9.4.4 Filtro adattato 9.4. FILTRAGGIO DI SEGNALI E PROCESSI 235

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1 9.4. FILRAGGIO DI SEGNALI E PROCESSI 35 Rispose ) Calcoliamo la media emporale: P x = ; / / x () d = /4 /4 () d = 4 = ) Sappiamo che P y = Py (f) df, in cui Py (f) = Y (f), ed a sua vola Y (f) = X (f) H (f). Calcoliamo perciò innanziuo 3) Risula X (f) = F {rec τ () δ ( n )} = τ sinc (fτ) δ f n n= n= essendo τ = e =, risula f X (f) = sinc δ (f n) = X nδ (f n) n= n= con X n = sinc n. Dunque, dao che gli unici impulsi che cadono enro la risposa in frequenza H (f) sono quelli per f =, e, si ha: Y (f) = X (f) H (f) = n= X nh (n) δ (f n) il cui modulo quadro fornisce P y (f) = n= Xn H (n) δ (f n), e perano si oiene P y = P y (f) df = y () = n= sin π π + + X nh (n) e jπn = + π sin π π = + =.8 π e jπ + e jπ = + 4 π cosπ Noiamo come il filro lasci passare solamene la componene coninua e la prima armonica. y() 4 π Filro adaao Si raa del filro da uilizzare da pare di un deeore di impulso, un disposiivo che deve decidere per la presenza o assenza di una forma d onda noa (ovviamene immersa nel rumore), in modo da rendere minima la probabilià di sbagliare. Supponiamo quindi di rasmeere un segnale x (), oenuo facendo ransiare un impulso δ () in un filro con risposa impulsiva (di duraa limiaa ) h () = g, e di ricevere lo sesso segnale in presenza di rumore gaussiano a media nulla n (), con densià sperale P N (f) = N.

2 36 CAPIOLO 9. DENSIÀ SPERALE E FILRAGGIO ale riceviore decide per la presenza (ipoesi H ) o l assenza (ipoesi H ) del segnale (vedi figura 9.) confronando l uscia z () di un filro di ricezione h R (), campionaa all isane =, con una soglia λ, e decidendo per δ() g() / H (f) x() h ()=x() y() n() H (f) R h R () z() = H < > λ H Figura 9.: Deezione di impulso mediane filro adaao H o H a seconda del superameno o meno della soglia. Si commee un errore sia decidendo per H in assenza di segnale, sia decidendo per H in sua presenza. Si dimosra che la probabilià di errore può essere resa minima se viene reso massimo il rapporo SNR all isane di decisione, che corrisponde a scegliere H R (f) = H (f) e jπf = X (f) e jπf = G (f) e jπf (9.) ovvero h R () = h ( ) = x ( ) = g (9.3) Con ali scele, nel caso H in cui x () è assene risula y () = n (), e la grandezza di decisione z ( ) è una v.a. gaussiana 3 definia come z ( ) = = h R (τ) y ( τ) dτ = x ( τ) n ( τ) dτ = R XN () x() h R ()=x( ) x ossia pari all inercorrelazione ra x () e n () calcolaa nell origine, e presena valore aeso m H z( ) nullo4 e varianza 5 σ z( ) = N E G in cui E G è l energia dell impulso g (). Indicando rispeivamene con P e e P e i due ipi di errore, pari a P e = λ p Z (z/h ) dz e P e = λ p Z (z/h ) dz, la probabilià di errore complessiva vale P e = P ep + P ep, in cui P o = P r (H ) e P = P r (H ). la dimosrazione è rimandaa alla noa 8 Avendo definio h () = g, risula che H G (f) = (f) e jπf = G (f) e +jπf, e dunque H (f) e jπf = X (f) e jπf = G (f) e jπf. D alra pare, poendo scrivere H (f) e jπf = H (f) e jπf e ricordando ora la proprieà (3.) espressa a pag. 4 F {X (f)} = x ( ), oeniamo che h R () = F H (f) e jπf = h (θ + ) θ= = h ( ) = x ( ) Infine, essendo x () = g ( /) si oiene anche h R () = g (θ /) θ= = g ( / ). La fig. 9. mosra l esio di ali operazioni nel caso di una g () riangolare. 3 Ricordiamo che l uscia di un filro al cui ingresso è poso un processo gaussiano, è anch essa gaussiana. 4 Infai m Ho x () n () d, che è pari a zero se E {n ()} = z( ) = E {R XN ()} = E. 5 Risula σ z( ) = E z ( ) = R Z (). Sappiamo che R Z () = R N (τ) R HR (τ) τ=, ed inolre risula R Z (τ) = N δ (τ) R HR (τ) = N R HR (τ);

