OPERAZIONI SUI SEGNALI DETERMINISTICI, ENERGIA, VALOR MEDIO, POTENZA, ANALISI DI FOURIER, CONVOLUZIONE, FILTRAGGIO, DECIBEL.

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1 OPERAZIONI SUI SEGNALI DEERMINISICI, ENERGIA, VALOR MEDIO, POENZA, ANALISI DI FOURIER, CONVOLUZIONE, FILRAGGIO, DECIBEL. Esercizio Calcolare la poenza, l energia e il valor medio dei segueni segnali a) x()a; b) x()u() ; c) x()acos(oφ) a) b) c) P A P / ; E ; P ; / / E ; A cos mx A. m /. x / ( φ ) d A cos( 4 φ ) d ; E ; m. / A x Esercizio Dao il segnale x() riporao in igura racciare l andameno del segnale x(-) con. x() Il segnale x(-) può essere scrio come x[-(-)] e quindi può essere viso come una versione del segnale originale scalaa di un aore (ribalaa rispeo all asse vericale) e riardaa di. x(-) x(-)

2 Esercizio 3 Visualizzare l andameno nel empo delle segueni unzioni reali a) x()sen() b) x()cos(4/8) c) x()cos()rec() d) x()cos(8)rec((-5)/) [s] [s] [s].5.5 x [s]

3 Esercizio 4.5 racciarne l andameno nel empo e calcolarne l energia. Sia dao il segnale: ( ) [ cos( ) ] rec ( ) b( ) L andameno dei segnali considerai è riporao in igura b() a() () Per calcolare l energia di () possiamo procedere nel seguene modo:.5 E () d [ () ] d [ cos( ) ] d 4 cos ( ).5 d A queso puno basa eeuare il calcolo dell inegrale. Per eviare i calcoli si può ricordare che la poenza media di un segnale cosenusoidale/sinusoidale in un periodo è pari a ½, cioè sia ha: cos d sin d Da ciò ed osservando che l inegrale relaivo al calcolo dell energia copre proprio un periodo della unzione sinusoidale consideraa (ale periodo vale.5), possiamo scrivere: E 4 Esercizio 5 A cosa corrisponde il segnale: Re e j j / e j j / j Re e e Re e ( / ) cos( / ) sin( )

4 Esercizio 6 Deerminare lo spero di ase e lo spero di ampiezza del segnale x()cos 3 (). 3 x( ) cos(4 ) cos() cos() cos(6 ) cos() cos() cos(6) Esercizio 7 Rappresenare graicamene l andameno del segnale x() e calcolarne la rasormaa di Fourier. x ( ) 3 rec x() 3 - La rasormaa di Fourier del segnale vale: X ( ) 3 sin c ( ) X()

5 Esercizio 8 Rappresenare graicamene l andameno del segnale x() e calcolarne la rasormaa di Fourier. x () 5 sinc 4 x() X ( ) 5 4 rec( 4 ). Esercizio 9 Rappresenare lo spero di ampiezza e di ase del segnale x().sinc()cos(). Il segnale x() e reale e pari, dunque la rasormaa di Fourier risula reale e pari. Applicando la propriea di modulazione, ricaviamo la sua descrizione analiica X ( ).5 rec( ).5 rec( ). In queso caso, l andameno della rasormaa di Fourier, essendo reale e posiivo, coincide con lo spero di amapiezza del segnale. Rappreseniamo graicamene la rasormaa di Fourier nell inervallo posiivo delle requenze che vanno da 95 a Hz. 6 x [Hz]

6 Esercizio Dao il segnale x()sinc(), disegnare l andameno nel empo e deerminarne la rasormaa di Fourier di ampiezza del segmale ()x(-.3) [s] x Y() [Hz] 4 angle(y()) [Hz]

7 Esercizio Disegnare l andameno nel empo del segnale x()rec(-.5)-rec(.5) e deerminarne la rasormaa di Fourier X ( ) sinc( ) j.5 j.5 ( e e ) jsinc( ) sen(.5 ) Esercizio Deerminare la rasormaa di Fourier Z() del segnale z(), oenuo convolvendo i due segnali x()sinc() e ()rec(5). Z()X()Y()(/)rec(/)(/5)sinc(/5) x

