Richiami principali ai segnali

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1 CAPITOLO 1 Richiami principali ai segnali 1.1. Inroduzione La definizione di segnale pare dall esperienza comune. Esempi di segnale nella via quoidiana sono il segnale acusico che viene prodoo da uno srumeno musicale, il segnale radio capao dall anenna di un riceviore, la rappresenazione del baio cardiaco araverso un elerocardiografo e così via. Tui gli esempi che si possono fare hanno una marice comune: il segnale è una grandezza fisica variabile a cui è associaa una qualche forma di informazione. Lo sudio dei segnali quindi passa necessariamene araverso lo sudio delle funzioni maemaiche di una o più variabili. Le grandezze fisiche rappresenae da un segnale sono le più svariae: l inensià luminosa e il colore su uno schermo nel caso di un segnale elevisivo, la variazione della pressione dell aria nel caso di un segnale musicale, la ensione elerica o la correne nel caso di un segnale misurao su di un circuio elerico, un onda eleromagneica nel caso di un segnale radio capao dallo spazio. L evoluzione di moli segnali monodimensionali (cioè dipendeni da una sola grandezza) avviene nel empo: esempi sono il segnale musicale, la misura della ensione su un condensaore, la variazione dell inensià luminosa del sole durane il giorno, ecceera. Tuavia è possibile considerare dipendenze diverse di un segnale: ad esempio la sua variazione nello spazio. La misura dell inensià dell oscillazione di un erremoo ad uno sesso isane nelle varie localià rappresena un segnale di cui ineressa la cui esensione spaziale e non la sua evoluzione emporale. Nauralmene è sempre possibile immaginare lo sesso ipo di informazione (l inensià di un erremoo) in una daa localià e seguirne la sua evoluzione nel empo. Ques ulimo esempio pora alla rappresenazione di segnali bidimensionali o anche mulidimensionali, segnali cioè che variano in dipendenza della variazione di due o più grandezze. Il segnale elevisivo bianco e nero è un esempio di segnale ridimensionale, dao che esso è dipendene da due coordinae spaziali (larghezza ed alezza dello schermo) e da una coordinaa emporale (il susseguirsi delle scene sullo schermo). Se consideriamo invece un segnale elevisivo a colori esso è in realà la sovrapposizione di re segnali ridimensionali, dao che separaamene in ogni puno dello schermo è rappresenaa la sovrapposizione dei re colori fondamenali: rosso, verde, blu. Quindi un segnale elevisivo a colori si puè pensare come un segnale veoriale (cosiuio cioè da re componeni) a re dimensioni, dipendene cioè da re grandezze fisiche: c(x, y, ) = [red(x, y, ), green(x, y, ), blue(x, y, )]. 5

2 1.. TIPI DI SEGNALE Tipi di segnale Una prima classificazione di segnale è saa già faa differenziando i segnali monodimensionali da quelli mulidimensionali, come anche quelli scalari da quelli veoriali, cosiuii cioè da più componeni. Si possono inolre differenziare i segnali in base ai valori assuni dalla variabile indipendene: segnali a empo coninuo: sono quelli per i quali il dominio della funzione ha la cardinalià dei numeri reali. La variabile indipendene (ad esempio il empo) assume valori in modo coninuo (ad esempio un segnale musicale emesso da uno srumeno). segnali a empo discreo: sono quelli per i quali il dominio della funzione ha la cardinalià dei numeri naurali. Per quesi segnali la variabile indipendene assume valori in un insieme discreo. In al caso la dipendenza del segnale dalla variabile indipendene è rappresenaa mediane la successione dei valori assuni: x(n) per indicare il valore del segnale x dall n simo valore della variabile indipendene. Esempio di un segnale empo discreo è il segnale elevisivo, dao che esso è rappresenao sullo schermo mediane la successione di 5 foogrammi al secondo. I segnali sessi possono assumere valori in un insieme non numerabile di valori (segnali ad ampiezza coninua) o in un insieme numerabile di valori (segnali ad ampiezza discrea). Esempio di un segnale ad ampiezza coninua è la misura della ensione su un condensaore così come essa è rappresenaa su un oscilloscopio analogico; esempio di un segnale ad ampiezza discrea è invece lo sao di un semaforo: ad ogni isane esso può assumere solo due possibili valori: acceso o speno. I segnali ad ampiezza coninua sono dei anche segnali analogici, quelli ad ampiezza discrea sono dei numerici. In figura (1..1) sono rappresenai i due ipi di segnale sinora visi. s() s() FIGURA Differenza ra segnale ad ampiezza coninua e segnale ad ampiezza discrea