3 9.4. FILRAGGIO DI SEGNALI E PROCESSI 37 Se invece il segnale è presene (ipoesi H ), si oiene z ( ) = x ( τ) [x ( τ) + n ( τ)] dτ = R X () + R XN () producendo in queso caso una grandezza di decisione z ( ) con valor medio m H z( ) = E G, menre per la sua varianza σ z( ) vale lo sesso risulao precedene 6. La figura a fianco mosra la d.d.p. di z ( ) nelle ipoesi H ed H, che risula gaussiana come lo è n (). Noiamo che m H z( ) = EG non dipende dalla paricolare g () adoaa, né dalla sua duraa, ma solo dalla sua energia, ed è per queso che il filro di ricezione è deo adaao. p (z/h ) Z λ p (z/h ) Z E G σ = N o EG Osserviamo quindi che il valore della soglia λ = E G/ è quello che rende minima la probabilià di errore, nel caso in cui le probabilià a priori delle due ipoesi siano uguali, ovvero P o = P r (H ) = P = P r (H ). valore Il rapporo m H z( ) σ z( ) cosiuisce il massimo 8 z() rappresena 7 l SNR all isane di decisione, ed il suo SNR = (EG) N = EG (9.4) E G N che si può oenere, adoando la (9.3) ra ue le perano σ z( ) = N R H R () = N h R () h R () d = N E G dao che h R () ha la sessa energia di g (). 6 Infai, ora risula m H z( ) = E {R X () + R XN ()}, in cui il conribuo del secondo ermine è nullo come già osservao, menre quello del primo non è aleaorio, e vale R X () = x () x () d = E G, in quano il segnale x () ha la sessa energia di g (). Per ciò che riguarda σ z( ), osserviamo che essendo il filro di ricezione un operaore lineare, l uscia si oiene come sovrapposizione degli effei delle due cause x () ed n (), e la componene aleaoria dell uscia è dovua al solo n (); perano, la sua varianza è la sessa calcolaa per il caso H di segnale assene. 7 Il significao fisico del rapporo indicao può essere meglio visualizzao considerandone le radice quadraa, ossia mh z( ) σ, che cosiuisce il rapporo ra l uscia per = in presenza z( ) di solo segnale, e la deviazione sandard di ale valore inrodoa dal rumore. In alre parole, è indicaivo della separazione ra le gaussiane riporae in figura. Perano, maggiore è queso rapporo, e minore sarà la probabilià di errore. 8 Consideriamo il caso in cui si abbia una H R (f) = H (f) generica. In presenza di solo segnale, si oiene z ( ) = F {Z (f)} = H (f) X (f) e jπf df = Riporiamo ora la diseguaglianza di Schwarz (vedi pag. 3), che afferma la relazione a (θ) b (θ) dθ a (θ) dθ b (θ) dθ, con l eguaglianza solo se a (θ) = k b (θ). Se ora facciamo corrispondere H (f) ad a (θ) e X (f) e jπf a b (θ), oeniamo che z ( ) = m z( )/H H (f) df X (f) df con l eguaglianza solo se H (f) = kx (f) e jπf, che corrisponde (vedi eq. (3.) a pag. 4) a h () = kx ( ), ossia se H (f) è adaaa a X (f). Scegliendo k =, i due inegrali a prodoo hanno lo sesso valore, pari a E G.