8 Esercizio 3 Valuare graicamene il prodoo di convoluzione ( ) x( ) h( ). x () h().5 Il prodoo di convoluzione può essere scrio come: ( ) x( τ ) h( τ ) dτ h( τ ) x( τ ) dτ ().5.5 Esercizio 4 x h Valuare analiicamene o graicamene il prodoo di convoluzione ( ) ( ) ( ). x δ.5 () ( ) h().5

9 Il prodoo di convoluzione può essere scrio come: ( ) x( τ ) h( τ ) dτ h( τ ) x( τ ) dτ Il prodoo di convoluzione può essere viso come l uscia di un sisema lineare empo invariane, con risposa all impulso h(), ed ingresso ( ) (.5) x δ. Sruando la empo-invarianza del sisema possiamo immediaamene scrivere: () h(.5). Allo sesso risulao possiamo giungere valuando direamene l inegrale di convoluzione. A queso proposio si ricordi che: x ( τ ) δ ( τ.5 ); x( τ ) x[ ( τ ) ] δ ( τ.5) Abbiamo perciò: ( ) h( τ ) x( τ ) dτ h( τ ) δ ( τ.5) h (.5) δ ( τ.5) dτ h(.5) dτ Al medesimo risulao si poeva giungere anche con considerazioni graiche sulla valuazione dell inegrale di convoluzione e ricordando che δ ( τ α ) d τ ().5.5

10 Esercizio 5 Valuare il prodoo di convoluzione () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ; ; > α α u e h u x h x x() h() Il prodoo di convoluzione può essere scrio come: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] τ τ τ τ τ τ τ ατ ατ d u e d u e d x h τ u[-(τ-)] si ha perciò: () ( ) [ ] [ ] [ ] ( ) e e e d e d u e α ατ ατ ατ ατ α α α τ τ τ /α ()

11 Esercizio 6 Il segnale () x cos rappresena l ingresso di un sisema lineare empo-invariane caraerizzao dalla risposa all impulso riporaa in igura. Quale sarà l andameno del segnale, ( ), in uscia dal sisema? () h Il segnale in uscia dal sisema può essere scrio come: () H H arg cos ; dove H() rappresena la risposa in requenza del sisema. Risula inolre che H() è la rasormaa di Fourier della risposa all impulso (h()), cioe ( ) ( ) ( ). sinc sinc j j e e H Si ricava, dunque, () sin 4 cos sinc.

12 Esercizio 7 Il segnale () x rappresenao in igura cosiuisce l ingresso di un sisema lineare empo-invariane con risposa all impulso () h 3 sinc 3 (vedi igura). Quale sarà l andameno del segnale, ( ), in uscia dal sisema? / / x() 3 -/3 /3 h() Le rasromae di Fourier di x() e h() sono rispeivamene: ( ) ( ). 3 ; sinc sinc rec H n n n n X n n δ δ -.5/ H().5/ Gli impulsi della X() posi a requenza in modulo maggiore di.5/ vengono quindi cancellai. Si ha quindi: ( ). sinc sinc sinc n n n n Y n δ δ δ δ δ δ δ Quesa rasormaa di Fourier corrisponde, nel empo, al segnale: (). cos e e j j.

13 Esercizio 8 Il segnale x () rappresenao in igura cosiuisce l ingresso di un sisema lineare empo-invariane con risposa all impulso h () (vedi igura). Quale sarà l andameno del segnale, ( ), in uscia dal sisema? Quale sarà l andameno della densià sperale di energia all ingresso ed all uscia del sisema? x() h() / Si ha: ( ) x( τ ) h( τ ) dτ h( τ ) x( τ ) dτ Procedendo in modo analiico o graico si oiene: () ri. () / A riguardo delle densià sperali di energia possiamo scrivere: G G x j ( ) X ( ) sinc( ) e [ sinc( )] ( ) Y ( ) X ( ) H ( ) sinc j j ( ) e sinc( ) e [ sinc( )] 4 Inegrando ra - ed le densià sperali di energia si oiene l energia all ingresso e all uscia del sisema. 4 4

