INTRODUZIONE AI SEGNALI. Fondamenti Segnali e Trasmissione

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1 INTRODUZIONE AI SEGNALI

2 Classiicazione dei segnali ( I segnali rappresenano il comporameno di grandezze isiche (ad es. ensioni, emperaure, pressioni,... in unzione di una o piu variabili indipendeni (ad es. il empo, lo spazio,... I segnali monodimensionali sono rappresenai da unzioni di una sola variabile e possono essere: coninui > se la variabile indipendene assume con coninuia ui i valori reali (

3 Classiicazione dei segnali ( discrei > se la variabile indipendene assume valori mulipli ineri di un inervallo preissao.5 n n reali > se il segnale assume solo valori reali complessi > se il segnale assume valori complessi (pare reale + pare immaginaria oppure modulo + ase 3

4 Classiicazione dei segnali (3 periodici > se il segnale si ripee uguale a se sesso dopo un qualsiasi inervallo muliplo di un periodo di duraa T o. L inverso della duraa del periodo viene deo requenza ondamenale o del segnale periodico. Se y( e periodico, con periodo T o, e se con ( si indica y( roncao ad un solo periodo, e evidene che il segnale periodico puo essere espresso come: y( rep T ( ( nt n o T o (

5 Riardo ( τ τ ( Il segnale e riardao di rispeo a ; e raslao rigidamene verso desra - ( (

6 Anicipo ( + τ τ ( Il segnale e anicipao di rispeo a ; e raslao rigidamene verso sinisra - ( (

7 Scalaura (a a ( Il segnale e scalao di rispeo a ; a < a > e dilaao se e compresso se e anche ribalao rispeo all asse delle ordinae se a < ( 7

8 Riardo (o anicipo e scalaura ( a( τ Il segnale é la versione riardaa di del segnale che é a ( sua vola la versione di scalaa di a τ ( a ( ( 5 8

9 ESEMPI: cosane e reangolo Cosane Reangolo ( C ( rec( rec( rec ( 4( /

10 Moliplicazione di un segnale per il reangolo y( ( rec( ( - - y( - -

11 ESEMPI: scalino ed esponenziale ( u( < ( ep( a u( Scalino Esponenziale a >

12 Energia d E ( d T P T T T / / ( lim Poenza media Poenza isananea ( P i Segnali periodici d T P o o T T o / / ( Energia, poenza e componene coninua (valor medio Componene coninua (valor medio d T m T T T / / ( lim ( d T m T T / / ( (

13 Energia, poenza e valor medio: esempi Segnali ad energia inia: E < P reangolo rec( E A rec( / T E A T esponenziale ep( a u( E a Segnali a poenza media non nulla: P > E cosane scalino P C P m ( m C segnali periodici con segnale base a energia inia (es: sinusoide, vedi olre 3

14 L impulso: deinizione L impulso (deo anche dela di Dirac può essere deinio (ralasciando il rigore maemaico come un reangolo di base T e alezza /T quando T ende a zero: δ ( lim T T rec T L impulso e dunque un segnale localizzao nell origine con base ininiesima, ampiezza ininia, ma area (inegrale uniaria: δ ( A δ ( d T /T

15 ( ( lim ( rec T T T δ lim ( T T rec L impulso: regole di calcolo - Un segnale ( moliplicao per un impulso e uguale al valore del segnale in per l impulso sesso T ( δ ( ( /T rec(/t - Un segnale ( moliplicao per un impulso riardao di τ e uguale al valore del segnale in τ per l impulso sesso: ( τ ( τ δ( τ ( δ 3 - L inegrale di un segnale ( moliplicao per un impulso riardao di τ e uguale al valore del segnale in τ : ( τ δ ( pari ( τ d ( ( δ d ( δ τ

16 Simbolo dell impulso δ (- δ ( δ (+ - 6

17 SISTEMI LINEARI TEMPO INVARIANTI 7

18 Deinizione di sisema Sisema: Da un puno di visa isico e un disposiivo che modiica un segnale (, deo ingresso, generando il segnale y(, deo uscia. Da un puno di visa ormale il segnale d ingresso ( viene manipolao ramie un generico operaore maemaico indicao con O[.]. Il risulao delle operazioni maemaiche eseguie sull ingresso e il segnale d uscia y(. Schema a blocchi ( Sisema O[ ( ] y( 8