4 38 CAPIOLO 9. DENSIÀ SPERALE E FILRAGGIO scele possibili per il filro di ricezione h Rx (), di energia pari a E G. Noiamo che (9.4) è valida solo in presenza di rumore bianco, menre se queso è colorao, l SNR diminuisce, ed il filro oimo va deerminao in alro modo. Rumore colorao Nel caso in cui P N (f) non sia pari ad una cosane, la condizione per massimizzare (9.4) non è più la (9.), bensì deve risulare 9 H R (f) = X (f) e jπf P N (f) (9.5) in modo che H R (f), olre ad esalare le frequenze per le quali lo spero del segnale è maggiore, riesce anche ad aenuare quelle per le quali la poenza di rumore è più grande. Assenza di Rumore Se non fosse presene rumore, l andameno dell uscia del filro adaao sarebbe proprio pari alla funzione di auocorrelazione di g (), che viene campionaa in corrispondenza del suo massimo. Noiamo che la H R (f) non presena modulo cosane e fase lineare, dao che lo scopo qui non è quello di preservare la forma d onda in ransio, ma di massimizzare l SNR all isane di decisione Segnalazione anipodale Desiderando disinguere ra due possibili messaggi (ad es, x ed x ), e volendo rendere minima la probabilià di errore, la scela oima consise nell adoare x () = x (), e di impiegare al riceviore un filro adaao ad x (). In al modo, all isane di campionameno si avrà (in assenza di rumore) un valore posiivo o negaivo, a seconda se sia presene x od x, menre in presenza di rumore si avrà ancora la minima probabilià di errore possibile, ma con un risparmio della poenza rasmessa, dao che in queso caso la disanza E G ra le gaussiane può oenersi con impulsi di meà energia Segnalazione orogonale Dovendo rasmeere N diversi messaggi (x, x,..., x N ), associamo ad ognuno di essi una forma d onda x i () ale che x i () x j () d = con i = j, ovvero in modo che i segnali x i () siano orogonali. In al caso il riceviore oimo è cosiuio da un banco di filri, ognuno adaao ad una diversa x i (), e in assenza di rumore la ricezione di una delle forme d onda x i () non produce 9 La condizione (9.5) si oiene anche in queso caso imponendo la minimizzazione m H z( ) di SNR = σ z( = H(f)X(f)e jπf df H(f) ) il cui denominaore iene cono che P N (f)df σ z( ) = P Z (f) df è dovua al solo rumore. Applichiamo ora a SNR la diseguaglianza di Schwarz posa nella forma a(θ)b (θ)dθ a(θ) dθ b (θ) dθ e idenifichiamo a (θ) con H (f) P N (f) e b (θ) con X(f)ejπf / P N (f). Imponendo di nuovo la condizione a (θ) = k b (θ) con k =, oeniamo il massimo SNR come SNR = b (θ) dθ = X(f) P N (f) df, e quindi scrivendo a (θ) = b (θ) ossia H (f) P N (f) = X (f)e jπf / P N (f) si oiene il risulao (9.5).

5 9.5. CARAERISICHE DEI SISEMI FISICI 39 nessuna uscia sui filri del banco per j = i. In presenza di rumore, la decisione su cosa sia sao rasmesso viene presa valuando quale dei filri presena il valore massimo in corrispondenza dell isane di campionameno, realizzando così un riceviore a correlazione (vedi 3..3 a pag. 36). Esempio L impulso δ () enra in uno di filri mosrai nella figura seguene, le cui rispose impulsive x i () realizzano una famiglia di funzioni orogonali, dao che le rispeive forme d onda non si sovrappongono nel empo. In ricezione, solo uno dei filri adaai con risposa impulsiva h i () produce una uscia diversa da zero per =, come verificabile ricordando la cosruzione grafica dell operazione di convoluzione mosraa a pag. 45. x () h () x () h () = δ() = x () N h () N = 9.5 Caraerisiche dei sisemi fisici Abbiamo già osservao come il legame [x ()] = y () definio in.7. ra ingresso x () ed uscia y () di un sisema fisico sia definio, in base alla conoscenza della risposa impulsiva, dall inegrale di convoluzione y () = x () h (), che descrive il risulao di una operazione di filraggio. Alla luce di queso risulao, orniamo ad analizzare le proprieà enunciae al.7., assieme ad alre due. Linearià Un sisema è lineare se, in presenza di una combinazione lineare di ingressi, l uscia è la combinazione lineare delle uscie, ossia sussise la legge di sovrapposizione degli effei, ovvero a ix i () = a [x i ()] i i Ad esempio, il legame ingresso-uscia descrio dall inegrale di convoluzione è di ipo lineare, in virú della disribuivià dell inegrale. Al conrario, un operaore basao sulla elevazione a poenza è non lineare, come approfondio al 4.7. Memoria Noiamo che un sisema descrio da una risposa impulsiva h () con esensione emporale non nulla, è deo con memoria, in quano i singoli valori di uscia dipendono da ui i valori di ingresso raccoli dalla risposa impulsiva.