14 ali energie possono essere calcolae a parire dall andameno nel empo dei segnali. Si oiene: E ; E 6 x 3 Esercizio 9 (sui decibel) Un segnale con poenza media di dbm viene ampliicao araverso un disposiivo eleronico la cui H() è cosane per ogni requenza e pari a db. Quale sarà la poenza media del segnale ampliicao? dbm db dbm. Per veriicare la relazione precedene possiamo ragionare nel modo seguene: ) L ampliicazione in poenza del disposiivo eleronico è pari a inai: lg. ) La poenza del segnale di ingresso è un mw. 3) Perciò la poenza del segnale in uscia varrà mw pari a dbm Si ricordi inolre che in unià logarimiche i prodoi divenano somme.. Esercizio (sui decibel) Volendo esprimere in dbw una poenza di 3 dbm che risulao si oiene? dbm 3dBW 3dBm ( 3 3) dbw 7dBW Inai 3dBm mw 3 mw W W W 3 7dBW Esercizio (sui decibel) Due segnali sinusoidali con requenza caraerizzao da una poenza media pari a poenza del segnale somma? Khz ed Khz vengono sommae insieme. Il primo è 6 dbm, menre il secondo ha una poenza di 3 dbm. Quale sarà la Poiché eeuiamo una somma e non un prodoo non possiamo eeuare i calcoli direamene in unià logarimiche, ma dobbiamo riornare alle unià lineari. 6dBm 4mW 3dBm mw 4mW mw 6mW 7.8dBm Esercizio (sui decibel) Molo spesso nei sisemi di comunicazione si a rierimeno ai rappori ra poenza di segnale e poenza di disurbo/rumore (SNR Signal o Noise Raio). Daa una poenza di segnale di dbm ed una poenza di rumore di 5dBm, quano vale il rapporo segnale/rumore in unià logarimiche ed unià lineari?

15 SNR db ( 5) 3dB riporando il risulao in unià lineari si ha: 3 SNR Operando direamene in unià lineari : mw 3 SNR 3dB 5 mw Esercizio 3. Dao il segnale periodico x()cos(6)sen(), a) rappresenare graicamene la sua rasormaa di Fourier X(), in modulo e ase, e la sua densia sperale di poenza S x (); b) calcolare il rapporo, in db, ra le poenze delle due componeni requenziali di x(). Il segnale x() enra in un sisema lineare sazionario caraerizzao da una risposa all impulso h()sinc(8). c) Deerminare il segnale in uscia () e dire, giusiicando il risulao, se il sisema ha inrodoo disorsione di ampiezza e/o di ase. a) X() spero di ampiezza; angle(x()) spero di ase; Sx() densia' sperale di poenza - vedi igura; P b) / 4 6dB ; P /

16 c) Fourier h() sin c(8) H( ) rec ; 8 8 () H(3) cos(3 H(3)) H(6) sen(6 H(6)) 8 cos(3) 8 sen(6); Il sisema non inroduce ne' disorsione di ase (argh(3)argh(6)), ne' disorsione di ampiezza ( H(3) H(6) ). Esercizio 4 Il segnale x()sinc() enra in un ilro ideale passa-basso con banda B3Hz. Deo () il segnale in uscia al passabasso, a) disegnare l'andameno nel empo del segnale x(); b) disegnare l'andameno nel empo del segnale (). Il segnale x() e' sao disoro nel passaggio dal ilro? c) Deerminare la densia' sperale di energia e l'energia di ()..8 x() () [s] Il segnale () e' sao disoro nel passaggio araverso il ilro passa-basso, come si vede dall'andameno nel empo dei due segnali..5. ) ( ) Y ( S [Hz] S ( ) Y( ) X( ) H( ). rec E S ( )d.6 J. 6

