Prova Scritta di Ricerca Operativa

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1 Prova Scritta di Ricerca Operativa (Prof. Fasano Giovanni) Università Ca Foscari Venezia - Sede di via Torino 26 gennaio 2017 Regole per l esame: la violazione delle seguenti regole comporta il ritiro dell elaborato e l allontanamento dello studente dall aula È necessario rispondere alle domande e risolvere gli esercizi usando esclusivamente i fogli distribuiti dal docente. Ogni risposta/calcolo deve essere opportunamente motivata/o dallo studente. È necessario scrivere Nome-Cognome-Matricola sul presente foglio e su ciascun foglio contenente le risposte dello studente (i fogli privi di tale informazione saranno cestinati e non considerati per la valutazione). In aggiunta, è necessario indicare (SI/NO) se il voto della Prova Intermedia (30 Novembre 2016) deve essere considerato dal docente. Il tempo complessivo per la prova è di 1h 40 : per gli studenti che hanno superato la Prova Intermedia; 2h 30 : per gli studenti che NON hanno superato la Prova Intermedia. È necessario risolvere gli esercizi e rispondere alle domande, secondo le seguenti modalità: gli studenti che hanno superato la Prova Intermedia devono risolvere/rispondere solo gli/alle esercizi/domande con (***); gli studenti che NON hanno superato la Prova Intermedia devono risolvere/rispondere tutti gli/le esercizi/domande; È vietato parlare durante la prova. È vietato usare durante la prova: testi, appunti, note, dispense, dispositivi cellulari, tablets, palmari, calcolatori/calcolatrici programmabili. Durante la prova non è possibile allontanarsi dall aula. Nome: Cognome: Matricola: Considerare la Prova Intermedia: SI NO

2 Esercizio 1 Nella settimana corrente un ristorante deve chiamare un certo numero di camerieri per il servizio ai tavoli, pianificando le chiamate all inizio della settimana stessa (7 giorni). Il costo (Euro/giorno) di un cameriere è riportato nella seguente tabella, per ciascun giorno della settimana: L Ma Me G V S D Costo giornaliero (Euro) per cameriere Se si chiamano camerieri il Ma o il Me, il gestore deve pagare un costo fisso forfettario di 200 Euro (per entrambi i giorni) per contributi INPS. Sulla base di dati storici del ristorante si hanno poi i seguenti vincoli. Il numero complessivo di camerieri chiamati L, Ma e Me deve essere almeno il 60% del numero di camerieri chiamati complessivamente G e V. Il numero complessivo di camerieri chiamati nei primi 5 giorni della settimana non può superare le 82 unità. Inoltre si ha anche quanto segue: 1. i camerieri chiamati G e V non possono complessivamente eccedere la metà dei camerieri chiamati S; 2. per problemi legati a permessi comunali, il numero complessivo di camerieri chiamati nei giorni dispari (L, Me, V, D) non può essere inferiore di almeno 7 unità al numero complessivo di camerieri chiamati nei giorni pari (Ma, G, S); 3. per esigenze di continuità, il numero di camerieri chiamato L deve essere almeno il 25% dei camerieri chiamati la D; 4. un giorno (uno ed uno solo) della settimana il ristorante rimane chiuso ed in quel giorno non vengono chiamati camerieri. Formulare un modello di PL/PLI per la minimizzazione dei costi di chiamata dei camerieri, nell arco di una settimana. SOLUZIONE: x i = numero di camerieri chiamati nell i-simo giorno della settimana (i = L,..., D) y = z i = 1 se si chiamano camerieri Ma o Me 0 altrimenti, 1 se si chiamano camerieri nel giorno i simo i = L,..., D 0 altrimenti. min 50x L + 70x Ma + 80x Me + 80x G + 60x V + 55x S + 75x D + 200y x L + x Ma + x Me 0.6(x G + x V ) V x i 82 i=l x G + x V 0.5x S x L + x Me + x V + x D 7 + x Ma + x G + x S x L 0.25x D x i z i M, M 1, i = L,..., D D z i = 6 i=l y x Ma + x Me M x i 0, i = L,..., D, intera.

