La Trasformata di Fourier: basi matematiche ed applicazioni. Parte III

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1 Meodi di Calcolo per la Chimica A.A. 6-7 Marco Ruzzi a rasformaa di Fourier: basi maemaiche ed applicazioni Pare Showing a Fourier ransform o a physics suden generally produces he same reacion as showing a crucifix o Coun Dracula A Suden s Guide o Fourier ransforms wih Applicaions in Physics and Engineering J. F. James Second Ediion

2 Definizione. l Sia x () : a rasformaa di Fourier [] una funzione a valori complessi. Se l inegrale: esise finio per ogni la funzione:, allora x () è dea rasformabile secondo Fourier e viene chiamaa rasformaa di Fourier di x (). Una classe imporane di funzioni coninue a rai rasformabili secondo Fourier è cosiuia dalle funzioni assoluamene inegrabili, ossia dalle funzioni in. Sia x () : una funzione coninua a rai. Diciamo che x () è assoluamene inegrabile se l'inegrale: esise finio.

3 a rasformaa di Fourier [] Condizione sufficiene per l esisenza della rasformaa. Supponiamo che x () sia coninua a rai e assoluamene inegrabile. Allora x () è rasformabile secondo Fourier. Vale: e quindi vale anche: rasformaa di Fourier di funzioni reali. a rasformaa di Fourier F(ω) di un segnale reale f () è in generale complessa. Vale: e la rasformaa di Fourier si può scrivere come:

4 a rasformaa di Fourier [3] a pare reale Re {F(ω)} e la pare immaginaria m{f(ω)} sono rispeivamene: - Per visualizzare graficamene X (ω) è allora necessario considerare separaamene il modulo X (ω) e la fase arg(x (ω)) della rasformaa: arg Poiché la funzione coseno è pari e la funzione seno è dispari, si ha che:, Vale di conseguenza: arg arg

5 Dall equazione rovaa: a rasformaa di Fourier [4] si vede che alvola (quando x() è reale e simmerica) è possibile semplificare il calcolo della rasformaa di Fourier: se la funzione x () è reale e pari, valgono: e la rasformaa X (ω ) è reale e pari; se invece la funzione x() è reale e dispari, valgono: e la rasformaa X (ω ) è immaginaria pura e dispari.

6 a rasformaa di Fourier [5] Esempio. Segnale impulso reangolare uniario di duraa. Consideriamo la funzione pora uniaria, definia da: È immediao verificare che esise finia e il suo calcolo appare immediao: Per : -/ / e che quindi la rasformaa di Fourier Per ω = : il calcolo è ancora più semplice: ;.

7 l risulao rovao: a rasformaa di Fourier [6] in virù del limie noevole può essere scrio in ermini di funzione seno cardinale (sinc): dove la funzione al secondo membro si inende esesa per coninuià nell'origine. π π

8 a rasformaa di Fourier [7] Esempio. Segnale Funzione decadimeno esponenziale. Consideriamo la funzione decadimeno esponenziale, definia come: dove a > è un paramero reale posiivo. a funzione e dunque esise la sua rasformaa. Siccome x () è una funzione pari, vale: e si oiene: aver considerao in x () il modulo dell esponene ha permesso di considerare la funzione x () una funzione pari e dunque di considerare nel calcolo della rasformaa solo il ermine cosinusoidale. l risulao oenuo qui, ponendo in modulo, è un caso paricolare del risulao più generale oenuo in precedenza con eseso sull inero asse dei empi, ossia:

9 Alcune proprieà della rasformaa. Convergenza. a rasformaa di Fourier [8] Se Vale infai:, allora la sua rasformaa di Fourier X (ω ) è una funzione limiaa. e l'ulimo inegrale esise finio dao che.. inearià. Se x () e y () sono funzioni rasformabili secondo Fourier con rasformae X (ω ) e Y (ω ), allora è rasformabile anche ogni loro combinazione lineare, e vale:. a linearià è una direa conseguenza della definizione di rasformaa di Fourier, e della linearià dell'inegrale.