3 1.. TIPI DI SEGNALE 7 Un alra disinzione può essere faa ra i segnali periodici e segnali non periodici (o aperiodici). Deo T un numero reale > 0, un segnale s() si dice periodico se n Z : s() = s( + nt ). Un segnale periodico è quindi definio su uo l asse reale e per una sua descrizione complea è sufficiene la conoscenza all inerno di un periodo. Un segnale di duraa finia è, quindi, aperiodico. Una combinazione lineare di segnali periodici di sesso periodo T o di periodo che è un soomuliplo di T, cioè T/n è, a sua vola, periodica di periodo T. I segnali inolre possono essere suddivisi in base al loro comporameno energeico. Si dicono ad energia finia i segnali che verificano la seguene proprieà: (1..1) s() d < + dove la quanià a primo membro dell espressione è dea energia del segnale. I segnali periodici non sono segnali ad energia finia, dao che, se +T/ s() T/ d è una quanià finia, l inegrale su uo R risulerà sicuramene infinio. Tali segnali sono allora segnali a poenza finia, per i quali cioè risula: 1 (1..) lim T + T +T/ T/ s() d < + La quanià a primo membro è dea poenza del segnale. Per i segnali ad energia finia la poenza è nulla. Per i segnali empo discrei la definizione di energia e poenza è rispeivamene: (1..3) + n= s(n) 1 (1..4) lim N + N + 1 +N n= N s(n) Infine alre disinzioni ra segnali possono essere fae sulla base delle loro proprieà puramene maemaiche: ad esempio si disinguono i segnali reali da quelli complessi, composi cioè di una pare reale e di una pare immaginaria: s c () = s R () + js I (). Paricolari simmerie dei segnali possono permeere di disinguere i segnali pari, per i

4 1.. TIPI DI SEGNALE 8 quali risula: s() = s( ), da quelli dispari, per i quali vale invece: s() = s( ). Per un segnale che non gode di simmeria pari, nè dispari, si può sempre pensare di esrarne la sua pare pari: (1..5) s e () = 1 [s() + s( )] e la sua pare dispari (1..6) s o () = 1 [s() s( )] Operazioni sui segnali. Vengono qui richiamae le principali operazioni che è possibile compiere sui segnali. Paricolare ineresse assumono le operazioni sulla variabile indipendene Traslazione. La raslazione di un segnale è il suo sposameno sull asse della variabile indipendene (o nel piano delle sue variabili indipendeni se dipende da due variabili): s( o ) è il segnale s() sposao emporalmene nella posizione o. Se la variabile indipendene è il empo, si dice anche che il segnale è riardao di o secondi se o > 0 alrimeni è anicipao di o secondi, se risula o < Ribalameno. Il ribalameno di un segnale corrisponde all operazione: s() s( ), esso cioè viene descrio con l asse della variabile indipendene riflesso rispeo all asse delle ordinae. Quesa operazione è uile per esaminare le proprieà di simmeria di un segnale (segnale pari o dispari) Scalaura dell asse. Considerao un numero reale a > 0, un segnale si dice che ha subio un cambiameno di scala se risula la seguene rasformazione: s() s(a). In paricolare se a > 1 il segnale ha subio un resringimeno, alrimeni, con 0 < a < 1 il segnale subisce un espansione. E sempre possibile esendere il cambiameno di scala dell asse della variabile indipendene ai casi in cui risula a < 0, basa applicare separaamene le due operazioni di ribalameno e di scalaura del segnale: s() s( ) s( a ). Si ricordi che l operazione di cambiameno di scala, come quella di ribalameno che si può considerare come un caso paricolare con a = 1 non commua con quella di raslazione Convoluzione ra segnali. Dai due segnali x() ed h(), si definisce il prodoo di convoluzione ra i due segnali come:

5 1.3. SEGNALI ELEMENTARI 9 (1..7) y() = x() h() = x()h( )d La convoluzione gode delle segueni proprieà: (1) La convoluzione è un operazione commuaiva: x() h() = h() x() () La convoluzione gode della proprieà associaiva: x() y() h() = (x() y()) h() = x() (y() h()) (3) La convoluzione è disribuiva rispeo alla somma: (x() + y()) h() = x() h() + y() h() 1.3. Segnali elemenari Esise una classe di segnali che, per la loro paricolare semplicià, viene spesso uilizzaa per schemaizzare il comporameno dei segnali che si inconrano nei casi reali. A quesi segnali si dà il nome di segnali elemenari. Le proprieà vise precedenemene si applicano ovviamene anche ai segnali elemenari Gradino uniario. Il gradino uniario è la funzione così definia: (1.3.1) u() = { 1, > 0 0, < 0 Per = 0 si assume che s(0) = Rampa. E un segnale nullo per < 0 e che, per > 0, cresce proporzionalmene a : (1.3.) r() = {, > 0 0, < 0 a r() a FIGURA Rampa uniaria

6 1.3. SEGNALI ELEMENTARI 10 Tale segnale può considerarsi come il risulao del passaggio dello scalino uniario araverso un inegraore: (1.3.3) r() = u() d Parabola. La parabola (o rampa parabolica) è il segnale che si oiene riapplicando l operaore di inegrazione alla rampa: (1.3.4) p() = r() d = 1 p() FIGURA Rampa parabolica Segnale reangolare, onda quadra. Si chiama reangolare un segnale che manenga valore cosane per ua la sua duraa limiaa: (1.3.5) rec ( ) { 1, < = 0, > E, chiaramene, un segnale di energia finia e la sua energia vale. La somma di segnali reangolari ripeui a disanza T dà luogo ad un segnale periodico, di periodo T :

7 1.3. SEGNALI ELEMENTARI 11 (1.3.6) sq() = che viene deo onda quadra. + n= ( ) nt rec Τ Τ Τ Τ+ FIGURA Reagolo ed onda quadra Se = T/ l onda quadra si dice a duy cycle 50%. L onda quadra (1.3.6) oscilla ra 0 e 1 ed ha valor medio /T. Un onda quadra con duy cycle 50% che oscilla ra +1 e 1 ha valor medio nullo. Si osservi infine che, a rigore, il segnale reangolare (1.3.5) è disconinuo in ±/ ed il suo valore in ali puni sarebbe indefinio. In un puno di disconinuià assumeremo che il segnale assuma il valore s( o ) = 1 [s( o ) + s( + o )] Dela di Dirac. Il Dela di Dirac non è in realà una vera e propria funzione, ma una disribuzione. Essa, a rigore, dovrebbe essere definia solo all inerno di un inegrale. La sua definizione pare dalla osservazione che la funzione: (1.3.7) 1 T rec( T ) ha sempre area pari ad 1, qualunque sia il valore di T. Al endere però di T a zero, il reangolo divena infiniamene sreo ed alo. Una definizione della funzione dela è allora la seguene: (1.3.8) δ() = lim T 0 1 T rec( T )

8 1.3. SEGNALI ELEMENTARI 1 La funzione così definia ha valori sempre nulli ranne in = 0 dove assume valore nominalmene infinio. La sua rappresenazione su di un grafico è quindi a rigore impossibile. La schemaizzazione che si usa è quella riporaa in fig δ () FIGURA Rappresenazione grafica dell impulso o dela di Dirac. In base a quano deo: (1.3.9) δ()d = 1 inolre la funzione dela è pari: δ( ) = δ(). La principale proprieà della funzione dela è la seguene: (1.3.10) s()δ( o )d = s( o ) essa cioè applicaa ad una funzione all inerno di un inegrale permee di esrarre il valore di quella funzione nel puno in cui il dela è applicao (sempre che la funzione s() sia coninua in = o ). Quesa noazione è uilizzaa per indicare l esrazione di un campione da un segnale nella posizione in cui è poso l impulso. La proprieà in (1.3.10) può essere visa anche nel modo seguene: l impulso piazzao ad un dao isane e moliplicao per una funzione s() risula pari all impulso sesso ma con area uguale al valore che il segnale assume in quella posizione : s() δ( ) = s() δ( ). Un segnale può essere rappresenao mediane una successione infinia di impulsi dela infiniamene vicini ra loro e di valore pari al valore che il segnale assume in quel puno: (1.3.11) s()δ( )d = s()