17 Esercizio 5 Il segnale x()8cos()4cos(8), dove il empo e' misurao in secondi, viene riardao di 5ms e poi ilrao araverso un passa-basso ideale con banda B Hz. Dei () il segnale in uscia al ilro passa-basso, Y() la sua rasormaa di Fourier e S () la sua densia' sperale di poenza, a) rappresenare Y() in modulo e ase; b) rappresenare S () e calcolare la poenza di (); c) il segnale x(), rasormao in (), e' sao disoro in ase e/o in ampiezza? Moivare la risposa. a) ( ) 8cos( / 4) 4 cos(8.45 ); j / 4 Y ( ) 4e δ ( j / 4 5) 4e δ ( j.45 5) e δ ( j.45 9) e δ ( 9). b) S ( ) 6δ ( ( ) ) 6δ ( 5) 4δ ( 9) 4δ ( 9); c) Il segnale ()x(-.5) e' una versione riardaa e non disora di x(). Non c'e' ne' disorsione di ase, ne' disorsione di ampiezza. Esercizio 6 (solo eso) Dai i segnali x()cos() e ()cos(), rappresenare le rasormae di Fourier e calcolare le poenze dei segnali x() e z()x()(). Il segnale z() enra in ilro passabasso con H() a orma riangolare (ra Hz e Hz): deerminare il segnale u() che esce dal ilro. [ propriea di modulazione: s()cos(o) <>/(S(-o)S(o)) ] Esercizio 7 Rappresenare graicamene l andameno nel empo e la rasormaa di Fourier del segnale () x() cos(8), dove x () sinc(). Lo spero del segnale () e cosiuio da due reangolari (con base di Hz e alezza uniaria), cenrai inorno alle requenze -4Hz e 4 Hz. Esercizio 8 (solo eso) Il segnale x()sinc() passa araverso un ilro passabasso ideale con banda B4Hz (guadagno uniario e risposa in ase nulla). Rappresenare graicamene (riporando chiaramene i valori sugli assi) a) l andameno nel empo del segnale ilrao (all uscia del secondo ilro); b) lo spero del segnale ilrao; c) la densia sperale di energia del segnale ilrao. d) Nel caso in cui il ilro inroduca un riardo di propagazione di ms, rappresenare lo spero di ampiezza e di ase del segnale ilrao, e calcolarne l energia. Il segnale x() viene modulao con una porane a requenza omhz. Il segnale modulao viene poi ilrao con un ilro in banda passane, cenrao inorno alla sessa requenza porane, con risposa in requenza a orma riangolare, guadagno a cenro banda G6dB, e banda B5Hz. e) Rappresenare lo spero del segnale all uscia del ilro. [ ricorda : x()sinc() X()/ rec(/) ] Esercizio 9 (solo eso) Una porane ()cos( o ), dove o MHz, viene modulaa in ampiezza con un segnale x()rec(/), dove ms. Disegnare l andameno nel empo del segnale modulao z()x()(). Disegnare lo spero Z() del segnale modulao z().

18 Esercizio 3 (solo eso) Deerminare la rasormaa di Fourier della unzione x() e rappresenarne graicamene gli speri di ampiezza e di ase. x ( ) 5sin c( ) Esercizio 3 (solo eso) Dai i due segnali: x() sin( ) e ( ) cos( ) sin( ) rispondere alle segueni domande: a) esise un sisema lineare empo-invariane ale per cui se x() è l ingresso di ale sisema, () ne rappresena l uscia? b) esise un sisema lineare empo-invariane ale per cui se () è l ingresso di ale sisema, x() ne rappresena l uscia? In enrambi i casi moivare la risposa e, in caso di risposa aermaiva, deerminare un esempio di risposa in requenza H() che veriichi ale condizione. Esercizio 3 (solo eso) Il segnale x() cos()cos() enra in un sisema lineare sazionario con risposa in ampiezza e risposa in ase dae in igura. H() - [Hz] Fase(H()) / - [Hz] a) disegnare l andameno del segnale x() nel empo; b) deerminare l andameno del segnale () in uscia al sisema lineare sazionario. c) Conronare i due segnali x() e () in ingresso e in uscia al sisema: qual e sao l eeo del passaggio araverso il sisema? Esercizio 33 (solo eso) Una linea di rasmissione di lunghezza km, ra due puni A e B, inroduce un aenuazione (in poenza) di 3dB/km. Quano vale il rapporo ra le poenze in A e in B, in unia lineari. Esercizio 34 (solo eso) [sinc() Fourier rec()] Si vuole raslare lo spero del segnale x()sinc() inorno alle requenze (/-) o, con o5hz. Indicare con quale operazione, nel dominio del empo, si oiene la raslazione in requenza richiesa, e rappresenare graicamene l andameno nel empo del segnale con lo spero raslao. Esercizio 35 (solo eso) [B sinc (B) Fourier ri(/b)(- /B)rec(/B)] Dao il ilro con risposa in requenza H (), illusraa in igura, rappresenare graicamene l uscia del sisema () quando l ingresso e un impulso ideale x()δ(-o), con oms.