10 3. Scalaura a rasformaa di Fourier [9] Se a è un paramero reale, vale: a relazione si dimosra facilmene risolvendo l inegrale per sosiuzione con il cambio di variabile a = : n ogni caso vale:

11 4. Modulazione. Per ogni, vale: a rasformaa di Fourier [] a verifica è semplice: 5. raslazione. Per ogni, si ha: È sufficiene eseguire il cambiameno di variabile = a nell'inegrale:

12 6. Coniugio. ndicando con a rasformaa di Fourier [] il complesso coniugao di x, si ha: a verifica è immediaa: Dalla proprieà di coniugio segue facilmene la seguene uguaglianza di Parseval. 7. Uguaglianza di Parseval Supponiamo che x () sia rasformabile secondo Fourier, e che l'inegrale: sia finio. Allora vale la seguene relazione:

13 a rasformaa di Fourier [] a relazione segue dalla direa applicazione della definizione di rasformaa di Fourier. nfai:. nverendo l ordine di inegrazione si ha: l ermine ra parenesi quadre è la rasformaa di Fourier di x (), quindi:

14 a rasformaa di Fourier [3] 7. Senso fisico della rasformaa di un segnale Dao un segnale x (), in generale complesso, si definisce poenza isananea (in senso lao) la funzione: da cui deriva la definizione di poenza media: energia del segnale può essere scria: a relazione di Parsifal dunque fornisce l energia di un segnale in ermini della sua rasformaa di Fourier: l quadrao del modulo della rasformaa di Fourier è il conribuo all energia del segnale offero dalle sue componeni con frequenza compresa ra ω e ω + dω :

15 Proprieà imporani a rasformaa di Fourier [4]

16 a rasformaa di Fourier [5] Di seguio viene proposa la giusificazione di alcune proprieà delle rasformae e ne viene mosrao l impiego in alcuni esempi, rimandando a una leeraura più specializzaa le dimosrazioni maemaiche formali.. Pora cenraa Si calcoli la rasformaa di Fourier della funzione pora cenraa con: Si raa di una funzione pora di ampiezza, duraa e cenraa nell'origine. a pora p () può essere riscria in ermini di pora uniaria: e applicando sulla rasformaa la proprieà di riscalameno con si oiene: ovvero:

17 . Pora decenraa a rasformaa di Fourier [6] Si calcoli la rasformaa di Fourier della funzione pora decenraa: Si raa di una funzione pora di ampiezza, duraa 4 e cenraa nel puno a = 8. 6 Per il calcolo della rasformaa conviene eseguire una raslazione e ricondursi alla pora cenraa: Dalla proprieà di raslazione e dall'esempio della pora cenraa si oiene alla fine:

18 3. Dela di Dirac a rasformaa di Fourier [7] a funzione impulso di duraa infiniesima (o dela di Dirac) δ () non è maemaicamene descrivibile mediane una funzione e necessia del conceo di disribuzione per essere definia. Sia ( ) f : una funzione complessa di variabile reale, coninua nel puno del suo dominio valga la seguene relazione: δ [ f ( ) ] = Vale ovviamene, con = : δ [ ] = δ [ f ( ) ]= D f ( ).. Si definisce dela di Dirac la disribuzione δ ale che, definio il funzionale lineare e coninuo: con la proprieà:.

19 a rasformaa di Fourier [8] a funzione δ () non è una funzione nel senso di Dirichele e deve essere pensaa come una funzione generalizzaa: + + Ricordando la definizione di impulso reangolare di duraa e ampiezza V : vale: con la proprieà:.

20 a rasformaa di Fourier [9] l calcolo della rasformaa della funzione dela di Dirac è immediao. Ricordando che, se f () è una funzione coninua in, allora vale: si può concludere che: da cui i ricava la noa coppia di rasformae: a rasformaa di Fourier della funzione dela cenraa su = (nel dominio dei empi) è una funzione cosane e uniaria (nel dominio delle frequenze)! Queso risulao indica che una funzione δ () (ad esempio un impulso di duraa infiniamene breve nel empo) ha un conenuo sperale che include ue le frequenze in modo uguale.