3 Esercizio 2 (***) Applicando il Metodo del Simplesso risolvere il seguente problema di programmazione lineare: min x 1 x 2 + x 3 2x 1 x 2 x 4 = 2 x x 2 + 2x 3 3x 5 4 x 0. SOLUZIONE: Il problema può essere riportato alla forma canonica, essendo equivalente al problema max x 1 +x 2 x 3 2x 1 +x 2 +x 4 = 2 x 1 +1/2x 2 2x 3 +3x 5 +x 6 = 4 x 0 Si avrà quindi, applicando la Fase II del Metodo del Simplesso al problema ausiliario, I Iterazione: il tableau iniziale risulta essere ( ) ( ) / da cui risultano x 2 ed x 5 in base, e tutte le altre variabili fuori base. Inoltre è +2 b = Applicando il criterio di ottimalità si ha γ T = ( ) 0, quindi il criterio di arresto non è soddisfatto. Anche il criterio di illimitatezza non risulta soddisfatto, pertanto andiamo avanti con la Fase II del metodo del Simplesso. Scegliamo come variabile entrante la x 2, e come variabile uscente quella il cui indice di riga k corrispondente al

4 min { } 2 1, 4, 1/2 ovvero k = 1 (nel rettangolo l elemento di pivot +1). Effettuando l operazione di pivot risulta il nuovo tableau II Iterazione: ( ) ( ) / da cui risultano x 2 ed x 6 in base, e tutte le altre variabili fuori base. Applicando il criterio di ottimalità si ha γ T = ( ) 0, quindi il criterio di arresto non è soddisfatto. Anche il criterio di illimitatezza non risulta soddisfatto, pertanto andiamo avanti con la Fase II del metodo del Simplesso. Scegliamo come variabile entrante la x 1, come variabile uscente quella corrispondente all indice di riga k tale che { } 3 min, 2 ovvero k = 2 (nel rettangolo l elemento di pivot +2). Effettuando l operazione di pivot risulta III Iterazione: ( ) ( ) / /4 +3/2 +1/2 +3/ /4 +3/2 +1/2 +7/2 da cui risultano x 1 ed x 2 in base, e tutte le altre variabili fuori base. Applicando il criterio di ottimalità si ha γ T = (0 + 3/4 + 3/2 + 1/2) 0, quindi il criterio di arresto è soddisfatto e per la soluzione risulta z = 7/2, con x 1 = 3/2 x 2 = 5 x 3 = x 4 = x 5 = x 6 = 0.

5 Esercizio 3 Si determini il numero massimo (possibile) di vertici del seguente poliedro. determinino tali vertici (se esistono). x 1 + x 3 x 4 7 x 2 = 3 2x 1 x 3 + x 4 2 x 2 x 4 3 x 1 x 4 12 Successivamente, si SOLUZIONE: Preventivamente possiamo sostituire x 2 = 3 in tutte le disequazioni, ottenendo il poliedro equivalente x 1 + x 3 x 4 7 2x 1 x 3 + x 4 2 x 4 0 x 1 x Essendo ora n = 3 ed m = 4, il massimo numero di vertici del poliedro sarà non superiore a m! n!(m n)! = 4! 3! = 4. Basterà pertanto considerare i seguenti 4 sistemi di uguaglianze: (I) in cui che fornisce il punto x 1 + x 3 x 4 = 7 2x 1 x 3 + x 4 = 2 x 4 = 0 P 1 = 3 4 0, il quale soddisfa anche il quarto vincolo e si ha = 3 0. Pertanto il punto P 1 è un vertice del poliedro. (II) in cui che fornisce il punto x 1 + x 3 x 4 = 7 2x 1 x 3 + x 4 = 2 x 1 x 4 = 12 P 2 = 3 5 9, il quale soddisfa anche il terzo vincolo, e si ha = 3 0. Pertanto il punto P 2 è un vertice del poliedro.