19 Sisemi Lineari Tempo-Invariani (LTI Lineare: quando l uscia generaa dalla combinazione lineare di due o piu ingressi e uguale alla combinazione lineare delle uscie generae dai singoli ingressi a (+b ( Sisema Lineare O[a (+b (]ao[ (]+bo[ (] ay (+by ( Tempo Invariane: quando l uscia generaa da un segnale riardao e uguale all uscia generaa dal segnale originale, riardaa della sessa quania. ( τ Sisema Tempo Invariane O[( τ] y( τ 9

20 Risposa all impulso Risposa all impulso: e l uscia del sisema quando l ingresso e l impulso. Viene soliamene indicaa con il simbolo h( h( O [ δ ( ] δ( Sisema O[δ(] h( Se il sisema e empo-invariane, la orma della risposa all impulso non dipende dall isane in cui si applica l impulso. Quando l ingresso e un impulso anicipao o riardao l uscia e uguale ad h( anicipaa o riardaa: Se il sisema e anche lineare, noa la risposa all impulso e possibile calcolare l uscia del sisema quando l ingresso e una qualsiasi combinazione lineare d impulsi: y( ah h( τ O[ aδ ( + bδ ( τ + cδ ( τ ] ( + bh( τ + ch( τ O [ δ ( τ ]

21 Rappresenazione di un segnale come combinazione lineare di impulsi Un qualsiasi segnale ( puo essere rappresenao come somma inegrale di impulsi ( τ dτ ( ( τ δ - ( τ δ ( τ τ - - -

22 Abbiamo viso che: La convoluzione - Noa la risposa all impulso, e possibile calcolare l uscia di un sisema LTI quando l ingresso e una qualsiasi combinazione lineare d impulsi - Un qualsiasi segnale ( puo essere rappresenao come somma inegrale di impulsi Ne segue che: y( O ( [ ] O ( τ δ ( τ dτ ( τ O[ δ ( τ ] dτ ( τ h( τ dτ ( τ ( τ dτ simbolo della convoluzione uscia convoluzione ra ingresso e risposa all impulso del sisema LTI h ( * h ( inegrale di convoluzione (o semplicemene convoluzione

23 Esempio di calcolo della convoluzione: y( ( τ h ( τ dτ ( h( rec( ( Il risulao è h( ( rec( ri( rec inai: 3

24 Esempi di calcolo della convoluzione ( Inegrando ( τ ( ( τ h τ τ ( h( rec( y( Inegrale ( τ h ( τ dτ h ( τ h( τ - -/3 -/3 +/3 +/ y(

25 RISPOSTA IN FREQUENZA DEI SISTEMI LTI 5

26 Risposa in requenza dei sisemi LTI Se il segnale d ingresso di un sisema Lineare Tempo-Invariane (LTI e un esponenziale complesso l uscia sara ancora un esponenziale complesso con la sessa requenza, ma con ampiezza e ase modiicae. Aep { j( π +ϑ } o Sisema LTI h( B ep { j( π +ϕ } o Risposa in requenza: E la unzione della requenza che descrive come vengono modiicae ampiezza e ase di un esponenziale complesso quando passa araverso un sisema LTI. 6

27 Risposa in requenza dei sisemi LTI ( { jπ } ( ep Sisema L T I { j } H( y( ep π ( τ h ( τ dτ ep ( τ { jπ } h( τ dτ ep{ jπ } h( τ ep{ jπ τ} y( ep { jπ } H( dτ L uscia di un sisema LTI alimenao da un ingresso esponenziale complesso e ancora un esponenziale complesso con la sessa requenza dell ingresso. L ampiezza e la ase iniziale dell uscia dipendono dalla risposa in requenza H( del sisema LTI. 7

28 Risposa in requenza di sisemi reali Se il sisema LTI ha risposa all impulso h( reale, la risposa in requenza H( e una unzione con simmeria complessa coniugaa: H( H*(- (come si veriica acilmene dalla deinizione di H(. Dunque il modulo di H( e pari (simmerico rispeo all origine e la ase di H( e dispari (anisimmerica rispeo all origine. H( H(- ase H( - ase H(- 8