21 a rasformaa di Fourier [] 4. Segnale cosane Si osservi che in queso caso l ulima condizione di Dirichle non è verificaa. Per il calcolo della rasformaa della funzione cosane si può parire considerando la funzione impulso nel dominio delle frequenze δ (ω ω ). Anirasformando si ricava: e rasformando su enrambi i membri (vale F F = ) si oiene la coppia: a relazione rovaa dimosra che la rasformaa dell esponenziale complesso e iω un impulso δ raslao in ω. Di conseguenza per ω = vale: è a rasformaa di Fourier di una funzione cosane nel empo è la funzione Dela di Dirac cenraa alla frequenza ω =. l risulao mosra come un segnale coninuo e cosane nel empo è cosiuio da una sola componene in frequenza, e precisamene la frequenza zero (periodo illimiao).

22 3. Funzione cosinusoidale a rasformaa di Fourier [] l calcolo della rasformaa di Fourier di un segnale cosinusoidale è eseguio sfruando la proprieà di linearià della rasformaa: Usando la relazione di Eulero possiamo riscrivere l espressione per f () come: Sapendo che la rasformaa dell esponenziale complesso e iω in ω, ossia: è un impulso raslao per la linearià vale: a rasformaa di Fourier della funzione coseno è la somma di due funzioni dela di Dirac cenrae rispeivamene sui valori +ω e ω con ω frequenza del coseno. Queso risulao indica che la funzione coseno definia sull inero asse dei empi ha un conenuo sperale che include una sola frequenza.

23 4. FD Nell ambio di un esperimeno NMR, considerando un campione di spin con un unica frequenza di risonanza ω la componene y della magneizzazione varia secondo la legge: ( ) = cos( ω ) e a rasformaa di Fourier [] (Free nducion Decay). a rasformaa di Fourier della funzione () risula una riga di forma orenziana cenraa sulla frequenza di risonanza ω = π e con larghezza W / () raformaa di Fourier () W / empo frequenza FD corrispondene componene sperale

24 a rasformaa di Fourier [3] Per il calcolo della rasformaa di Fourier del FD conviene esprimere la funzione ramie un esponenziale, eseguire l inegrazione e considerare alla fine solo la pare reale del risulao: ( ) ( ) ( ) ( ) = π = π u e e u e i Re cos ( ) ( ) ( ) π = = π π + i i i e d e + ( ) ( ) d e e e d e i i i π + π π + = = ( ) π = i con u () gradino uniario (u () = se < e u () = se > ). = () FD

25 a rasformaa è una funzione complessa perché la () è reale e asimmerica. Razionalizzando ( ) ( ) π = i ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π + π + = π + π + π = 4 i i i i ( ) ( ) [ ] ( ) π + π + π + = 4 4 i ( ) [ ] Re ( ) [ ] m componene in assorbimeno componene in dispersione a rasformaa di Fourier [4]

26 a rasformaa di Fourier [5] a riga in assorbimeno dello spero NMR è la pare reale della rasformaa: Re [ ( ) ] = = + 4π ( ) orenziana cenraa su e di larghezza W / ( ) + 4π W ~ / a rasformaa di Fourier della funzione () che descrive il FD risula una riga di forma orenziana cenraa alla frequenza di risonanza di armor e con larghezza di riga W /.

27 Maab e rasformae di Fourier [] a figura ripora il grafico della coppia rasformaa e anirasformaa nel caso dell impulso reangolare. V V l seguene programma in Maab mee in evidenza il comporameno duale che esise ra empo e frequenza: a frone di una maggiore concenrazione nel empo si ha una maggiore dilaazione nelle frequenze e viceversa, maggiore è la concenrazione nelle frequenze, maggiore è la dilaazione nel empo. Per illusrare quesa aiudine il programma confrona gli speri relaivi a due impulsi con duraa emporale e con =.

28 Maab e rasformae di Fourier []

29 Maab e rasformae di Fourier [3] Confrono ra speri relaivi a due impulsi aveni duraa emporale, rispeivamene di = sec e = sec.