19 H () - [Hz] Esercizio 36 (solo eso) Il segnale x( ) 4cos(4 ) sinc enra nel sisema lineare empo invariane con risposa in requenza H ( ) cos rec. a) rappresenare graicamene la rasormaa di Fourier del segnale x(); b) rappresenare graicamene la risposa in ampiezza e la risposa in ase del sisema; c) rappresenare la rasormaa di Fourier del segnale () all uscia dal sisema e conronarla con quella del segnale in ingresso. Esercizio 37 (solo eso) Disegnare il segnale x ( ) rec rec(,5) e calcolarne l energia. Disegnare il segnale () oenuo ripeendo il segnale x() con passo 4s, e calcolarne il valor medio. Esercizio 38 (solo eso) Un segnale sinusoidale con ampiezza A [Vol], requenza o[hz], e ase φ/4 [rad], passa araverso una linea di rasmissione lunga 3km, che inroduce un aenuazione di db/km. Deerminare la poenza del segnale sinusoidale all ingresso della linea e il rapporo ra la poenza in ingresso e quella in uscia. Esercizio 39 (solo eso) Un sisema lineare e sazionario rasorma un qualsiasi ingresso x() nell uscia ()3x(-o), con o ms. Deerminare la risposa all impulso del sisema h() e la sua risposa in requenza H(), rappresenandone il modulo e la ase. Esercizio 4 (solo eso) Un sisema lineare empo invariane e caraerizzao da una risposa all impulso.5 h ( ) rec.. Disegnare h(); deerminare l espressione analiica della risposa in requenza H() del sisema e disegnarne il modulo H(). Deerminare l uscia () del sisema quando il segnale in ingresso e x( ) 4cos( ) cos( ). Fare il graico di (); calcolare energia, valor medio e poenza di (). Il sisema ha inrodoo disorsione sul segnale in ingresso?

20 Esercizio 4 (solo eso) Dao il sisema con risposa all impulso h() speciicaa nell esercizio precedene, deerminare l uscia () del sisema quando l ingresso vale x ( ) rec, e arne il graico.. Esercizio 4 (solo eso) Un segnale con poenza P 3 dbm enra in una linea di rasmissione lunga km che inroduce un aenuazione di db/km e poi passa in un ampliicaore con guadagno di db. Deerminare la poenza P del segnale in uscia all ampliicaore in unia logarimiche e lineari. Esercizio 43 (solo eso) Dao il segnale periodico s() in igura, deerminare il periodo, la requenza ondamenale e la componene coninua. s() [ms] Esercizio 44 (solo eso) Un collegameno in pone radio può essere modellizzao con il seguene sisema lineare: x() () Riardo a) Deerminare la risposa in requenza H()Y()/X() b) Calcolare il modulo della risposa in requenza c) Calcolare la ase della risposa in requenza per /( )<<(3/ ) (si ricordi che la ase di un numero reale negaivo vale ) d) Assumendo che -7 sec calcolare il segnale in uscia () quando il segnale in ingresso è x ()cos c con c MHz Assumendo che -7 sec calcolare il segnale in uscia () quando il segnale in ingresso è x ()(cos( ))cos c con c MHz e MHz (si ricordi che cosαcosβ/[cos(αβ)cos(αβ)] )