9 1.3. SEGNALI ELEMENTARI 13 Il significao di ques ulimo inegrale è anche quello di una convoluzione ra il segnale s() e la funzione dela. Un cambiameno di scala della variabile indipendene influisce sul risulao: (1.3.1) x() δ(a + b) d = ( ) ς b x a δ(ς) dς a = 1 a x( b a ) Per l impulso quindi un cambiameno di scala ed una raslazione compora la variazione dell area dell impulso sesso: (1.3.13) δ(a + b) = 1 a δ( + b a ) Ulima considerazione è quella relaiva alle derivae dell impulso. La derivaa dell impulso, indicaa con δ () è dea doppieo: (1.3.14) x() δ ( ) d = x () sempre che x() sia doaa di derivaa in =. La (1.3.14) si può ricavare dalla definizione dell impulso (1.3.8) mediane inegrazione per pari (ricordando che D(AB) = AD(B) + BD(A), dove D( ) rappresena l operaore di derivazione): (1.3.15) x() δ ( ) d = x()δ( ) + x () δ( ) d = x () Si osservi infine che l inergale dell impulso è lo scalino di ampiezza uniaria: (1.3.16) u() = δ() d

10 1.3. SEGNALI ELEMENTARI 14 infai ale inegrale vale zero finchè < 0, ed 1 non appena > 0. Dualmene, la derivaa dello scalino uniario è l impulso uniario: d u() = δ() d Funzioni sinusoidali. Una classe di funzioni molo uilizzae, soprauo nell ambio dell analisi di funzioni periodiche sono le funzioni sinusoidali. Per la definizione di una funzione sinusoidale sono sufficieni re elemeni: ampiezza A, pulsazione ω o e fase iniziale ϕ (cioè l argomeno della sinusoide per = 0). L ampiezza rappresena l escursione massima che la funzione assume, la frequenza il numero di cicli per unià di empo che esegue: (1.3.17) A sin(πf + ϕ) La sinusoide si ripee uguale a se sessa ad una disanza emporale T ale che ω o T = π. Il periodo di una sinusoide di pulsazione ω o è, perciò: (1.3.18) T = π ω o f = 1/T è la frequenza. Va da sé che una sinusoide di frequenza f è periodica di periodo T = 1/f ma, anche, di periodo T, 3T,..., NT. Una sinusoide con fase iniziale π/ è chiamaa cosinusoide e vale la relazione sin(ω + π/) = cos(ω). La poenza media di una sinusoide di ampiezza uniaria vale: π/ω (1.3.19) P m = ω π 0 sin (ω) d = 1 La sua poenza di picco è (1.3.0) P p = max sin (ω) = 1 Il rapporo ra poenza di picco e poenza media è deo faore di picco e, per una sinusoide vale.

11 1.4. LA CORRELAZIONE Seno cardinale. Un ulima funzione molo uilizzaa è la funzione seno cardinale, così definia: (1.3.1) sinc() = sin(π T ) π T e che assume valore pari ad 1 al limie per 0. E una funzione pari, in quano rapporo di due funzioni dispari La Correlazione Dao un segnale deerminisico e non periodico, s(), di esso si può definire, come già viso l energia: (1.4.1) E s = s() d = S(f) df dove l ulima uguaglianza discende dal eorema di Parseval, il quale afferma che l energia del segnale, calcolabile nei due domini empo e frequenza, non cambia. Se il segnale passa araverso un sisema lineare empo invariane con funzione di rasferimeno: H(f): Y (f) = S(f) H(f) (1.4.) E y = S(f) H(f) df L energia si può quindi oenere conoscendo lo spero del segnale (e S(f) è deo spero di energia del segnale) e la funzione di rasferimeno del sisema Auocorrelazione per segnali ad energia finia. Sia ora x() un segnale reale ad energia finia. Si definisce auocorrelazione di x() la funzione che si oiene dal seguene inegrale: (1.4.3) R x () = x()x( )d Dalla definizione si osserva subio che: R x () = x() x( ) (per dimosrarlo si