29 9 Risposa in requenza di sisemi reali ( ( H ase ϕ ( { } { } [ ] { } { } [ ] { } { } [ ] ( { } ( { } [ ] ( ϕ π ϕ π ϕ π π π π π π π π H j j H H j H j H j H j h y j j cos ( ep ep ( ( ep ( ep ( ep ( ep ( ( ( ep ep cos (

30 Trasormaa di Fourier L operaore che consene di oenere la risposa in requenza H( a parire dalla risposa all impulso del sisema h(, viene deo rasormaa di Fourier. La rasormaa di Fourier puo essere calcolaa per un generico segnale (, non solo per la risposa all impulso di un sisema LTI: X ( ( ep{ j } d π L operaore che consene di rioenere il segnale ( a parire dalla sua rasormaa di Fourier X( viene deo rasormaa inversa di Fourier: ( X ( ep π { j } d Si noi che la rasormaa di Fourier e la sua inversa sono uguali, a pare il segno dell esponene. 3

31 Segnali come somma di esponenziali complessi La rasormaa Inversa di Fourier ( X ( ep π { j } d ha la seguene inerpreazione: un qualsiasi segnale ( puo essere scomposo nella somma (inegrale di esponenziali complessi le cui ampiezze (ininiesime e asi iniziali in unzione della requenza sono dae dalla rasormaa di Fourier X( : Ampiezza : X ( d Fase iniziale : X ( 3

32 Sisemi LTI: legame ingresso-uscia in requenza - Se l ingresso e un esponenziale complesso ( A ep{ j π }, l uscia e y( H( A ep{ j π } - Un generico segnale ( puo essere scomposo nella somma (inegrale di esponenziali complessi (di ampiezza ininiesima del ipo X( ep{ j π } d 3 - L uscia y( di un sisema LTI per un generico segnale d ingresso ( e daa dalla somma (inegrale di esponenziali complessi H( X( ep{ j π } d 4 - L uscia y(, come ui i segnali, puo essere scomposa nella somma di esponenziali complessi del ipo Y( ep{ j π } d Quindi: Y ( H( X ( Queso risulao corrisponde ad una imporane propriea della rasormaa di Fourier, che verra ripresa nel seguio: la rasormaa della convoluzione ( y( h( ( e il prodoo delle rasormae ( Y ( H( X (. 3

33 ( ( Esercizi sui sisemi LTI. La sinusoide sin / T è l ingresso di un sisema LTI con risposa in requenza: H ( + jπ T + jπt Si deermini l uscia. Si calcolino valor medio e poenza di ingresso e di uscia.. Un sisema LTI con risposa all impulso ( riceve in ingresso un segnale a scalino Au. Si calcoli l uscia. Si calcolino energia, poenza e valor medio, di ingresso e uscia. 3. Un sisema LTI con ingresso A ha come uscia πa cos π per ogni valore di requenza. Qual é la risposa in requenza del sisema? 4. Un sisema LTI ha risposa in requenza H( e ingresso ( pari a: H ( ( cos 6 ( + jπt T calcolare l uscia y( la sua poenza media, e la poenza media di (. 33 h ( ( ( / T T, alrove sin( π (

34 LA TRASFORMATA DI FOURIER, PROPRIETA ED ESEMPI 34

35 Trasormaa di Fourier Un segnale ( puo essere scomposo nella somma (inegrale di esponenziali complessi le cui ampiezze (ininiesime e asi iniziali in unzione della requenza sono dae dalla rasormaa di Fourier X( : X ( ( ep{ j } d π Inai l operaore che consene di rioenere il segnale ( a parire dalla sua rasormaa di Fourier X(, deo rasormaa inversa di Fourier: ( X ( ep π { j } d Si noi che la rasormaa di Fourier e la sua inversa sono uguali, a pare il segno dell esponene. 35

36 Trasormaa di Fourier: noazioni rasormaa di Fourier rasormaa inversa di Fourier X( I TDF FT [ ( ] [ ( ] [ ( ] ( I TDFI IFT [ X ( ] [ X ( ] [ X ( ] Si dice anche che ( e X( sono una coppia per la rasormaa di Fourier : ( X ( ( TDF X ( 36