21 Esercizio 45 (solo eso) È dao il seguene sisema lineare: x() G() () Riardo dove G()rec((- c )/B)rec(( c )/B). Assumendo che il segnale in ingresso x() sia un rumore bianco con densià sperale di poenza S x ()N w/hz: a) Calcolare H() Y()/X() b) Calcolare la densià sperale di poenza del segnale () Calcolare la unzione di auocorrelazione del segnale () (si ricordi che cos α ½(cosα)) È dao il segnale periodico x p () con periodo sec oenuo ripeendo il segnale base: x cos se ( ) alrimeni /.5 x p () [sec] a) Calcolare la rasormaa di Fourier del segnale base b) Calcolare i coeicieni dello sviluppo in serie di Fourier del segnale x p () e mosrare che x p () può essere espanso in serie di soli coseni. Esercizio 46 (solo eso) Un segnale x() ha rasormaa di Fourier X( ) Re { X( ) } jim { X( ) } rec j rec rec a) Disegnare pare reale e pare immaginaria di X(). b) Deerminare l espressione analiica di x(). c) È possibile campionare il segnale x() senza che si generi aliasing? Se sì, quale è la minima requenza di campionameno? Esise un valore massimo per la requenza di campionameno? d) Deerminare la rasormaa di Fourier del segnale () X().

22 CAMPIONAMENO E RICOSRUZIONE Esercizio Dao il segnale (), con rasormaa di Fourier Y() rappresenaa in igura, rappresenare lo spero Yc() del segnale oenuo campionando idealmene () con a) c5 campioni/s; b) c7.5 campioni/s; c) c campioni/s. Deerminare l inervallo delle requenze di aliasing nei re casi a), b), c). Nel caso a) deerminare l andameno del segnale campionao idealmene nel empo c(). Y() 5 [Hz] : a) Y(5) Y() Y(-5) 5 [Hz] /5 Yc() [Hz] b) Y(7.5) Y() Y(-7.5) [Hz] Yc() /

23 c) Y() Y() Y(-) - 5 [Hz] Yc() / - 5 [Hz] L inervallo delle requenze di aliasing si esende a) ra 5 e Hz; b) ra 7.5 e Hz; c) non ci sono requenze di aliasing. Nel caso a), basa anirasormare la unzione Yc() cosane, per oenere c() Fourier - (Yc() )/5 δ().

24 Esercizio Dao il risulao dell esercizio precedene, deerminare nei re casi a), b), c), lo spero Yr() del segnale all uscia di un ilro di ricosruzione ideale, con risposa in requenza H() con requenza di aglio pc/. In quale dei re casi si ricosruisce pereamene il segnale coninuo originario () e perche. a) /5 Yc() H() (ampiezza uniaria) 7.5 [Hz] /5 Yr() 7.5 [Hz] b) Yc() H() Yr() / c) Yc() H() - 5 Yr() [Hz] / 5 [Hz] Il segnale r(), all uscia del ilro di ricosruzione ideale, viene ricosruio con la sessa orma del segnale coninuo originario () solo nel caso c), corrispondene ad un campionameno che soddisa il crierio di Nquis c>b, dove BHz e la banda del segnale originario.

