Geometria BAER A.A Foglio esercizi 1

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1 Geomeria BAER A.A Foglio esercii 1 Eserciio 1. Risolvere le segueni equaioni lineari nelle variabili indicae rovando una parameriaione dell insieme delle soluioni. a) + 5y = 3 nelle incognie, y. b) + 5y = 3 nelle incognie, y,. c) = nelle incognie 1,, 3, 4. Soluione: a) Ponendo y = oeniamo = 3 5 dunque abbiamo 1 soluioni dae da ( 3 5 ) con R. b) Ponendo y = e = s abbiamo soluioni: 3 5 con, s R. s c) L equaione ammee 3 soluioni. Poniamo =, 3 = s, 4 = u e quindi 1 = ( + u)/. Insieme ( 3u)/ delle soluioni: s con, s, u R. u Eserciio. Se Diego avesse gli sessi soldi di Sergio, insieme avrebbero euro. Invece Diego ha 5 euro di meno. Quani soldi ha Diego? E Sergio? Soluione: Se D, S sono i soldi di Diego e Sergio rispeivamene, si risolve il sisema S = o, piú semplicemene, D = S 5 D + S + 5 = D = S 5 Eserciio 3. Si consideri il seguene sisema S : + y 3 = 1 y = a) Sabilire se i veori 3, 4 di R 3 sono soluioni di S. Soluione: 4 è una soluione, menre 3 no (non soddisfa né la prima né la seconda equaione). k b) Per quali valori di k R il veore k + 11 è soluione di S?

2 3k + 16 = 1 Soluione: Sosiuendo = k, y = k +11, = nel sisema, si oiene, dunque l unico valore k + 7 = è k = 5 Eserciio 4. Per ciascuna delle segueni marici, sabilire se è a scalini oppure no: A 1 =, A 1 = 7 1 3, A 3 = Soluione: Solo A 1 non è a scalini Eserciio 5. Risolvere i segueni sisemi lineari a scalini: + y + = = S 1 : y = 5, S : + 4 = = = In ciascun caso, deerminare l insieme delle soluioni e sabilire da quani parameri dipende. 7 Soluione: S 1 ammee l unica soluione 4. Scrivendo la marice complea del sisema S, vediamo 3 che ci sono 3 pivo e che la variabile nella cui colonna non cadono pivo è 3. Ci sono dunque 1 soluioni. Ponendo 3 = e risolvendo oeniamo Sol(S ) = 3 : R 3 Eserciio 6. Si considerino le segueni marici: A 1 =, A = 1 7, A 3 = Usando l algorimo di Gauss, ridurre ciascuna delle marici A i ad una marice a scalini à i. 1 1 Soluione: Marice A 1 : con l operaione R R R 1 si riduce a Ã1 = Marice A : con le operaioni R R + 3R 1, R 3 R 3 5R 1 si riduce a Applicando R 3 R 3 + R abbiamo à =

3 Marice A 3 : con le operaioni R R R 1, R 3 R 3 3R 1, R 3 R 3 + 8R la marice si riduce a à 3 = Noa: la forma a scalini di una marice non è unica e rispose diverse dalle precedeni, ma ugualmene corree, sono possibili. Il numero dei pivo, pero, deve essere sempre lo sesso: per la marice Ã1 e 3 per le marici Ã, Ã3. Eserciio 7. Si considerino le segueni marici: A 1 = 1 3, A = Usando l algorimo di Gauss, ridurre ciascuna delle marici A i a una marice a scalini à i. Soluione: La marice A 1 con le operaioni R R R 1, R 3 R 3 3R 1, R 3 R 3 R si riduce alla marice Le operaioni R R R 1, R 3 R 3 R 1, R 3 R 3 +R riducono la marice A a Eserciio 8. Risolvere i segueni sisemi lineari nelle incognie, y: + 3y = 1 3y = 1 S 1 : S : y = + 6y = S 3 : 3y = 1 + 6y = In ciascun caso, sabilire se il sisema è compaibile; se lo è, deerminare l insieme delle soluioni e sabilire da quani parameri dipende. Soluione: S 1 è compaibile ed ammee l unica soluione = 1/7, y = /7. S è incompaibile, menre S 3 è equivalene al sisema cosiuio dall unica equaione 3y = 1 che ha infinie soluioni = 1 + 3, y = dipendeni da un paramero R. Eserciio 9. Risolvere i segueni sisemi lineari nelle incognie, y, : + y 3 = 1 + y 3 = 1 S 1 : + 5y 8 = 4, S : 3 + y = y 4 = + y 4 = 4 S 3 : + 5y 9 = 1 3 y + 3 = 11 In ciascun caso, sabilire se il sisema è compaibile; se lo è, deerminare l insieme delle soluioni e sabilire da quani parameri dipende. (Pare del lavoro è già sao fao nell eserciio 6). Soluione: Usando 6) + y 3 = 1 S 1 è equivalene al sisema, quindi ponendo =, si ricava y = y = +, =. S è incompaibile. S 3 ammee l unica soluione = 1, y = 1, =.