37 Propriea della TDF ( LINEARITA : la TDF della combinazione lineare (somma pesaa di due segnali e uguale alla combinazione lineare delle TDF dei due segnali. a ( +a ( TDF a X ( +a X ( SIMMETRIA: (- TDF X (- * ( TDF X * (- conseguenze: la TDF di una segnale reale gode di simmeria complessa coniugaa. La pare reale e il modulo sono simmerici rispeo all origine (sono pari, la pare immaginaria e la ase sono anisimmeriche rispeo all origine (sono dispari. ( reale TDF X(- X * ( 37

38 Propriea della TDF ( TDF di una segnale reale Modulo A Fase A A Pare reale Pare immag. ( reale pari ( reale dispari Casi paricolari TDF X( reale pari X( immaginario dispari 38

39 Propriea della TDF (3 Valori nell origine: la TDF in e uguale all inegrale del segnale nei empi. Il segnale in e uguale all inegrale della TDF nelle requenze. X ( ( d; ( X ( d ; Dualia : dao il segnale ( e la sua TDF X(, vale la seguene relazione duale: X(- TDF ( Scalaura: ( a TDF a X a Caso paricolare, a-: (- TDF X(- 39

40 Propriea della TDF (4 Traslazione nei empi: la TDF del segnale riardao e uguale a quella del segnale originale moliplicaa per un esponenziale complesso (- TDF e -jπ X( Traslazione nelle requenze: raslare in requenza la TDF del segnale equivale a moliplicare il segnale nei empi per un esponenziale complesso ( e jπ X(- TDF Derivazione nei empi: la TDF del segnale derivao nel empo e uguale a quella del segnale originale moliplicaa per : jπ d ( d TDF jπ X ( 4

41 Esempi di rasormaa di Fourier (il reangolo ( T / sinπ T A rec X ( A ep T T / π T ( jπ d AT AT sinc( T ( A -T/ T/ X( F AT -/T /T 4

42 sinc ( sinπ π Seno cardinale Si annulla per ui i valori ineri di ranne nell origine, dove ha valore uniario o o o o o o o o o o

43 Scalaura del reangolo ( A rec X ( T AT sinc ( T A AT -T/ T/ -/T -/T /T /T 3/T T-- A AT T++ -T/ T/ A -/T AT /T /T 3/T -T/ T/ /T 4/T 43

44 Esempi di rasormaa di Fourier (il sinc ( A sinc X ( T AT rec( T ( A TDF X( -T T AT Noa bene: sin ( πa π a sinc a ( a rec a + -/T /T 44

45 Propriea della TDF (5 Moliplicazione nelle requenze: la TDF inversa del prodoo delle TDF di due segnali e uguale all inegrale di convoluzione dei segnali nei empi. ( h( ( τ h( τ dτ TDF X(H( Moliplicazione nei empi: la TDF del prodoo di due segnali e uguale all inegrale di convoluzione delle due TDF (nelle requenze. ( y( TDF X ( ξ Y ( ξ dξ 45

46 Propriea della TDF (6 Relazione di Parseval: l energia di un segnale e uguale all inegrale del modulo quadrao della sua TDF ( d X ( d X ( X ( inegraa su uo l asse delle requenze ornisce l energia del segnale. d rappresena l energia del segnale in ogni inervallo di requenze ininiesimo d. X ( viene dea DENSITA SPETTRALE DI ENERGIA 46

47 La rasormaa di Fourier dell impulso Un impulso di area uniaria ha come TDF una cosane uniaria nei empi: δ ( ep π { j } d δ ( TDF Quindi, per dualià, la TDF di una cosane uniaria é un impulso nelle requenze. TDF δ ( Inolre, per le proprieà legae alla raslazione nei empi e nelle requenze: δ ( - e -jπ TDF e jπ δ ( - TDF 47

48 Trasormaa inversa di Fourier (raccia di dimosrazione Calcolaa la rasormaa di Fourier X( del segnale ( X ( ( ep( jπ d ( τ ep( jπ τ dτ (dove si preerisce la variabile d inegrazione per non cononderla poi con si anirasormi inegrando nell inervallo ( a,+a, che si ara poi endere all ininio: a a X ( ep( jπ d ( τ dτ a a sin π a ( π ep( jπ a + ( a a ( sin π a (vedi diero la TDF di π d 48 τ d τ ( τ ep( jπ ( τ dτ sin π a( τ ( τ dτ π ( τ sin π a in quano δ ( π a +