25 Esercizio 3 Dao ancora il segnale (), di cui si conosce la orma dello spero Y() come speciicaa negli esercizi precedeni, deerminare la requenza di campionameno c minima, ainche il segnale c(), oenuo campionando idealmene (), possa essere ricosruio con un ilro passabasso reale con banda di ransizione uguale a Hz. Yc() H() - [Hz] c(minima)(.5) [Hz] Esercizio 4 È dao un segnale x() la cui rasormaa di Fourier X() ha solo pare reale avene il seguene andameno: Re{X()} [Hz] Rappresenare graicamene la rasormaa di Fourier dei segueni segnali: a) x () oenuo campionando x() alla requenza di campionameno c 5Hz [ puni] b) x () oenuo campionando x() alla requenza di campionameno c Hz [ puni] c) x 3 () oenuo campionando x() alla requenza di campionameno c 5Hz [ puni] Esercizio 5 Dao il segnale x( ) cos( ) cos(8 ), qual e il massimo inervallo di campionameno che permee di ricosruire pereamene x() dalla sua versione campionaa x(n)? Se si campiona x() con requenza di campionameno s 3, si rovi l espressione del segnale ricosruio. SOLUZIONE Il massimo inervallo di campionameno equivale all inverso della minima requenza di campionameno necessaria per garanire che sul segnale campionao non si veriichi il enomeno della sovrapposizione sperale. Poiche la massima requenza, presene nello spero del segnale da campionare e 4 [Hz], si ricava s > 8 [ Hz] s <.5 [] s. Fissaa la requenza di campionameno s 3, che non soddisa il eorema del campionameno, si avra sovrapposizione sperale nel segnale campionao. In paricolare, a causa della sovrapposizione sperale, il risulao della ripeizione, con passo 3, dello spero del segnale coninuo, cosiuio da quaro impulsi (due con ampiezza posiiva cenrai nelle reqeunze /- e due con ampiezza negaiva, ma sesso modulo, cenrai nelle requenze /-4 ) e uno spero nullo. Il segnale in uscia al ilro di ricosruzione e x r ().

26 FILRAGGIO DI PROCESSI CASUALI Esercizio È dao il seguene sisema lineare: x() Riardo G() () Riardo dove G()rec(/B). Assumendo che il segnale in ingresso x() sia un rumore bianco con densià sperale di poenza S x ()N w/hz: c) Calcolare H() Y()/X(). d) Calcolare la densià sperale di poenza del segnale () e) Calcolare la unzione di auocorrelazione del segnale () (si ricordi che cos α ½(cosα)) ) Calcolare la poenza del segnale () per B/. Esercizio È dao il seguene sisema lineare: x() Riardo / () Riardo / con cosane. a) Calcolare la unzione di raserimeno H() Y()/X(). b) Calcolare modulo e ase di H() per / ed /( ). c) Deerminare l epressione del segnale in uscia () quando x() A cos(/) A cos(/). Esercizio 3 Dao un sisema lineare con risposa all impulso h() exp(-(-5) ) al cui ingresso è applicao un segnale casuale con densià sperale di poenza cosane pari a S x () N [V /Hz], calcolare: a) la densià sperale di poenza S () del segnale in uscia (). b) La unzione di auocorrelazione R () del segnale in uscia (). c) La poenza P del segnale in uscia (). Esercizio 4 Un rumore n() gaussiano, bianco (a valor medio nullo) con densia sperale di poenza Sn()No/, viene ilrao con risposa in requenza H ( ) rec e l uscia w() viene campionaa in un isane generico. 4 Deerminare la densia di probabilia del campione di rumore ww(), e la probabilia che w>3no.

27 PCM Esercizio Si vuole rasmeere in ormao binario una sequenza di immagini in bianco e nero al rimo di immagini al secondo. Se la dimensione di ogni immagini e 7 x 576 pixel, e ogni pixel e rappresenao con 56 livelli di grigio, deerminare il rimo di rasmissione del lusso binario Rb. I 56 livelli di grigio per pixel vengono codiicai con log 568 [bi/pixel]. Rb7 x576 [pixel/immagine] x 8[bi/pixel] x [immagini/s] [bi/s]. Esercizio Dao un segnale campionao v(n) con disribuzione della ampiezze cosane nell inervallo [,], il segnale viene quanizzao (in maniera uniorme) e codiicao in binario. Deerminare il numero minimo di bi necessari per rappresenare ogni livello ainche il rapporo ra la poenza del segnale e la poenza del rumore di quanizzazione sia maggiore di db. Il numero di livelli di quanizzazione M N. La poenza di segnale Ps vale Ps/3 (vedi calcolo del valore quadraico medio di una variabile disribuia uniormemene in un cero inervallo). La poenza di rumore P Q /, con /M P Q /M. Il rapporo segnale rumore SNRPs/ P Q 4M SNR(dB)log( N )> log()nlog(4)> N6.