4 Eserciio 1. Risolvere i segueni sisemi lineari nelle incognie 1,, 3, 4 : = = 4 S 1 : = 3, S : = = = 7 In ciascun caso, sabilire se il sisema è compaibile; se lo è, deerminare l insieme delle soluioni e sabilire da quani parameri dipende. (Pare del lavoro è già sao fao nell eserciio 7) = 5 Soluione: Uiliando 7) S 1 è equivalene al sisema. Le variabili che non = 7 corrispondono a pivo sono e 4. Poniamo quindi =, 4 = s e ricaviamo 1 = 9 + 1s 3 = 7 + 7s. Sempre uiliando 7), S è incompaibile. Eserciio 11. Si consideri l insieme M cosiuio dalle erne y R 3 ali che y = e + y =. a) Dimosrare che M è un insieme infinio, dipendene da un paramero reale. Soluione: Soraendo la prima equaione dalla seconda si ha y =. Ponendo = si ha + M = : R b) Trovare le erne y M per la quali + y + = 16. Soluione: = 16 ha come soluioni = 1 ± 7 c) Trovare la erna y M per la quale + y + assume il valore minimo. Soluione: +4+4 è una parabola il cui minimo è il verice ( 1, ), alernaivamene +4+4 = ( + + ) = (( + 1) + 1) con il secondo faore somma di due ermini sempre non negaivi. Il minimo si oiene per ( + 1) =. Eserciio 1. Si consideri il sisema dipendene dai parameri a, b R: + y + = 3 ay + 5 = 1 + 7y + a = b a) Trovare i valori di a per i quali il sisema è incompaibile. b) Trovare i valori di b per i quali il sisema ammee infinie soluioni.

5 Soluione: Scrivendo la marice complea del sisema, applicando l algorimo di Gauss con le operaioni R 3 R 3 R 1, R 3 ar 3, R 3 R 3 3R, si oiene la marice complea del sisema a scalini + y + = 3 [ ay + 5 = 1 (a a 15) = ab 6a 3 equivalene al sisema di parena. Per la pare a) Il sisema ammee un unica soluione se il coefficiene di nell ulima equaione è diverso da ero, quindi per a 5 a. Per la pare b) Per avere infinie soluioni, l ulima equaione deve essere =, e queso avviene solo per a = 5 oppure a =. Nel primo caso il secondo membro della era equaione si annulla solo per b = 1, nel secondo caso solo per b = 4. Eserciio 13. Assumendo che la proprieà 1 A = A per ogni marice A (in effei quesa proprieà si verifica direamene lavorando sui coefficieni) si dimosri che se A è una marice A = Soluione: A = 1 A = (1 + ) A = A + A. Quindi siccome esise l opposo vale la legge di cancellaione dunque A = A + A implica A = sommando A ad ambo i membri del equaione precedene. 1 A = A (con A si inende l opposo di A). Soluione: A+( 1 A) = (1 1)A uiliando la disribuivià, e il risulao segue dalla pare precedene per l unicià dell opposo. In effei assumendo una di quese re proprieà (che possono essere ue verificae facilmene lavorando con i coefficieni delle marici) si dimosrano le alre due, ma assumerne una (o dimosrarla lavorando sui coefficieni) è necessario.