49 La rasormaa di Fourier del seno e del coseno La rasormaa di Fourier del seno si ricava da quella della cosane uilizzando le propriea di raslazione nelle requenze e di linearia : ( j { jπ } ep{ j π } j sin( π o ep o TDF o / Im[X(] X ( j j δ δ ( + ( o o - -/ La rasormaa di Fourier del coseno di conseguenza: ( { jπ } + ep{ j π } cos( π o ep o o / Re[X(] / TDF X ( δ δ + ( + ( o o

50 Banda di un segnale Viene deinia banda (B del segnale ( l inervallo di requenze (misurao sul semiasse posiivo all inerno del quale X( assume valori diversi da. Operaivamene, nella deinizione di banda, si considerano due classi di segnali: Segnali di ipo passa-basso X( concenraa inorno a Segnali di ipo passa-banda X( concenraa inorno a ± X( X( B 3dB B - - B Molo spesso X( è a rigore diversa da da - a +. In queso caso la banda corrisponde all inervallo di requenza in cui X( è signiicaivamene diversa da, per esempio X( > X ma / (Banda a 3 db oppure X( > X ma / (Banda a db 5

51 Risposa in requenza del canale (o ilro passa-basso ideale H( - B c B c La La risposa all impulso e e un un seno seno cardinale con con gli gli zeri zeri posizionai a empi empi mulipli mulipli ineri ineri di di / / B B cc h( B c sinc ( B ( c H rec Bc Si Si generalizza acilmene al al caso caso di di canale canale con aenuazione A (cosane e riardo B H c( A rec ep( jπ con aenuazione A (cosane e riardo 5 c

52 Risposa in requenza del canale (o ilro passa-alo ideale H( - B c B c La La risposa all impulso e e daa daa da da un un impulso di di area area uniaria uniaria δ( meno meno un un seno seno cardinale con con gli gli zeri zeri posizionai a empi empi mulipli mulipli ineri ineri di di / / B B cc h( δ ( B ( ( csinc Bc H rec Bc 5

53 Risposa in requenza del canale (o ilro passa-banda ideale H( - o B c / - o - o + B c / o B c / o o + B c / La La risposa all impulso e e quindi quindi daa daa da da un un seno seno cardinale con con gli gli zeri zeri posizionai a cos( π empi empi mulipli mulipli ineri ineri di di / / B c moliplicao c per per.. ( B cos π + ( ( ( + sinc Bc H rec rec Bc Bc h c 53

54 PROCESSI CASUALI 54

55 Descrizione dei processi casuali Di un processo casuale è uile conoscere le caraerisiche comuni a ue le realizzazioni. Un processo casuale è descrio compleamene dalle densià di probabilià congiune di ui gli ordini e per ui gli isani di empo. Tuavia in moli casi quesa inormazione complea non è disponibile. In praica si uilizzano soprauo: la densià di probabilià delle ampiezze del processo p (a che descrive con quale probabilià una realizzazione del processo casuale ( assume valori in un inorno di a. In generale p (a dipende anche dal empo. Tuavia noi ci occuperemo di una classe di processi casuali dei sazionari le cui caraerisiche saisiche non dipendono dal empo. la unzione di auocorrelazione del processo R (τ che descrive quaniaivamene il legame ra il valore assuno da una realizzazione del processo casuale al empo +τ e quello assuno dalla sessa realizzazione al empo. Limiando l analisi ai processi casuali sazionari, R (τ non dipende dal empo ma solo dall inervallo di empo τ. 55

56 Densià di probabilià del processo casuale La densià di probabilià (d.d.p. di un processo sazionario non ha nulla di diverso rispeo alla densià di probabilià di una variabile casuale, deinia in precedenza. Inai, ad un empo assegnao o, il processo casuale è una variabile casuale ( o (soliamene si soinende l isane di empo o e si indica la variabile casuale con e come ale può essere raao. Analogamene le densià di probabilià congiune di un processo sazionario non sono alro che le densià congiune in due (o più isani di empo. esempio: d.d.p. gaussiana p ( a ep ( a m πσ σ πσ p (a P P P valor medio m, varianza σ ( m σ < m + σ.683 ( m σ < m + σ ( m 3σ < m + 3σ πσ.35 πσ σ σ σ σ m X a 56

