RICERCA OPERATIVA GRUPPO A prova scritta del 06 Luglio 2005 FOGLIO 1

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1 RICERCA OPERATIVA GRUPPO A prova scritta del 6 Luglio FOGLIO Rispondere alle seguenti domande marcando a penna la lettera corrispondente alla risposta ritenuta corretta (una sola tra quelle riportate). Ogni risposta esatta vale punti, ogni risposta sbagliata vale punto.. Sia U un insieme finito di R n e I la famiglia di tutti i sottoinsiemi X di U linearmente dipendenti. Indicare quale tra le seguenti affermaioni è vera: A) (U; I) è un matroide B) I gode della proprietà di scambio C) I è subclusiva.. Scrivere il duale del problema min < + 4 = + >, > ma y + y y y + y < y + y < y y y = y + y = y, y >. Applicando il metodo di Fourier-Motkin, si determini una soluione ottima del problema ma = < + 4 < 4 < < < i R, i=,,

2 4 4 Il valore massimo di è Dati i problemi di PL (P) = ma c (P ) = ma c A = b A = b D < d > > dire quale delle seguenti affermaioni è vera: (A) > (B) > (C) >

3 RICERCA OPERATIVA GRUPPO A prova scritta del 6 Luglio FOGLIO Risolvere i seguenti esercii. La soluione viene valutata fino a punti.. In una tratta ferroviaria a binario unico durante la giornata circolano n treni in successione. Il k-esimo treno è atteso in staione all ora d k, ma una normativa recentemente introdotta richiede, per motivi di sicurea, che tra questo treno e il precedente intercorrano almeno t k minuti: ragion per cui il reale orario di arrivo a k del treno k-esimo potrebbe essere diverso da d k. Ovviamente, se a k < d k, nessun problema, però se a k > d k la qualità del serviio si deteriora. La direione delle ferrovie, in attesa dell entrata in vigore del nuovo orario a fine stagione, e volendo d altra parte adeguare la schedulaione dei treni sulla tratta in modo da minimiare i disagi all utena, ha pensato di penaliare ogni minuto di ritardo in arrivo del treno k con w k > euro e si è posta l obiettivo di minimiare la penalità complessiva. Formulate questo problema come programmaione lineare. Il problema consiste nello scegliere gli orari di arrivo effettivo in staione degli n treni rispettando le distane temporali tra ogni treno e il successivo, e allo stesso tempo minimiando il ritardo pesato conseguito complessivamente dagli n treni. Le nostre variabili di decisione saranno quindi le a k, definite per k =,, n. Tali variabili devono soddisfare i seguenti vincoli: a k+ > a k + t k+ per k =,, n Il ritardo r k del k-esimo treno sull orario previsto è pari a a k d k se a k > d k, mentre è pari a se a k < d k. Quindi r k soddisfa certamente r k > a k d k r k > per k =,, n L obiettivo consiste nel minimiare la somma dei ritardi degli n treni pesati con i fattori w k : min n Σ w k r k k=. Voila la solution Usando il metodo del simplesso dimostrate che se i treni sono n = e si ha t =, t = 6, per d =, d = 4 e d = 7 esiste una soluione sena alcun ritardo. Per dimostrare la tesi basta far vedere che il problema formulato all Eserciio ammette nel caso in esame una soluione tale che r + r + r =. Siccome gli r k sono >, basta scrivere il problema per w k =. Siccome poi il problema è in forma generale, il suo duale è in forma standard, e si scrive ma = 4 = = + 6 =

4 4 + 7 = + 8 =,, 8 > La tabella del simplesso associata è: e come si vede non è in forma canonica. E tuttavia immediato osservare che a) le variabili 6, 7, 8 corrispondono a colonne unitarie b) altre due colonne unitarie si possono ottenere sostituendo alla riga la somma delle righe e, e moltiplicando la riga per. Dopo l operaione (b) si ha quindi: La colonna unitaria mancante si può ora ottenere sostituendo alla riga la somma delle righe e, e poi moltiplicando la riga per : Per giungere alla forma canonica basta ora sommare alla riga le righe,, moltiplicate rispettivamente per, 4,

5 Questa soluione, peraltro degenere, non è necessariamente ottima in quanto il costo ridotto della variabile è positivo. Operando un pivot in riga e colonna si ottiene la tabella La soluione ottenuta è ottima dal momento che tutti i costi ridotti sono non positivi. Il suo valore, che per la dualità forte corrisponde al valore di ogni soluione ottima primale, è : dunque esiste effettivamente una soluione primale che non fa arrivare treni in ritardo (in particolare basta scegliere a = 4, a =, a = 7).