica l impulso. Quando l ingresso e un impulso anicipao o riardao l uscia e uguale ad () anicipaa o riardaa: Se il sisema e ance lineare, noa la risposa all impulso e possibile calcolare l uscia del sisema quando l ingresso e una qualsiasi combinazione lineare d impulsi: y( ) a ( ) O[ aδ ( ) + bδ ( ) + cδ ( 2 )] ( ) + b( ) + c( ) O [ δ ( )] 4 Fondameni Segnali e Trasmissione 2

5 Rappresenazione di un segnale come combinazione lineare di impulsi Un qualsiasi segnale () puo essere rappresenao come somma inegrale di impulsi ( ) d ( ) ( ) δ ( ) δ ( ) Fondameni Segnali e Trasmissione

6 Abbiamo viso ce: La convoluzione - Noa la risposa all impulso, e possibile calcolare l uscia di un sisema LTI quando l ingresso e una qualsiasi combinazione lineare d impulsi 2 - Un qualsiasi segnale () puo essere rappresenao come somma inegrale di impulsi Ne segue ce: y( ) O ( [ )] O ( ) δ ( ) d ( ) O[ δ ( )] d ( ) ( ) d ( ) ( ) d simbolo della convoluzione uscia convoluzione ra ingresso e risposa all impulso del sisema LTI 6 Fondameni Segnali e Trasmissione ( ) * ( ) inegrale di convoluzione (o semplicemene convoluzione)

7 Calcolo dell inegrale di convoluzione L inegrando ( ) ( ) y( ) ( ) e il prodoo ra il segnale () e la risposa all impulso () ribalaa in raslaa di (verso desra se >0, verso sinisra se <0) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) Fondameni Segnali e Trasmissione

8 Esempi di calcolo della convoluzione () y( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) rec(2) rec( / 2) ( ) ( ) Fondameni Segnali e Trasmissione

9 Esempi di calcolo della convoluzione (2) inegrando ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rec(2) rec( y( ) / 2) Inegrale ( ) ( ) d ( ) -/ ( ) /4 +/2 +3/4 + +5/4 y() /2 9 Fondameni Segnali e Trasmissione

10 Osservazioni su ( ) ( ) ( ( ) inizia nell isane inizia nell isane y() inizia nell isane dura /2 dura y() dura ( 2) rec( / 2) y( ) rec + 2 / /2 ( ) ( ) y() -/4 5/4 y() é lineare a rai e coninua, percé convoluzione di funzioni cosani a rai 0 Fondameni Segnali e Trasmissione

11 Fondameni Segnali e Trasmissione 2) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 δ δ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Se y y y y Inolre, dalla definizione di sisemi LTI si deducono le segueni proprieà della convoluzione:

12 Esempi di calcolo della convoluzione (3) y( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) rec( ) ( ) ( ) Fondameni Segnali e Trasmissione

13 Esempi di calcolo della convoluzione (4) Inegrando ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) rec( ) y( ) Inegrale ( ) ( ) d ( ) ( ) - -2/3 -/3 0 +/3 +/3 + 3 Fondameni Segnali e Trasmissione - + y()

14 Causalià dei Sisemi L.T.I. () Definizione: Un sisema L.T.I. è deo causale se l uscia y() per un, dipende dai valori dell ingresso () solo per valori della variabile. La condizione di causalià è molo imporane se la variabile indipendene è il empo: in queso caso un sisema fisico deve essere causale. Se ciò non fosse infai il sisema sarebbe in grado di predire il fuuro. () Sisema y() Condizione da rispeare per garanire la causalià: ( ) 0 per < 0 4 Fondameni Segnali e Trasmissione

15 Causalià dei Sisemi L.T.I. (2) Spesso nel seguio uilizzeremo rispose all impulso del ipo: () Quesa risposa all impulso non è causale: puo essere resa causale araverso opporuni roncameni (nel empo, se () si esende da - a ) e riardi. () Uilizzare () invece ce () significa rascurare (cioe soinendere) i riardi necessari a rendere causale la risposa all impulso. 5 Fondameni Segnali e Trasmissione

16 Effei della convoluzione (filro passa-basso) () Le componeni del segnale rapidamene variabili nel empo (ad ala frequenza) vengono eliminae dalla convoluzione con una risposa all impulso lenamene variabile nel empo (filro passa-basso) Simbolo della convoluzione () y( ) ( ) ( ) 6 Fondameni Segnali e Trasmissione

17 Esercizi. Una funzione a scalino () Au() è l'ingresso di un sisema LTI con risposa all'impulso () ep(-α)u(). Si calcoli l'uscia come convoluzione di ingresso e risposa all'impulso. 2. Un sisema LTI con risposa impulsiva ( ) T alrove a in ingresso ( ) 0 0 T T alrove 2T Si calcoli l'uscia y(). Quano valgono, in paricolare, y(0), y(t) e y(2t)? Si calcolino ance energia, valor medio e poenza dell'ingresso, della risposa all'impulso e dell'uscia. ( ) ( ) ( ) 3. Valuare la convoluzione y con: ( ) 2 δ ( ) + δ ( / 2) ( ) rec( / 2) 7 Fondameni Segnali e Trasmissione