57 P [ β ] > Funzione Q e unzione errore complemenare (erc + ( ep( a Q erc π + ( s ep( a π s da ep da, ( a m Q( Q(, 5,E-,8,9E-,5 4,8E-,,587E-, 4,6E-,,5E-,5 4,44E-,4 8,8E-, 4,7E-,6 3,86E-,5 4,3E-,8 3,59E-,3 3,8E-,,8E-,35 3,6E-,4 8,E-3,4 3,446E-,8,6E-3,45 3,64E- 3, 6,87E-4,5 3,85E- 3,6,59E-4,6,743E- 4, 3,67E-5 β m da Q σ β m erc σ β πσ σ 57 s erc(s s erc(s,,e+,6,37e-, 8,875E-,8,9E-, 7,73E-, 4,7E-3,3 6,74E-,,9E-3,4 5,76E-,4 6,885E-4,5 4,795E-,6,36E-4,6 3,96E-,8 7,5E-5,7 3,E- 3,,9E-5,8,579E- 3,3 3,57E-6,,573E- 3,7,67E-7, 9,7E- 4,,54E-8,4 4,77E- 5,,537E- Enrambe le unzioni abulae si possono usare per calcolare la probabilià che la variabile casuale gaussiana con valor medio m e varianza σ superi un valore assegnao: Oppure che cada in un inervallo assegnao: P p(a α m Q( a β m α m β m [ ] α < < β Q Q erc erc σ σ σ σ α m X P[ > β ] β β a m X P[ α < < β ] a

58 Auocorrelazione di un processo casuale sazionario ( L auocorrelazione del processo ( è deinia come valor medio di ((+τ, ed è calcolabile dalla ddp congiuna. Se il processo è sazionario l auocorrelazione non dipende da, ma solo da τ. Seil processo ha media nulla, l auocorrelazione è la covarianza delle due leure, simabile come media arimeica, su un gran numero di realizzazioni, dei prodoi dei valori del processo agli isani e +τ. Il primo dei due processi casuali in igura ha realizzazioni che variano lenamene nel empo (ad es. il rumore di un moore di un auo al minimo; il secondo ha realizzazioni che variano con grande rapidià (ad es. il ruscio di ondo di un vecchio disco rovinao.. 5 ( R (+τ ( τ E[ ( ( + τ ] i ( i ( + τ N N i ( (+τ

59 R R Esempi di realizzazioni di un processo (con valor medio nullo che varia lenamene Se ( varia lenamene nel empo, (+τ è soliamene poco diverso da (: il prodoo i ( i (+τ ha segno posiivo per quasi ue le realizzazioni. Per τ l auocorrelazione è la varianza del processo; per τ > è minore (covarianza. Auocorrelazione di un processo casuale sazionario ( ( τ E[ ( ( + τ ] ( [ ] E ( E[ P ( ] i ( (+τ 59 τ

60 Auocorrelazione di una realizzazione (media emporale L auocorrelazione di una singola realizzazione è deinia come media nel empo dei valori di ((+τ: R ( τ lim T In generale varia da una realizzazione all alra. Se però il processo è ergodico, coincide con l auocorrelazione deinia sull insieme di ue le realizzazioni. T T / T ( ( / + τ d.5 ( (+τ Se ( varia lenamene nel empo, (+τ è poco diverso da (: il prodoo ((+τ ha segno molo spesso posiivo, e l auocorrelazione assume un valore relaivamene elevao. Se ( varia rapidamene nel empo, (+τ è molo diverso da (: il prodoo ((+τ ha segno casuale, e l auocorrelazione assume un valore prossimo a zero

61 Proprieà dell auocorrelazione di processi sazionari ergodici L auocorrelazione é una unzione pari: R ( τ R ( τ ( e (+τ possono scambiarsi di ruolo ma danno lo sesso risulao se é sazionario L auocorrelazione in τ dà la poenza di ( (valor medio della poenza isananea P R ( P R inai e se é ergodico. Inolre, se ha valor medio il valore R R [ ] ( quadraico medio coincide con la sua varianza: ( E R P σ L auocorrelazione assume il suo valore massimo per τ : R ( τ R ( τ ( cov[ X, Y ] σ σ X Y 6