6 (III) in cui che fornisce il punto x 1 + x 3 x 4 = 7 x 4 = 0 x 1 x 4 = 12 P 3 = , il quale soddisfa anche il secondo vincolo e si ha = Pertanto il punto P 3 è un vertice del poliedro. (IV) in cui che fornisce il punto 2x 1 x 3 + x 4 = 2 x 4 = 0 x 1 x 4 = 12 P 4 = il quale NON soddisfa anche il primo vincolo, pertanto il punto P 4 NON è un vertice del poliedro ,

7 Esercizio 4 (***) Si risolva il seguente esercizio di Knapsack binario in IR 6, con il metodo del B&B. max 3x 1 x 2 + x 3 + x 4 + 2x 5 x 1 2x 2 + 3x 3 x 4 + x 5 + x 6 2 x {0, 1} 6. (K 0 ) SOLUZIONE: In (K 0 ) possiamo senz altro assegnare facilmente il valore di alcune variabili (i.e. x 2 = 1 y 2, y 2 {0, 1}, in quanto è presente con segno negativo sia nella funzione obiettivo che nel vincolo; x 4 = 1, in quanto ha segno negativo nel vincolo e segno positivo nella funzione obiettivo; x 6 = 0, in quanto ha segno positivo nel vincolo e coefficiente nullo nella funzione obiettivo), ottenendo in particolare il problema equivalente max 3x 1 + y 2 + x 3 + 2x 5 x 1 + 2y 2 + 3x 3 + x 5 5 x 1, y 2, x 3, x 5 {0, 1}. ( K 0 ) Quest ultimo problema ammette la soluzione (ammissibile) intera corrente ˆx = 0, con f(ˆx) = 0. Creiamo la lista dei problemi aperti L = {( K 0 )} ed estraiamone l unico problema ( K 0 ). Consideriamo il suo rilassamento lineare, si provvede ora ad ordinare in modo decrescente i rapporti dei coefficienti delle restanti 4 variabili (x 1, y 2, x 3 e x 5 ), i.e , e di conseguenza si passa a risolvere (riordinando le variabili) il problema rilassato Essendo h = 3, risulta per la soluzione rilassata di ( K 0 ) max 3x 1 + 2x 5 + y 2 + x 3 x 1 + x 5 + 2y 2 + 3x 3 5, 0 x 1, y 2, x 3, x 5 1. x (0) 1 = 1, x (0) 5 = 1, y (0) 2 = 1, x (0) 5 ( ) 3 = = 1/3, 3 cui corrisponde un valore della funzione obiettivo superiore al valore f(ˆx). Pertanto chiudiamo ( K 0 ), effettuiamo un Branching e dividiamo ( K 0 ) nei 2 sottoproblemi (settando rispettivamente x 3 = 0 e x 3 = 1) max 3x 1 + 2x 5 + y 2 x 1 + x 5 + 2y 2 5 x 1, y 2, x 5 {0, 1}, max 3x 1 + 2x 5 + y x 1 + x 5 + 2y 2 2 x 1, y 2, x 5 {0, 1}, ( K 1 ) ( K 2 ) ed aggiorniamo la lista L = {( K 1 ), ( K 2 )}. Estraiamo il primo problema che ammette la soluzione rilassata (coincidente con una soluzione intera) x (1) = ( ) T con f(x (1) ) = 6. Pertanto chiudiamo ( K 1 ) ed aggiorniamo ˆx = ( ) T, con f(ˆx) = 6. Poi estraiamo da L anche ( K 2 ) che ammette anch esso soluzione rilassata coincidente con una soluzione intera, data da x (2) = ( ) T, con f(x (2) ) = 6. Pertanto chiudiamo anche ( K 2 ) ma senza aggiornare di nuovo l ottimo corrente ˆx. Per la soluzione finale si ha x = ( ) T.

8 Domanda Scritta 1 Si dimostri che ogni funzione affine è concava. Inoltre si trovi un esempio di funzione concava che non risulta affine. Domanda Scritta 2 (***) Si dimostri che un problema di PL ammette regione ammissibile non vuota se e solo se il problema ausiliario ad esso associato ammette soluzione ottima nulla.