62 Densià sperale di poenza (deinizione La densià sperale di poenza di un processo casuale sazionario ( è deinia come la rasormaa di Fourier dell auocorrelazione R (τ S ( R ( τ ep( j πτ dτ R ( τ S ( ep( jπτ d Perché S ( è una densià sperale di poenza? - Come si è viso l auocorrelazione in τ è, per un processo ergodico, uguale alla poenza associaa ad una realizzazione: R T T T ( lim ( d P - L auocorrelazione in τ è anche uguale all inegrale della sua TDF: T / / ( S ( d P R 6

63 Processi casuali araverso sisemi LTI Se un processo casuale ( sazionario passa araverso un sisema LTI con risposa all impulso h( reale e risposa in requenza H(, il processo casuale in uscia y( è sazionario ed ha le segueni caraerisiche: - Il valor medio del processo in uscia è dao da: my E [ y( ] E ( τ h( τ dτ m H( - L auocorrelazione del processo in uscia è daa da: R y [( ( h( ( ( + τ h( + τ ]... R ( τ h( τ ( ( τ E h τ ( h( y( 3 - La densià sperale di poenza del processo in uscia è quindi daa da: S ( S ( H( H( y S ( H ( 4 - In generale la densià di probabilià ddp y del processo in uscia y( è diversa dalla ddp dell ingresso (, e non semplice da calcolare. Solo la densià di probabilià gaussiana rimane ale nel passaggio araverso sisemi lineari. 63

64 Densià sperale di poenza (signiicao isico Si supponga che il processo casuale y( sia oenuo da ( araverso un ilro ideale passa banda cenrao sulla requenza o (e, simmericamene, - o con piccola banda. Si può ben dire che y( coniene le sole requenze di ( nella banda del ilro, cioè in un inorno di ± o! Se è suicienemene piccolo si ha S y ( S ( P y o per S y o ( d S / < 64 ( < o + e simmericamene inorno a - o. La poenza di y(, cioè la poenza di ( nelle bande, è daa da Dunque S ( ha eeivamene il signiicao di poenza per unià di banda in un inorno di, cioè di densià sperale di poenza. Noa: l aggeivo sperale viene usao per indicare uo ciò che si rierisce al dominio delle requenze. Si noi che meà della poenza è aribuia alle requenze negaive! Poiché ciò ha poco senso isico, spesso si preerisce deinire una densià sperale unilaera (doppia della bilaera ; è ovvio che poi nei calcoli si considerano le sole requenze posiive! IMPORTANTE: la densià sperale di poenza non può essere negaiva (a nessuna requenza: ilrando si oerrebbe un processo y( con poenza negaiva!! /

65 Processi casuali bianchi Si dice bianco un processo casuale con densià sperale di poenza cosane. Quindi un processo casuale bianco ha auocorrelazione impulsiva. Si raa, evidenemene, di una idealizzazione (anche la luce che diciamo bianca, da cui deriva il nome, ha spero che non si esende all ininio. Noiamo che un processo veramene bianco avrebbe poenza ininia! Nel mondo reale osserviamo solo processi ilrai (con banda più o meno larga. Se la banda del processo in ingresso è più larga di quella del ilro, possiamo assegnare valori arbirari alla densià sperale uori banda (senza che cambino i risulai del calcolo. Un valore cosane è il più comodo dal puno di visa maemaico. S ( R (τ τ Noa: l auocorrelazione impulsiva signiica che il valore (+τ del processo bianco al empo +τ è assoluamene impredicibile dal valore ( all isane : il processo varia in modo ininiamene rapido! 65

66 Processi casuali bianchi ( Soliamene la densià sperale di un processo casuale ( bianco viene indicaa con S (N / e quindi la unzione di auocorrelazione con R (τ N / δ(τ. Noa: si indica quindi con N la densià sperale di poenza unilaera. E imporane saper calcolare la poenza di un processo y( oenuo da un processo bianco ( araverso un ilro con risposa all impulso h( e risposa in requenza H(. Si ha σ y N S y H ( d S N ( ( d h H ( ( d d Noa: un risulao del uo analogo si oiene se si calcola la varianza di una variabile casuale y oenua come somma pesaa, con pesi w(, dei valori del processo (: y ( N N w( d σ y W ( d w ( d 66